Diagonal

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
For avenyen i Barcelona, se Avinguda Diagonal.
Diagonaler i en sekskant - en heksagon.

En diagonal kan i vid forstand være en skrå linje eller noe som kan karakteriseres ved en skrå linje. I matematikk kan en diagonal være

  • en diagonal i et polygon eller en mangekant: et linjestykke som forbinder to hjørner i polygonet, slik at hjørnene ikke ligger på samme sidekant.[1] Diagonalen går altså fra et hjørne i en mangekant til et annet uten å falle sammen med noen sidekant.
  • en diagonal i et polyeder: et linjestykke som forbinder to hjørner i polyederet, slik at hjørnene ikke ligger på samme sideflate.[1][2][3] En utvidet definisjon sier at en diagonal i et polyeder er et linjestykke mellom to hjørner, så lenge disse ikke ligger på samme sidekant.[4]
  • en diagonal i en matrise: En samling av matriseelementer aij der |i - j| = konstant.
  • en diagonal i et kartesisk produkt V × V: en undermengde som inneholder alle elementer der begge koordinatene er like, detr vil si på forma (v,v).[5]

Ordet «diagonal» stammer fra det greske διαγώνιος = diagonios, fra dia- som betyr «gjennom», «på tvers» og gonia som betyr «vinkel». Siste stavelse er beslektet med gony, med betydning «kne».[3]

Diagonal i et polygon[rediger | rediger kilde]

Et enkelt polygon er et polygon der ingen av sidekantene krysser hverandre. Antall diagonaler nd i en enkel n-kant er gitt av:

n_d = \frac {n(n-3)}{2}.

Tabellen under gir antall diagonaler som funksjon av antall sider i en mangekant:

Sider Diagonaler
3 0
4 2
5 5
6 9
7 14
8 20
9 27
10 35
Sider Diagonaler
11 44
12 54
13 65
14 77
15 90
16 104
17 119
18 135
Sider Diagonaler
19 152
20 170
21 189
22 209
23 230
24 252
25 275
26 299
Sider Diagonaler
27 324
28 350
29 377
30 406
31 434
32 464
33 495
34 527
Sider Diagonaler
35 560
36 594
37 629
38 665
39 702
40 740
41 779
42 819

Diagonal i et polyeder[rediger | rediger kilde]

Diagonaler i en kube med sidelengder 1. AC' (vist i blått) er en romdiagonal med lengde kvadratroten av 3, mens AC (vist i rødt) er en sidediagonal med lengde kvadratroten av 2.

En diagonal i en av mangekantene som utgjør en av sideflatene kan kalles en sidediagonal.[6] Tilsvarende kan romdiagonal brukes dersom en ønsker å poengtere at diagonalen går i det indre av polyederet.[7]

Diagonal i en matrise[rediger | rediger kilde]

I en kvadratisk matrise kalles matriseelementene aii, der begge indeksene er like, for hoveddiagonalen eller bare diagonalen. Tilsvarende kalles alle elementer der |i - j| = konstant > 0 for en sidediagonal.

I en identitetsmatrise er alle elementene utenfor hoveddiagonalen lik null. Elementene hoveddiagonalen er lik 1. En matrise med nullelementer overalt bortsett fra på hoveddiagonalen kalles generelt en diagonalmatrise. En (3 × 3)-identitetsmatrise har forma

I = \begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.

I den følgende matrisen M er bare matriseelementer i en øvre sidediagonal ulik null:

M = \begin{pmatrix}
 0 & 1 & 0 & 0\\
 0 & 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 1 \\
 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}.

Diagonal i et kartesisk produkt[rediger | rediger kilde]

Det kartesiske produktet V × V er en mengde av ordnede par (v,w), slik at både v og w er elementer i mengden V. Diagonalen eller diagonalmengden er undermengden som inneholder alle ordende par der de to koordinatene er like.

Planet R2 er et kartesisk produkt R × R, dvs en mengde av ordnede par (x,y) der både x og y er relle tall. Diagonalmengden er lik mengden av (x,x), det vil si den rette linja som har ligning y = x. Dette er en skrå linje i planet, noe som forklarer bruken av navnet «diagonal» også for det kartesiske produktet V × V i mer abstrakt betydning.

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ a b E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. s. 156. ISBN 0-00-434347-6.  [Diagonal]
  2. ^ www.ditutor.com Math Dictionary - Polyhedra. Besøkt 5. januar 2013.
  3. ^ a b Steven Schwartzman (1994). The words of mathematics. An etymological dictionary of mathematical terms used in English. Washington, DC: The Mathematical Association of America. s. 71. ISBN 0-88385-511-9. 
  4. ^ mathworld.wolfram.com Polyhedron diagonal. Besøkt 5. januar 2012
  5. ^ John G. Hocking, Gail S. Young (1961). Topology. Mineola, N.Y: Dover Publications. s. 31. ISBN 0-486-65676-4. 
  6. ^ mathworld.wolfram.com Face diagonal. Besøkt 5. januar 2012
  7. ^ mathworld.wolfram.com Space diagonal. Besøkt 5. januar 2012

Se også[rediger | rediger kilde]