Trekant

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
For TV-programmet på NRK, se Trekant (TV-program). For kjærlighets-/sexforholdet som involverer tre personer, se Ménage à trois.
En rettvinklet trekant hvor hypotenus og katet er vist.

En trekant er et polygon med tre sidekanter og tre hjørner, en geometrisk figur sammensatt av tre linjestykker. I euklidsk geometri er dette den enkleste form for polygon. I matematikk kan en trekant også omtales som en trigon.[1] Ordet triangel kan også brukes for å omtale en trekant.[2] En trekant med hjørner A, B og C kan skrives som \triangle ABC.

Trekantgeometri har vært studert siden matematikkens oldtid, ofte knyttet til landmåling og astronomi. Det eksisterer en stor og rik teori knyttet til trekanter, både på grunnleggende nivå og i høyere matematikk. Studiet av trekanter inngår som en viktig del av matematikkundervisningen i skolen. Trigonometri er en gren av matematikk der en studerer forhold mellom sider og vinkler i en trekant.

Trekanter kan klassifiseres etter egenskaper til sidekantene og etter egenskaper til vinklene. I euklidsk geometri er summen av de indre vinklene i en trekant alltid 180° eller π radianer. I ikke-euklidsk geometri kan vinkelsummen være både større og mindre enn 180 grader.

Mange ulike geometriske former kan deles opp i et endelig antall trekanter, i en såkalt tesselering. Dette gjør trekanter anvendelig til mange typer beregninger og i datagrafikk. En oppdeling av et område på en flate i trekanter kalles en triangulering, som ikke må forveksles med triangulering i landmåling.

Mens ordet «trekant» vektlegger antall sider i figuren, så uttrykker «trigon» og «triangel» at figuren har tre vinkler. «Trigon» er en sammensetning av gresk «tri» = tre og «gonia» = vinkel. «Triangel» er en tilsvarende latinsk sammensetning av «tri» og «angulus».[3] Også adjektivet «trilateral» kan referere til en figur med tre sider.

Trekantbeskrivelse[rediger | rediger kilde]

Medianene skjærer hverandre i tyngdepunktet
Normalene skjærer hverandre i ortosenteret

Dersom en trekant er tegnet med en av sidene vannrett, så kan denne siden kalles grunnlinjen. Generelt kan grunnlinjen være en vilkårlig sidekant. Høyden i trekanten er avstanden fra en grunnlinjen til det motstående hjørnet, det vil si lengden av normalen fra hjørnet og ned på grunnlinjen.

Linjestykket fra et hjørne og til midtpunktet av den motstående siden kalles en median. En normal gjennom midtpunktet på en side kalles en midtnormal. De tre medianene skjærer hverandre i et felles punkt, det såkalte tyngdepunktet. Trekanten kan balansere på en nål i dette punktet. Tyngdepunktet i en trekant kan finnes fra Cevas setning.

Normalene fra hjørnene ned til motstående sidekant møtes i det såkalte ortosenteret. Generelt kalles et linjestykke fra et hjørne i en trekant ned på den motstående siden for en cevian, oppkalt etter den italienske ingeniøren Giovanni Ceva.

Omkretsen av trekanten er lik summen av de tre sidelengdene, og halvparten av omkretsen kalles semiperimeteren. Summen av to sidelengder i en trekant er alltid større enn lengden av den tredje siden, et utsagn kjent som trekantulikheten.

En indre vinkel i trekanten er en vinkel mellom to sidekanter, målt inne i trekanten. Ofte omtales de indre vinklene bare som «vinklene i trekanten». Nabovinkelen til en indre vinkel kalles en ytre vinkel. I en trekant ABC betegnes den indre vinkelen med toppunkt i hjørnet A ofte som \angle A. Denne vinkelen er den motstående vinkelen til sidekanten BC.

En trekant er entydig bestemt dersom

  • Alle tre sidene er kjent
  • To sider og den mellomliggende vinkelen er kjent
  • Én side og de to hosstående vinklene er kjent
  • En grunnlinje, den tilhørende høyden, og en vinkel er kjent.

Klassifikasjon av trekanter[rediger | rediger kilde]

Etter egenskaper til sidekantene[rediger | rediger kilde]

  • I en likesidet trekant er alle sidene like lange og alle vinklene 60°. En slik trekant kalles også regulær.
  • I en likebeint trekant er to av sidene like lange. Den tredje siden kalles gjerne grunnlinjen. De to vinklene mellom de like lange sidene og grunnlinjen vil være like store.
  • I en heltallstrekant er alle sidelengdene heltall.

Etter egenskaper til vinklene[rediger | rediger kilde]

  • I en spiss eller spissvinklet trekant er all vinklene mindre enn 90°.
  • I en stump eller stumpvinklet trekant er en av vinklene større enn 90°.

