Linjestykke

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Geometrisk definisjon av et linjestykke

I geometrien er et linjestykke en del av en linje som er avgrenset av to punkter.

Eksempler på et linjestykke inkluderer sidene i en trekant eller kvadrat. Mer generelt kan man si at når endepunkt begge er spisser i et polygon, vil linjesegmentet enten være en kant (i dette polygonet) hvis de er nærliggende spisser eller en diagonal. Når endepunktene begge ligger på en kurve som i en sirkel, kalles de en korde (av denne kurven)

[rediger] Definisjon

Hvis $V\,\!$ er en vektorrom over $\mathbb{R}$ eller $\mathbb{C}$ , og $L\,\!$ er et delmengde av $V,\,\!$ da $L\,\!$ er det et linjestykke hvis $L\,\!$ kan parametriseres som

$L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in[0,1]\}$

for vektorer $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\,\!$ med $\mathbf{v} \neq \mathbf{0},$ som i slike tilfeller $\mathbf{u}$ og $\mathbf{u+v}$ kalles punkt av $L.\,\!$

Av og til må man skille mellom «åpne» og «lukkede» linjestykker. Da definerer man lukkede linjestykker som over, og et åpent linjestykke som et subsett $L\,\!$ som kan parametriseres som

$L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in(0,1)\}$

for vektorer $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V\,\!$ med $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}.$

En alternativ ekvivalent definisjon er som følger: et (lukket) linjestykke er et konvekst hull av to distinke punkt.

[rediger] Egenskaper

Et linjestykke er forbundet, ikke tomt mengde.
Hvis $V$ er et topologisk vektorrom, da er et lukket linjestykke en lukket mengde i $V .$ Men et åpent linjestykke er en åpen mengde i $V$ bare hvis og bare hvis $V$ er endimensjonal.
Mer generelt enn over er begrepet linjestykke kan det defineres i et et ordered geometry.