Vektor (matematikk)

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

En vektor kan i matematikk referere til en av de tre følgende relaterte objektene:

  • I geometri, et orientert linjestykke
  • En matematisk eller fysisk størrelse definert med en retning, for eksempel en hastighet
  • Et element i et vektorrom

Navnet er avledet fra latin ve'ctor som betyr «bærer». En geometrisk vektor bærer et punkt over i et annet. En egenskap er vektoriell dersom den kan representeres matematisk med en vektor.

Vektorer brukes i mange deler av matematikk, også i fysikk. I vektorregning studerer en regneregler og operasjoner utført med vektorer. Vektorregning inngår som en del av lineær algebra.

Geometriske vektorer[rediger | rediger kilde]

Formell definisjon[rediger | rediger kilde]

En vektor fra A til B

Mellom to punkt A og B i rommet kan en trekke et rett linjestykke AB. Dersom linjestykket er orientert fra A til B kalles dette en vektor, mange ganger skrevet som

\overrightarrow{AB}.

Ofte brukes bare en enkel bokstav med fet skrifttype v som betegnelse, eller en enkel bokstav med en pil over:

\mathbf{v} = \vec v = \overrightarrow{AB}.

I fysikk- og matematikkundervisning skrives også ofte vektorer uten noen form for markering, fordi det som regel fremkommer av sammenhengen at det er en vektor det er snakk om. Dette har flere grunner: det er ikke mulig eller praktisk å skrive med fet skrifttype på tavle og det blir raskt mange piler å tegne i løpet av en forelesning hvor vektorer brukes. Pilen vil også komme i veien for andre tegn som brukes, blant annet derivert, potenser o.l. For å gjøre plass til dette, men samtidig markere at det er en vektor, brukes noen ganger tegnet tilde under bokstaven: .

To vektorer AB og CD sies å være like eller ekvivalente dersom den ene kan parallellforskyves over i den andre. I notasjon skrives dette som

\overrightarrow{AB}  = \overrightarrow{CD}.

Vektorer som starter i origo O kalles for stedvektorer eller posisjonsvektorer. En stedvektor brukes ofte som representant for alle vektorer som er ekvivalent med denne. En vanlig betegnelse på en (vilkårlig) stedvektor er bokstaven r.

Basisvektorer og koordinater[rediger | rediger kilde]

Med referanse til et sett av basisvektorer e1, e2 og e3 kan en vilkårlig vektor skrives på koordinatform

\mathbf{v} = v_1 \mathbf{e}_1 + v_2 \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3 v_3 \,

der v1, v2 og v3 er koordinatene til vektoren med hensyn på den valgte basisen. Ofte skriver en forenklet koordinatvektoren

\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3) \, .

I lineær algebra blir en vektor ofte oppfattet som en matrise med dimensjon n × 1. Vektoren vil da skrives på matriseform som

\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)^T  = \begin{bmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3 \end{bmatrix} \, .

I et tredimensjonalt rom med et rettvinklet koordinatsystem er det vanlig å bruke standardbasisen definert ved

\mathbf{i} = (1,0,0)  \quad  \mathbf{j} = (0,1,0)  \quad  \mathbf{k} = (0,0,1) \,

I planet er standardbasisen definert ved

\mathbf{i} = (1,0)  \quad  \mathbf{j} = (0,1) \,

Lengde[rediger | rediger kilde]

Lengden av en geometrisk vektor skrives ofte som |v| og er definert ved

|\mathbf{v} | = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \,

Generaliseringen av en vektorlengde til et vektorrom kalles en norm og skrives som ||v||. Lengden av en geometrisk vektor svarer til den euklidske normen, også kalt 2-normen. På grunn av denne sammenhengen ser en ofte brukt symbolet ||v|| også som betegnelse på den (euklidske) vektorlengden.

Nullvektoren og enhetsvektorer[rediger | rediger kilde]

Nullvektoren er en vektor der alle koordinatene er lik null. Denne vektoren har ingen retning. Alle vektorer bort sett fra nullvektoren kalles egentlige vektorer.

En enhetsvektor er en vektor med lengde lik 1. En operasjon der en vilkårlig egentlig vektor deles med sin egen lengde kalles å normalisere vektoren, og resultatet av operasjonen er en enhetsvektor:

\mathbf{e} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} \  \Rightarrow \ |\mathbf{e}| = 1 \,

Enhetsvektorer betegnes ofte med bokstaven e.