Pythagoras' læresetning[rediger | rediger kilde]

Utdypende artikkel: Pythagoras’ læresetning
Geometri for Pythagoras' læresetning

I euklidsk geometri gir Pythagoras’ læresetning en sammenheng mellom sidelengdene i en rettvinklet trekant. La a og b være lengden av de to katetene, og la c være lengden av hypotenusen. Da er

c^2 = a^2 + b^2.

Med ord kan dette uttrykkes som at «i en rettvinklet trekant er summen av kvadratene på katetene lik kvadratet på hypotenusen». Læresetningen er oppkalt etter den greske matematikeren Pythagoras, selv om formelen var kjent før hans tid. Det kan ikke verifiseres at Pythagoras kjente til bevis for setningen.[5]

Dersom sidelengdene i en trekant oppfyller Pythagoras’ læresetning, så gjelder det også at trekanten er rettvinklet.

Et pythagoreisk trippel er et sett av tre positive heltall (a,b,c) som oppfyller Pythagoras’ læresetning. En rettvinklet trekant der sidelengdene er heltall kalles en pythagoreisk trekant.[6]

Eksempler
  • I en rettvinklet trekant med vinkler 30 og 60 grader vil lengden av hypotenusen være dobbelt så lang som den korteste kateten. Den lengste kateten er lik kvadratroten av 3 ganger den korteste:

\begin{alignat}{2}
c &= 2a \\
b &= a \sqrt{3}.
\end{alignat}
  • (3,4,5) er en pythagoreisk trippel, og en trekant med sidelengder 3, 4 og 5 vil være rettvinklet.

Sidelengder og vinkler[rediger | rediger kilde]

Det eksisterer en rekke måter for å regne ut sidelengder og vinkler i en trekant. Enklest er det i rettvinklede trekanter. Forhold mellom sidelengder og vinkler danner grunnlaget for definisjon av trigonometriske funksjoner.

Trigonometri i en rettvinklet trekant[rediger | rediger kilde]

Rettvinklet trekant med hypotenusen c og katetene a og b.

Trigonometriske funksjoner definerer forholdet mellom sidelengder i en rettvinklet trekant. For vinkelen A gjelder følgende definisjoner:

  • Sinus til en vinkel er lik forholdet mellom den motstående kateten og hypotenusen.
\sin A = \frac{a}{c}
  • Cosinus til en vinkel er lik forholdet mellom den hosliggende kateten og hypotenusen.
\cos A = \frac{b}{c}
  • Tangens til en vinkel er lik forholdet mellom den motstående kateten og den hosliggende kateten.
\tan A = \frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\cos A}

Sinussetningen[rediger | rediger kilde]

En trekant med sidelengder a, b og c, og med vinkler α, β og γ

Sinussetningen er en viktig sammenheng mellom sidelengder og vinkler i en vilkårlig trekant:

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}.

Størrelsene som inngår er definert på figuren til høyre. Forholdet som inngår i sinussetningen er lik lengden av diameteren i den omskrevne sirkelen til trekanten.

Cosinussetningen[rediger | rediger kilde]

Pythagoras’ læresetning kan generaliseres til å gjelde trekanter som ikke er rettvinklete, men man trenger da å vite vinkelen γ mellom sidene a og b:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma

Denne utvidete formen kalles for cosinussetningen eller den utvidede pytagoreiske læresetning. For rettvinklede trekanter er γ = 90° og cos 90° = 0, og cosinussetningen er lik Pythagoras’ læresetning.

Tangenssetningen[rediger | rediger kilde]

Den såkalte tangenssetningen kan bevises fra sinussetningen og trigonometriske identiteter:

\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha \beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}.
Geometri for Apollonios' teorem

Halveringslinjesetningen[rediger | rediger kilde]

halveringslinjesetningen sier at i en trekant ABC vil en linje gjennom C dele sidekanten AB i et forhold lik AC/BC hvis og bare hvis linjen halverer vinkelen C.[7]

Apollonios' teorem[rediger | rediger kilde]

Apollonios teorem gir en sammenheng mellom sidelengdene og en median AD i en vilkårlig trekant ABC:

AB^2 + AC^2 = 2(AD^2+BD^2)\,

Teoremet har fått navnet fra den greske matematikeren Apollonios. For en likebeint trekant reduserer teoremet seg til Pythagoras' læresetning. Appolonios' teorem er et spesialtilfelle av det såkalte Stewarts teorem, som gir en sammenheng mellom sidelengdene og en cevian.

Kongruente trekanter[rediger | rediger kilde]

To trekanter er kongruente dersom de har eksakt samme form og størrelse. De kan imidlertid ha ulik beliggenhet og orientering. I to kongruente trekanter er sidevinklene parvis like store, og sidekantene er parvis like lange.

To trekanter er kongruente dersom minst ett av de følgende vilkårene er oppfyllt:

  • To vinkler er parvis like store, og en side i den ene trekanten er like lang som den samsvarende siden i den andre
  • To av sidene er parvis like lange, og vinklene mellom de to sidene er like store
  • Alle tre sider i trekantene er parvis like lange.

