Firkant

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Eksempler på firkanter

En firkant er et polygon med fire sidekanter. I matematikk brukes også synonymene kvadrilateral eller, mindre vanlig, tetragon.[1]

Sidekantene møtes i de fire hjørnene. Et linjestykke mellom to hjørner som ikke er en sidekant kalles en diagonal. I en såkalt enkel firkant vil ingen av sidekantene krysse hverandre, og summen av de innvendige vinklene vil være 360°. Omkretsen av firkanten er lik summen av de fire sidelengdene.

Firkanter kan videre klassifiseres i en rekke undergrupper, som parallellogram, rektangel, kvadrat og rombe.

Navnet «kvadrilateral» har opphav i latin, som en sammensetning av «quadri» = fire og «latus» = side. Den greske formen «tertragon» betyr fire vinkler.[2]

Klassifikasjon av firkanter[rediger | rediger kilde]

Konkav firkant

En firkant er syklisk dersom alle hjørnene ligger på en og samme sirkelbue. Firkanten er likesidet dersom alle sidene er like lange. I en ortodiagonal firkant er diagonalene ortogonale.

En firkant er konveks dersom en vilkårlig rett linje skjærer sidekantene i maksimum to punkt. En enkel firkant som ikke er konveks sies å være konkav.

Firkanter kan klassifiseres i en rekke undergrupper. Når man i dagligtale bruker en betegnelse på en gruppe høyere opp i hiearkiet vil det ofte være underforstått at man mener en figur som ikke også tilhører en undergruppe. Det vil si at selv om et parallellogram også er et trapes så vil man med «trapes» oftest tenke på trapeser som ikke er parallogrammer. Tilsvarende er det slik at selv om kvadratet er et rektangel, vil man med «rektangel» ofte mene rektangler hvor alle sider ikke er like lange, d.v.s som ikke er kvadrater.

Trapes[rediger | rediger kilde]

Et trapes

En viktig regelmessig form på en firkant er trapeset. I et trapes er to av sidene parallelle, og de to andre sidene skal ikke krysse hverandre.

Arealet A av et trapes kan uttrykkes som et produkt av midlere lengde av parallelle sidekanter multiplisert med høyden mellom de parallelle linjene:

A=h \frac{s_1 + s_2}{2}.

Her er s1 og s2 lengdene av de to parallelle sidekantene. Høyden h er avstanden mellom de to parallelle sidekantene.

Parallellogram[rediger | rediger kilde]

Et parallellogram

En undergruppe under trapeset er parallellogrammet. Parallellogrammet er altså også et trapes. Et parallellogram har følgende egenskaper:

  • Begge de to parene av motstående sider er parallelle
  • Begge de to parene av motstående sider er like lange
  • Begge de to parene av motstående vinkler er like store
  • Begge diagonalene mellom de motstående hjørnene krysser hverandre på midten.

Alle disse egenskapene henger sammen og det er nok å påvise én av disse.

Parallellogramloven gir en sammenheng mellom lengden av sidene og diagonalene i et parallellogram.

Rombe[rediger | rediger kilde]

En rombe er en likesidet firkant. Enhver rombe er også et parallellogram. Diagonalene i en rombe er ortogonale, slik at romben er ortodiagonal. Skjæringspunktet mellom diagonalene vil dele hver av diagonalene i to.

Rektangel[rediger | rediger kilde]

Et rektangel

Et rektangel er et parallellogram der alle vinklene er 90°.

For et rektangelet forenkles arealformelen for trapeset seg til formen

A=a b,

hvor a og b er lengdene av to sider som står vinkelrett på hverandre.

Kvadrat[rediger | rediger kilde]

Et kvadrat er både en rombe og rektangel, d.v.s. en figur der alle sidene er like lange og vinklene er 90°. Et kvadrat er altså også en rombe, et rektangel, et parallellogram og et trapes.

Et kvadrat er et regulært polygon, det vil si både syklisk og likesidet.

En enhetsfirkant eller enhetskvadrat er et kvadrat med sidelengder lik 1. Som oftest er enhetskvadratet plassert med det ene hjørnet i origo og sidekanter orientert langs koordinataksene.

Drake[rediger | rediger kilde]

En drake

En drake er en enkel firkant der to og to sider har samme lengde og der to sider med samme lengde har et felles hjørne.

Areal av en konveks firkant[rediger | rediger kilde]

Arealet av en vilkårlig konveks firkant kan finnes ved å dele firkanten opp i to trekanter etter en av diagonalene, og så å regne ut arealet av de to trekantene hver for seg.

For en konveks firkant ABCD kan arealet også beregnes ved hjelp av kryssproduktet av to vektorer definert langs diagonalene:


\begin{alignat}{2}
A &= \tfrac{1}{2} |\mathbf{AC}\times\mathbf{BD}| \\
&= \tfrac{1}{2} |(x_C - x_A) (y_B - y_D) -  (x_B - x_D)(y_A - y_C)|.
\end{alignat}

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. s. 480. ISBN 0-00-434347-6.  [Quadrilateral]
  2. ^ Steven Schwartzman (1994). The words of mathematics. An etymological dictionary of mathematical terms used in English. Washington, DC: The Mathematical Association of America. s. 178. ISBN 0-88385-511-9.