Kryssprodukt

Parallellogrammets areal gir storleiken av a×b

Kryssprodukt er en måte å gange to tredimensjonale vektorer på som resulterer i en ny vektor som står vinkelrett på de to opprinnelige.

Geometrisk definisjon

Høyrehåndsregelen

$\vec{a}\times\vec{b}=\vec{n}\cdot\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}\cdot \sin(\theta)$

der

• $\vec{n}$ = enhetsvektoren i retningen gitt av høyrehåndsregelen, vinkelrett på både $\vec{a}$ og $\vec{b}$
• θ = vinkelen mellom vektorene

Matrisedefinisjon

Hvis a og b er koordinatvektorer, det vil si at hver av deres tre vektorkoordinater er kjent i et koordinatsystem med kjente akser, her representert ved enhetsvektorene $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$, så kan kryssproduktet regnes ut slik:

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix}=\begin{bmatrix} a_2 b_3-a_3 b_2 \\ a_3 b_1-a_1 b_3 \\ a_1 b_2-a_2 b_1 \\ \end{bmatrix}$

Egenskaper

• $\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$
• Kryssproduktet av to parallelle vektorer er nullvektoren.
• Kryssproduktet av to ortonormale vektorer er en enhetsvektor.

Relasjon til indre- og ytreprodukt

Ved å definere den skjevsymmetriske matriseformen av en koordinatvektor v,

v^× := $\begin{bmatrix} 0 & -v_3 & v_2 \\ v_3 & 0 & -v_1 \\ -v_2 & v_1 & 0 \\ \end{bmatrix}$

kan de tre vektorproduktene oppsummeres slik:

• indreprodukt: a^Tb=a·b (skalar)
• kryssprodukt: a×b=a^×b (vektor)
• ytreprodukt: ab^T=a^×b^× (matrise)