Formlike trekanter[rediger | rediger kilde]

To trekanter er similære eller formlike dersom de har samme form, men muligens ulik størrelse. I to similære trekanter er alle vinklene parvis like store. To trekanter er formlike hvis minst ett av de følgende vilkårene er oppfylt:[8]

  • Trekantene har parvis like vinkler
  • Trekanten har én lik vinkel, og de tilstøtende sidekantene er proporsjonale
  • Sidekantene i de to trekantene er parvis proporsjonale
  • Forholdet mellom lengdene i de to trekantene er det samme.

Arealet av en trekant[rediger | rediger kilde]

Arealet A av en trekant kan beregnes på en rekke forskjellige måter. En vanlig framgangsmåte er å bruke den geometriske formelen

A = \frac{1}{2}gh,

der g er lengden av grunnlinjen, og h er høyden. Dette uttrykkes ofte som at arealet av en trekant er lik halve grunnlinjen ganger høyden.

Arealet er altså halve arealet av parallellogrammet man får om man kopierer trekanten, og speiler kopien om en av de to sidene som ikke er grunnlinjen.

Et kongruent tall er et tall som kan opptre som arealet i en rettvinklet trekant, når alle sidelengdene er rasjonale tall. I en trekant med sidelengder 3, 4 og 5 er arealet lik 6, slik at 6 er et kongruent tall. De første kongruente tallene er 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20 og 21.[9]

Vektorform[rediger | rediger kilde]

Dersom vektorene AC og AB definerer en trekant, så er arealet lik halvparten av kryssproduktet mellom vektorene:

A = \frac{1}{2}|AB \times AC|.

Koordinatform[rediger | rediger kilde]

I analytisk geometri kan en beskrive en trekant ved hjelp av koordinater til hjørnene. Dersom et hjørne av trekanten er definert i origo (0, 0), og de to andre hjørnene er (x1, y1) og (x2, y2), så er arealet av trekanten gitt ved formelen


\begin{alignat}{2}
A &= \frac{1}{2} | \det \begin{vmatrix}x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{vmatrix} | \\
 &= \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1| 
\end{alignat}

For tre vilkårlig plasserte hjørner kan en bruke formelen:


\begin{alignat}{2}
A 
&= \frac{1}{2} \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right|  \\
&= \frac{1}{2} \big| x_A y_B - x_A y_C + x_B y_C - x_B y_A + x_C y_A - x_C y_B \big| \\
&= \frac{1}{2} \big| (x_A - x_C) (y_B - y_A) - (x_A - x_B) (y_C - y_A) \big|.
\end{alignat}

Herons formel[rediger | rediger kilde]

Formen til en trekant er bestemt entydig ut fra lengden av sidene. Arealet kan derfor bestemmes ut fra sidelengdene alene, ved den såkalte Herons formel:[10]

A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

I formelen er s er semiperimeteren, altså den halve omkretsen. De følgende formene er alternative versjoner av Herons formel:


\begin{alignat}{2}
A &= \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}  \\
&= \frac{1}{4} \sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)} \\
&= \frac{1}{4} \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}.
\end{alignat}

Trigonometrisk form[rediger | rediger kilde]

Når to sidelengder og vinkelen mellom dem er kjent, så er arealet gitt ved

A = \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \frac{1}{2}bc\sin \alpha = \frac{1}{2}ca\sin \beta

Formelen framkommer ved å uttrykke hver av høydene i trekanten ved hjelp av en side og sinus til en vinkel.

Da sin α = sin (π − α) = sin (β + γ), og tilsvarende for de to andre vinklene, så gjelder også at

A = \frac{1}{2}ab\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{2}bc\sin (\beta+\gamma) = \frac{1}{2}ca\sin (\gamma+\alpha).

Kjenner en to av vinklene og én av sidelengdene, så kan en bruke formelen

A = \frac {b^{2}(\sin \alpha)(\sin (\alpha + \beta))}{2\sin \beta}.

Sirkler knyttet til en trekant[rediger | rediger kilde]

Omsirkelen til en trekant

Omsirkelen[rediger | rediger kilde]

Enhver trekant har en entydig bestemt sirkel som går gjennom alle de tre hjørnene i trekanten. Denne sirkelen kalles den omskrevne sirkelen til trekanten eller også omsirkelen.[11] Senter i den omskrevne sirkelen ligger i skjæringspunktet til de tre normalene som går gjennom midtpunktet til hver av sidekantene, og dette punktet kalles omsenteret. I en spiss trekant ligger omsenteret innenfor trekanten, mens en stumpvinklet trekant har senteret utenfor trekanten. I en rettvinklet trekant ligger omsenteret på hypotenusen.

Omvendt gjelder også at dersom en trekant ABC har en omsirkel med diameter langs AB, da er vinkelen C rett. Dette resultatet er en form for Thales' setning.

