Kryssprodukt

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Parallellogrammets areal gir storleiken av a×b

Kryssprodukt er en måte å gange to tredimensjonale vektorer på som resulterer i en ny vektor som står vinkelrett på de to opprinnelige.

Geometrisk definisjon[rediger | rediger kilde]

Høyrehåndsregelen

\vec{a}\times\vec{b}=\vec{n}\cdot\begin{vmatrix}\vec{a}\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}\vec{b}\end{vmatrix}\cdot \sin(\theta)

der
  • \vec{n} = enhetsvektoren i retningen gitt av høyrehåndsregelen, vinkelrett på både \vec{a} og \vec{b}
  • θ = vinkelen mellom vektorene

Matrisedefinisjon[rediger | rediger kilde]

Hvis a og b er koordinatvektorer, det vil si at hver av deres tre vektorkoordinater er kjent i et koordinatsystem med kjente akser, her representert ved enhetsvektorene \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}, så kan kryssproduktet regnes ut slik:

\mathbf{a}\times\mathbf{b}=
\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix}\times
\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}=
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}=\begin{bmatrix}
a_2 b_3-a_3 b_2 \\
a_3 b_1-a_1 b_3 \\
a_1 b_2-a_2 b_1 \\
\end{bmatrix}

Egenskaper[rediger | rediger kilde]

  • \vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}
  • Kryssproduktet av to parallelle vektorer er nullvektoren.
  • Kryssproduktet av to ortonormale vektorer er en enhetsvektor.

Relasjon til indre- og ytreprodukt[rediger | rediger kilde]

Ved å definere den skjevsymmetriske matriseformen av en koordinatvektor v,

v× := \begin{bmatrix}
0 & -v_3 & v_2 \\
v_3 & 0 & -v_1 \\
-v_2 & v_1 & 0 \\
\end{bmatrix}

kan de tre vektorproduktene oppsummeres slik: