Trigonometri

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Trigonometriske funksjoner definert for en vinkel θ
Områder i geometri
Algebraisk geometri
Differensialgeometri

Liegrupper
Riemannsk geometri

Euklidsk geometri

Pythagoras' læresetning

Ikke-euklidsk geometri

Elliptisk geometri
Sfærisk geometri
Hyperbolsk geometri
Projektiv geometri

Topologi

Algebraisk topologi
Generell topologi

Trigonometri

Trigonometri (fra gresk trigonon = tre vinkler, og metro = måling) er en gren innen matematikken som studerer forholdet mellom vinkler og sider i en rettvinklet trekant. Trigonometri anvendes i matematikk, astronomi og landmåling, men også innen felter som ikke er direkte forbundet med dette, som numerisk analyse, mekanikk og frekvensanalyse (lyd, lys, optikk, kvantemekanikk). Det er uenighet om trigonometrien er en egen matematisk gren eller om den er underlagt geometrien.

Notasjon og benevnelser[rediger | rediger kilde]

I trigonometrien blir sider og vinkler bokstavert på samme måte som ellers i geometrien.

Sidene i en rettvinklet trekant har navn etter hvor de står i forhold til den rette vinkelen og den vinkelen som blir undersøkt. Den lengste siden kalles hypotenusen og er den eneste siden som ikke står rett på en av de andre sidene. De andre sidene kalles for kateter, og de står rett på hverandre. Den kateten som er spent mellom vinkelbeina til den gjeldende vinkel kalles for den motstående kateten. Den kateten som utgjør et av vinkelbeina kalles for den hosliggende kateten.

Benevnelsen på forholdene i trekanten blir forkortet. Sinus blir til sin, cosinus blir cos, og tangens blir tan. Vinkelen det gjelder for blir skrevet etter forholdet, for eksempel cos v, eller tan 38.

Når forholdet blir satt i potens skrives det med verdien av forhøyelsen til forholdet, før vinkelen, for eksempel sin2 v. Hvis det blir skrevet etter vinkelen, blir det oppfattet at vinkelen skal i potens, for eksempel sin v2.

Forholdene i en rettvinklet trekant[rediger | rediger kilde]

En rettvinklet trekant med hypotenusen c og katetene a og b.
Enhetssirkelen.

Forholdet mellom sidene og vinklene i en rettvinklet trekant vil alltid avhenge av hverandre, og forholdet mellom sidene kan beregnes ved hjelp av vinkelen mellom dem. Dersom lengden på den ene siden endres, vil alltid lengden på de andre sidene også endres i takt med den første siden. Så lenge vinklene er de samme, vil forholdet mellom sidene være det samme. Det er disse forholdene som danner grunnlaget for trigonometrien, og kalles sinus, cosinus og tangens. Ettersom forholdet sier noe om vinkelen, blir navnet til forholdet benevnt med hvilken vinkel det gjelder, for eksempel sin v.

  • Sinus til en vinkel blir definert som forholdet mellom den motstående kateten og hypotenusen.
\sin A = \frac{a}{c}
  • Cosinus til en vinkel blir definert som forholdet mellom den hosliggende kateten og hypotenusen.
\cos A = \frac{b}{c}
  • Tangens til en vinkel blir definert som forholdet mellom den motstående kateten og den hosliggende kateten.
\tan A = \frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\cos A}

Trigonometriske funksjoner[rediger | rediger kilde]

Utdypende artikkel: Trigonometriske funksjoner

Grafen til cos x (grønn) og sin x (rød) der vinkel x er målt i radianer

I en rettvinklet trekant er alle vinkler mellom 0° og 90°, men forholdene kan utvides slik at de gjelder for de fleste verdier utover dette. Ved hjelp av enhetssirkelen kan disse defineres som periodiske funksjoner, kalt trigonometriske funksjoner. Trigonometriske funksjoner brukes blant annet i elektronikk, mekanikk og astronomi.

matematikkstubbDenne matematikkrelaterte artikkelen er dessverre kort eller mangelfull, og du kan hjelpe Wikipedia ved å utvide den. (Se stilmanual)