Radien i en omsirkel R er gitt ved

R = \frac{abc}{4A}. \,

Her er a, b og c sidelengder, og A er arealet.

Trekant med innsirkel og ytre tangeringssirkler

Innsirkelen[rediger | rediger kilde]

En innskreven sirkel til en trekant eller innsirkelen er en sirkel som tangerer alle tre sidekantene i trekanten. Den har sentrum i skjæringpunktet mellom halveringslinjene til de tre vinklene i trekanten. Dette punktet kalles innsenteret til trekanten.[12]

Også i en innsirkel er radien relatert til arealet av trekanten. Radien i innsirkelen r er gitt ved

r = \frac{2A}{o} \,

der o er omkretsen av trekanten. Ved å bruke Herons formel og sammenhengen 2s = o, så kan denne skrives som

r = \sqrt{ \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.

Avstanden mellom innsenteret og omsenteret d er gitt ved Eulers trekantformel:[13]

 d^2=R (R-2r) \,

Fra denne følger også den såkalte Eulers ulikhet, som relaterer radien i omsirkelen og radien i innsirkelen:

R \ge 2r.

Tangeringssirkler[rediger | rediger kilde]

Enhver trekant har tre ytre tangeringssirkler, tre sirkler som hver for seg tangerer én sidekant og forlengelsen av de to andre. Tangeringssirklene ligger utenfor trekanten.

Innsenteret til trekanten og sentrene i de tre tangeringssirklene danner sammen et såkalt ortosentrisk system. Dette er et system av fire punkter, der ett av punktene er ortosenter i en trekant med hjørner i de tre andre punktene. Systemet er symmetrisk, slik at uansett hvilke tre punkt en velger for å definere trekanten, så er det fjerde punktet ortosenteret.

Nipunktsirkelen

Nipunktssirkelen[rediger | rediger kilde]

Nipunktssirkelen til en trekant går gjennom ni punkt som alle er knyttet til trekanten:

  • På hver side, et midtpunkt
  • På hver side, punktet der høyden treffer sidekanten
  • På hver av de tre høydene, midtpunktet mellom hjørnet og ortosenteret.

Sirkelen kalles også Feuerbachs sirkel, eulersirkelen og terquemsirkelen. Radien i nipunktssirkelen er lik halve radien i omsirkelen. Senteret ligger på den såkalte eulerlinjen.

Innsirkelen ligger inne i nipunktssirkelen og tangerer denne, og i tillegg vil nipunktssirkelen tangere alle de tre ytre tangeringssirklene. Dette er et berømt resultat, kjent som Feuerbachs teorem. Punktet der innsirkelen og nipunktssirkelen tangerer kalles feuerbachpunktet.

Figurer innskrevet i en trekant[rediger | rediger kilde]

En figur er innskrevet i en trekant dersom figuren har felles punkt med trekanten og ingen punkt som ligger utenfor trekanten. Et innskrevet polygon skal ha alle hjørnene på trekantsidene. [14]. Innsirkelen omtalt i avsnittet over er et eksempel på en figur innskrevet i en trekant. Et klassisk problem i geometri forsøker å finne sidelengden i et kvadrat innskrevet i en gitt trekant.

En innskrevet trekant definert ved at hjørnene ligger på tangeringspunktet mellom innsirkelen og trekanten kalles for kontakttrekanten.[15]

En innellipse er en ellipse innskrevet i en trekant. I Steiners innellipse ligger senterpunktet til innellipsen i trekantens tyngdepunkt og ellipsen tangerer midtpunktet på hver av de tre sidene.[16]

En medialtrekant er en innskrevet trekant som har hjørner på midtpunktene til de tre sidekantene i den opprinnelige trekanten.[17] Begrepet mediantrekant blir brukt delvis synonymt med medialtrekant,[17] delvis om en trekant der sidekantene er parallelle med og like lange som medianene i en annen trekant.[18]

Eulerlinjen[rediger | rediger kilde]

I en trekant som ikke er likesidet er den såkalte eulerlinjen en rett linje som går gjennom ortosenteret, omsenteret, tyngdepunktet, det såkalte exeterpunktet og i tillegg senteret i nipunktsirkelen. Den sveitsiske matematikeren Leonhard Euler viste i 1765 at de tre førstnevnte punktene ligger på én og samme rette linje. I en likebeint trekant ligger også innsenteret på eulerlinjen.

Sfærisk trekant

Trekanter i ikke-euklidsk geometri[rediger | rediger kilde]

I ikke-euklidsk geometri gjelder ikke parallellaksiomet, og trekantegenskaper velkjente fra klassisk geometri trenger ikke lenger være tilstede. Ikke-euklidsk geometri vil opptre i geometri for generelle flater, for eksempel andregradsflater.