Grunnleggende operasjoner[rediger | rediger kilde]

Addisjon av to vektorer a og b

Geometriske vektorer kan adderes ved å legge sammen koordinatene:

\mathbf{v} + \mathbf{u} = (v_1 + u_1, v_2 + u_2, v_3 + u_3) \,

Tilsvarende kan en også endre lengden av en vektor ved å multiplisere med en skalar:

k \mathbf{v} = (k v_1, k v_2, k v_3) \,

Indreprodukt, prikkprodukt, skalarprodukt[rediger | rediger kilde]

Skalarproduktet mellom to vektorer v og u er et reelt tall definert ved

\mathbf{v} \cdot \mathbf{u} =  |\mathbf{v}|\,  |\mathbf{u}| \cos \theta  = v_1 u_1 + v_2  u_2 + v_3 u_3 \,

Her er \theta vinkelen mellom de to vektorene. Også navnene prikkprodukt eller indreprodukt blir brukt som betegnelse.

Skalarproduktet er null dersom de to vektorene står nitti grader på hverandre. Ved hjelp av skalarproduktet kan lengden av en vektor skrives som

|\mathbf{v}| = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} \,

For skalarproduktet til geometriske vektorer gjelder Cauchy-Schwarz' ulikhet

|\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}| \le |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}| \,

Vektorprodukt[rediger | rediger kilde]

Vektorproduktet eller kryssproduktet av to vektorer v og u er en ny vektor definert ved

{\mathbf v}\times{\mathbf u} = (v_2 u_3 - v_3 u_2, \, v_3 u_1 - v_1 u_3, \,  v_1 u_2 - v_2 u_1)

Resultatvektoren står nitti grader på begge vektorene som inngår i kryssproduktet.

Trippelprodukt[rediger | rediger kilde]

Parallellepiped utspent av tre vektorer a, b og c.

Det skalare trippelproduktet av tre vektorer a, b og c skrives som (a b c) eller [a b c] og er et reelt tall definert ved

(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c})
= \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}).

Absoluttverdien av det skalare trippelproduktet er lik volumet av et parallellepiped utspent av de tre vektorene. Ved hjelp av koordinatene til de tre vektorene og definisjonen av en determinant kan trippelproduktet skrives på forma

(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c})
=\begin{vmatrix} 
  a_1 & a_2 & a_3 \\
  b_1 & b_2 & b_3 \\
  c_1 & c_2 & c_3 \\
\end{vmatrix}

Det vektorielle trippelproduktet er definert som et dobbelt kryssprodukt av alle tre vektorene, det vil si

\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) \,

Den følgende relasjonen gjelder for det vektorielle trippelproduktet:

\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}

Matematiske og fysiske størrelser[rediger | rediger kilde]

I matematikk og fysikk er mange parametre og elementer definert med både størrelse og en retning i rommet. For eksempel kan hastigheten til et objekt være 60 kilometer i timen i retning rett nordover. Slike elementer sies å være vektorielle, det vil si at de kan være representerte ved en geometrisk vektor. Lengden av vektoren representerer da størrelsen til elementet.

I fysikk kan en også definere en tilstandsvektor som beskriver en mulig tilstand for systemet en studerer. Vektoren er sammensatt av koordinater eller komponenter i et tilstandsrom eller faserom. For eksempel kan et enkelt termodynamisk system karakteriseres ved en tilstandsvektor (p,T), der koordinatene er trykket p og temperaturen T til systemet.

Eksempel på vektorielle størrelser[rediger | rediger kilde]

Vektorer definert i det tre-dimensjonale geometriske rommet:

Vektorer definert i et tilstandsrom:

  • En firervektor i relativitetsteori er en vektor (ct,x,y,z)
  • I kvantemekanikk brukes en tilstandsvektor for å beskrive kvantetilstanden til et system.
  • I klassisk mekanikk kan tilstanden til et system av N partikler beskrives av en tilstandsvektor med 6N komponenter. For hver partikkel har en tre komponenter som beskriver de romlige koordinatene til partikkelen, samt tre koordinater som beskriver impulsene.

Elementer i vektorrom[rediger | rediger kilde]

Et vektorrom er en samling av elementer med egenskaper som formaliserer og generaliserer egenskapene til geometriske vektorer. Også vektorer brukt i fysikk kan karakteriseres som elementer i et vektorrom.

Et vektorrom formaliserer kun egenskapene for addisjon og skalarmultiplikasjon av geometriske vektorer. I et vektorrom trenger ikke vektorene være definert med en lengde, og en har heller ikke definert et vinkelbegrep. Strukturen i vektorrommet kan utvides til å omfatte definisjonen av lengde og kalles da for et normert vektorrom. I et indreproduktrom kan en også si å ha en formalisering av et vinkelbegrep.

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • Fr Fabricius-Bjerre (1949, 1968, 1977). Lærebog i geometri. I: Analytisk geometri, lineær algebra. Lyngby: Polyteknisk forlag. ISBN 97-502-0440-8 .