Hyperbolsk trekant

Geometri på en kuleflate kalles sfærisk geometri, og en trekant kalles tilsvarende en sfærisk trekant. I en sfærisk trekant er sidekantene sirkelbuer. I en slik trekant vil vinkelsummen være større enn 180 grader.[19] Det er for eksempel mulig å definere en trekant der alle tre vinklene er lik 90 grader! Jordkloden er tilnærmet lik en kuleflate, og rettvinklede sfæriske trekanter spiller en viktig rolle i navigasjon.

Sidelengdene i en sfærisk trekant måles vanligvis med vinkelmål, ikke lengeenheter. En form for cosinussetningen gjelder også for sfæriske trekanter.

I motsetning til en plan trekant, så vil en sfærisk trekant være entydig bestemt når de tre vinklene i trekanten er gitt. En plan trekant er entydig bestem dersom en kjenner to sidelengder og de motstående vinklene, men dette er ikke tilfelle for en sfærisk trekant.[19]

I hyperbolsk geometri vil det eksistere en trekant der vinkelsummen er mindre enn 180 grader.[20] Sidelengdene i et hyperbolsk triangel kan bli uendelig store, men arealet er alltid mindre enn π.[21]

Bruk av trekantgeometri[rediger | rediger kilde]

Pratt truss.svg
Fagverk med trkantgeometri

Trekanter i fagverk[rediger | rediger kilde]

Trekanter er mye brukt i ulike konstruksjoner, på grunn av formens evne til å ta imot trykk og strekk. I et såkalt fagverk er trekanten et grunnleggende element. Fagverk er et rammeverk brukt i brobygging, husbygging, tårn og heisekraner.

Triangulering i landmåling[rediger | rediger kilde]

Ved triangulering i landmåling bestemmes avstanden til et punkt ved hjelp av trekantgeometri. Vinkelen til punktet fra begge endene av en grunnlinje måles. Posisjonen til det tredje punktet kan så bestemmes fra en trekant med kjent grunnlinje og to kjente vinkler.

Trekanter brukt til visualisering av en delfin.

Triangulering i datagrafikk[rediger | rediger kilde]

I datagrafikk kan triangler brukes til å beskrive legemer som skal visualiseres. Legemet visualiseres så som en samling av trekanter. Visualisering av trekanter kan gjøres svært raskt, og det eksisterer mange effektive algoritmer for beregninger som inngår. Bruk av trekanter er et spesialtilfelle av polygonbasert visualisering.

Triangulering av sirkelflate for endelig-element-beregning

Triangulering i elementmetoder[rediger | rediger kilde]

Endelig-elementmetoder er numeriske metoder for tilnærmet løsning av partielle differensialligninger. Området der differensialligningene er definert kan trianguleres, og ligningene kan diskretiseres på den gitte trianguleringen. Metodene bør være slik at dess mindre trekantene er, dess mer nøyaktig er den tilnærmede løsningen.

Løsning av partielle differensialligninger med trekant-baserte endelig-element-metoder har svært mange anvendelsesområder innenfor teknikk og vitenskap, for eksempel i styrkeberegninger for konstruksjoner.

Ternærdiagram[rediger | rediger kilde]

Et ternærdiagram eller ternærplott er en grafisk framstilling i en likebeint trekant av forholdet mellom tre variable som alltid summerer seg til en konstant verdi. En slik grafisk framstilling er vanlig for eksempel i kjemi og mineralogi, når det er behov for å studere en sammensetning av tre komponenter. De tre variablene kan for eksempel være andelen av hvert stoff, og summen er 1 eller 100%.

De tre variablene a, b og c skal alltid ha en fast sum K, slik at a + b + c = K. Er to variable kjent, så er dermed den tredje også bestemt. Siden systemet har to frihetsgrader, så kan sammenhengen framstilles i planet. Langs en sidekant i trekanten er en av variablene lik null.

Historie[rediger | rediger kilde]

Geometri, inkludert studiet av trekanter, har dype røtter i matematikkens oldtid. Ifølge historikeren Herodot ble geometrien født i Egypt, da man hadde behov for å måle opp jordbruksland som var blitt oversvømt av Nilen.

Problem R49→R55 i Rhind-papyrusen

Egypt og Mesopotamia[rediger | rediger kilde]

Den berømte Rhind-papyrusen fra Egypt omkring 1650 f.Kr inneholder blant mye annet en metode for å beregne arealet av en likebeint trekant. I bygging av pyramider var det behov for å bygge sidene med konstant stigningstall, og egypterne utviklet en primitiv form for trigonometri. Det er blitt hevdet at egypterne kjente til Pythagoras' læresetning, men det finnes ikke direkte bevis for dette i etterlatte manuskript.

Plimpton 322 med pythagoreiske tripler

I en tavle med kileskrift fra Mesopotamia forekommer en rekke med tre og tre tall, som alle oppfyller Pythagoras' læresetning, såkalte pythagoreiske tripler Tavlen går under navnet Plimpton 322 og er tidfestet til å være fra tidsperioden 1900 - 1600 f.Kr. Det finnes ikke indikasjoner på at babylonerne kjente beviset for læresetningen. Både babylonerne og egypterne brukte egenskaper til formlike trekanter.

Antikken fram til Euklid[rediger | rediger kilde]

Den greske filosofen Thales fra Milet levde omkring 600 f.Kr og blir tillagt å ha ført bevis for at vinklene ved grunnlinjen i en likebeint trekant er like. Han skal også ha bevist at to trekanter med to parvis like store vinkler og to like sider er kongruente. Thales arbeid er bare kjent indirekte, gjennom andres omtale.

Pythagoras var en gresk filosof, mystiker og matematiker i fra øya Samos, født ca. 580 f.Kr. I Kroton i Italia grunnla han en skole der elevene måtte studere både matematikk, religion og filosofi. Pythagoreerne var et fellesskap der renselse av sjelen skulle oppnås gjennom et strengt levesett og gjennom religiøse ritualer. I ritualene inngikk elementer av både filosofi og matematikk. Antagelig fikk pythagoreerne kunnskap om det som i dag kalles for Pythagoras' læresetning fra Babylon. I antikken ble Pythagoras gitt æren for å ha bevist denne læresetningen, men det finnes ikke direkte bevis på at dette var tilfelle.

Pythagoreerne rangerte aritmetikk over geometri, og bevegelsen fikk stor innflytelse på utvikling av matematikk i hundreårene som fulgte. Trekantgeometri spilte likevel en viktig rolle i en rekke arbeid i fra denne perioden, ikke minst i studiet av proporsjoner. Platon grunnla omkring 387 f.Kr et akademi i Athen, kjent for innskriften «La ingen som er uvitende i geometri komme inn her».

Euklid framstilt i «Skolen i Athen» av Rafael

Den greske matematikeren Euklid blir ofte kalt «geometriens far». Han var virksom i Alexandria omkring tre hundre år før Kristus. Fem manuskript er kjent fra Euklid, og i arbeidet Deling av figurer drøfter han et problem der en vilkårlig trekant skal deles i to av en linje parallell med grunnlinjen, slik at arealet av trekanten blir delt i nøyaktig to like deler. Mest kjent er imidlertid Euklid for verket Elementene, der han som den første matematikeren bygger opp teorien fra et sett av aksiomer. De første seks kapitlene er dedikert til plangeometri. Her gir Euklid blant annet et bevis for Pythagoras' læresetning, og også for det «inverse» teoremet. Senere har en rekke andre former for bevis blitt utledet. I Elementene bok II, problem 13, gir Euklid også en form for cosinussetningen.

Sammen med Euklid regnes Arkimedes og Apollonios fra Perge som de tre store matematikerene i perioden 300 - 200 f.Kr. Apollonios er spesielt kjent for arbeid i geometri. Teoremet som er oppkalt etter han er første gang beskrevet i verket Almagest, skrevet av Klaudios Ptolemaios omkring to hundre år etter Kristus.

Antikken etter Euklid[rediger | rediger kilde]

I studiet av geometri som fulgte Euklid vokste det også langsomt fram former for trigonometri - teori for sammenheng mellom trekantsider og vinkler. Bidragene kom fra en rekke matematikere, men Hipparkus fra Nikea (ca. 180-ca. 125 f.Kr) har fått tilnavnet «trigonometriens far», som den første som satte sammen en trigonometrisk tabell. Den tidlige trigonometrien var i hovedsak knyttet til korder i en sirkel, ikke til trekanter. Hipparkus var motivert av problem i astronomi, og også den videre utviklingen av trigonometri var i svært lang tid tett knyttet til astronomi, landmåling og navigasjon. Først på 1600-tallet innså en at trigonometri kunne ha et langt videre bruksområde, for eksempel i fysikk.

Heron levde som Euklid i Alexandria, men tre til fire hundre år senere, omkring 10-70 e.Kr. Han var både ingeniør og matematiker, og som det siste er han mest kjent for formelen for å beregne arealet av en trekant fra sidelengdene. Formelen opptrer for første gang i Herons arbeid Metrica, men var antageligvis kjent også før Herons tid. Heron er den første som er kjent for å bruke piktogrammet Δ som symbol for en trekant i tekst.[22]

Blant matematikerne fra Alexandria var også Menelaos, som i verket Sphaerica studerte trekantgeometri på en kuleflate. Dette er det eneste arbeidet som er bevart etter Menelaos, som levde omkring 100 e.Kr.

Ptolemaios' verk Almagest er en svært viktig kilde til kunnskap om gresk geometri og trigonometri. Verket er skrevet omkring 200. Som Hipparkus var Ptolemaios motivert av astronomi.

Også Pappos (c. 290 - c. 350) var fra Alexandria, og han regnes som en av de siste store greske matematikerene. I det mest kjente arbeidet Synagoge («Samling» ) gir han et bevis for en utvidet form for Pythagoras' læresetning, for en vilkårlig trekant.

Kina og India[rediger | rediger kilde]

Del eldste kinesiske matematiske skriftene indikerer at også kinesisk geometri er vokst fram fra praktiske problem i landmåling. I verket Ni kapitler om den matematiske kunst (Jiǔzhāng Suànshù) omhandler det siste kapittelet geometri for rettvinklede trekanter. Verket er ikke nøyaktig tidfestet, men er antagelig satt sammen før 200 f.Kr. Her forekommer det såkalte «Brukne-bambus-problemet»: En rett bambusplante 10 enheter lang er brukket, slik at toppen av treet danner en hypotenus i en trekant og treffer bakken 3 enheter fra foten av treet. Problemet er å bestemme høyden opp til bruddstedet, og løsningen krever bruk av Pythagoras' læresetning.

Basert på gresk matematikk videreutviklet indiske matematikere trigonometri, og sinusfunksjonen ble introdusert i det indiske astronomiske verket Siddhanta fra omkring 400.

Etter antikken[rediger | rediger kilde]

Etter den greske storhetstiden lå det meste av geometri lenge nede, utenfor interesseområdet til vitenskapen. Arabiske matematikere tok imidlertid vare på interessen for trigonometri og astronomi, og ble formidlere av både indiske, gresk og egen kunnskap til Europa. Thābit ibn Quarra (826-901) ga flere alternative bevis for Pythagoras' læresetning og også en generalisering av læresetningen til generelle trekanter. Perseren Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274) var den første som behandlet trigonometri uavhengig av astronomi og skrev et systematisk fem-binds verk om plan- og sfæriske trigonometri.

Leonardo Fibonacci (1170-1250) er kjent for å ha introdusert arabiske tall i vesten, i verket Liber Abaci. Han utga i 1220 også boka Practica Geometriae, der han blant annet beviser at medianene i en trekant deler hverandre i forholdet 1:2. Boka inneholder også en analog til Pythagoras' læresetning i tre dimensjoner.

Boka De triangulis omnimodus («Om trekanter av alle slag»), av den tyske matematikeren, astronomen og biskopen Regiomontanus (1436-1476), var et av de første rene verkene om trigonometri i Europa. Boka ble utgitt i 1533, etter Regiomontanus' død, men verket er skrevet omkring 1464. Arbeidet til Regiomontanus ble gjort kjent ikke minst på grunn av videreformidling av astronomen Nikolaus Kopernikus (1473-1543). Georg Joachim Rheticus (1514-1574) var elev hos Kopernicus, og i tobindsverket Opus palatinum de triangulis fortsatte han arbeidet til Regiomontanus og Kopernikus: Her ble trigonometri for første gang knyttet til en rettvinklet trekant og ikke til en sirkelkorde.

Først på 1600-tallet begynte interessen for geometri å ta seg opp for fullt i Europa. René Descartes (1596-1650) innførte med verket La Géométrie analytisk geometri, en kombinasjon av geometri og algebra. Arkitekten og ingeniøren Girard Desargues (1591-1661) arbeidet med problemer knyttet til perspektiv og kan regnes som en grunnlegger av projektiv geometri, studiet av geometriske egenskaper som er bevart under transformasjon av figurer. Arbeidet ble ikke forstått og langt på vei neglisjert i samtiden. Desargues' teorem gir vilkår for at to trekanter skal være i perspektiv og ble først publisert av Abraham Bosse etter Desargues' død. Boss var en venn og elev av Desargues.

Giovanni Ceva (1648-1734) var en italiensk professor i matematikk ved universitetet i Mantova. Han var spesielt interessert i geometri og er i dag mest kjent for å bevise teoremet som bærer navnet hans. Han gjenoppdaget og publiserte også det såkalte Menelaos' teorem for en trekant.

Bruk av bokstavene a, b og c for trekantlengdene og A, B og C for de motstående hjørnene ble introdusert av den sveitsiske matematikeren Leonhard Euler (1707-1783). Han brukte også bokstavene r, R og s for henholdsvis radien i en innsirkel, radien i en omsirkel og semiperimeteren. Formelen for radien i en omsirkel ble først utledet av Euler.

De to franskmennene Gaspard Monge (1746-1818) og Lazare Carnot (1753-1823) regnes som grunnleggere av moderne geometri. Fransk var også Jean-Victor Poncelet (1788-1867) som etter at arbeidet til Desargues var gått i glemmeboken kan sies å ha «gjenfødt» projektiv geometri. Sammen med Charles Brianchon (1785-1864) publiserte han i 1820-21 et artikkel som for første gang omtaler nipunktssirkelen. Når sirkelen ofte blir gitt navn etter Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834), så skyldes dette at Feuerbach publiserte mer omfattende teori i 1822. Imidlertid beskrev også han bare seks av punktene knyttet til sirkelen. Det såkalte Feuerbachs teorem knytter sammen nipunktssirkelen, innsirkelen og de tre ytre tangeringssirklene forbundet med en trekant, et resultat som er blitt karakterisert som «det vakreste teorem i elementær geometri som er blitt oppdaget siden Euklid».[5] Et alternativt bevis for dette teoremet ble gitt i 1842 av Olry Terquem (1782-1862), som også utvidet antall karakteristiske punkt knyttet til nipunktssirkelen fra seks til ni.

Nipunktssirkelen ble uavhengig av andre arbeid også oppdaget av Jakob Steiner (1796-1863), som i i tillegg har gitt navnet til «Steiners innellipse». Steiner var født i Sveits, men var utdannet og arbeidet i Tyskland. Han regnes som en av de betydeligste matematikerne innenfor fagområdet geometri i moderne tid.

Den tyske matematikeren Moritz Pasch (1843-1930) ga i 1882 ut Vorlesungen über neuere Geometrie, der han blant annet viser at Euklid implisitt brukte geometriske egenskaper som ikke var dekket av postulatene han ga. Det som senere er blitt kalt Pasch' aksiom ble lansert for å komplettere Euklid. Løst kan dette formuleres som at når en linje krysser en trekantside, så må linjen også krysse en av de andre to sidene i trekanten. I 1899 publiserte David Hilbert (1862-1943) Grundlagen der Geometrie, der han bygger opp geometri aksiomatisk. Aksiomene skal gi et moderne fundament for euklidsk geometri. Ett av aksiomene omhandler kongruens av trekanter.

Se også[rediger | rediger kilde]

  • Gyllen trekant, en likebeint trekant der forholdet mellom grunnlinjen og en sidekant er relatert til det gyldne snitt
  • Keplertrekant, en rettvinklet trekant der forholder mellom sidelengdene er relatert til det gyldne snitt
  • Pascals trekant, en trekantformet grafisk framstilling av binomialkoeffisienter
  • Penrosetriangel, en «umulig» tredimensjonal trekant
  • Trekanttall, et tall som kan angi antall objekter brukt til å lage en likesidet trekant
  • Triangel (heraldikk), en likesidet trekant i heraldikk
  • Triangel, et trekantet musikkinstrument

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. s. 602. ISBN 0-00-434347-6.  [Trigon]
  2. ^ www.nob-ordbok.uio.no Bokmålsordboka - Triangel. Besøkt 30.desember 2012
  3. ^ Steven Schwartzman (1994). The words of mathematics. An etymological dictionary of mathematical terms used in English. Washington, DC: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-511-9. 
  4. ^ mathworld.wolfram.com Heronian Triangle.. Besøkt 13. januar 2013
  5. ^ a b C.B. Boyer: A history .., s.54
  6. ^ mathworld.wolfram.com Pythagorean Triangle.. Besøkt 13. januar 2013
  7. ^ K. Ranestad: Geometri..., s.7
  8. ^ K. Ranestad: Geometri..., s.2
  9. ^ www.forskning.no Bjørnar Kjensli: Vanvittig mange trekanter. Besøkt 30. januar 2012
  10. ^ B. Birkeland, T. Breiteig, Hans E. Borgersen: MA-132 Geometri..., s.46
  11. ^ B. Birkeland, T. Breiteig, Hans E. Borgersen: MA-132 Geometri..., s.45
  12. ^ B. Birkeland, T. Breiteig, Hans E. Borgersen: MA-132 Geometri..., s.47
  13. ^ mathworld.wolfram.com Euler Triangle Formula. Besøkt 25. januar 2013
  14. ^ E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. s. 297. ISBN 0-00-434347-6.  [Inscribed]
  15. ^ mathworld.wolfram.com Contact Triangle.. Besøkt 13. januar 2013
  16. ^ mathworld.wolfram.com Median Triangle.. Besøkt 13. januar 2013
  17. ^ a b E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. s. 297. ISBN 0-00-434347-6.  [Median triangle or medial triangle]
  18. ^ mathworld.wolfram.com Median Triangle.. Besøkt 13. januar 2013
  19. ^ a b uit.no Bjørn Davidsen: Sfærisk geometri. Universitetet i Tromsø, 2007. Besøkt 17. januar 2013
  20. ^ Bjørn-Terje Gylder Smestad: Hyperbolsk geometri i historisk perspektiv. Masteroppgave, Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet, Trondheim, 2009.
  21. ^ whitman.edu Laura Valaas: Triangles in hyperbolic geometry. Whitman College, 2006. Besøkt 17. januar 2013.
  22. ^ Florian Cajori (2007). A history of mathematical notations, 1. New York: Cosimo. s. 401. ISBN 978-1-60206-684-7. 

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • C.B.Boyer (1968). A history of mathematics. Princeton, USA: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-691-02391-3.