Trigonometriske funksjoner

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Trigonometri

Historie

Anvendelser

Hypotenus

Funksjoner

Inverse funksjoner

Referanse

Identiteter

Eksakte konstanter

Trigonometriske tabeller

Setninger

Sinussetningen

Cosinussetningen

Tangenssetningen

Pythagoras' læresetning

Kalkulus

Integraler av funksjoner

Deriverte av funksjoner

Integraler av inverse funksjoner

I matematikken er trigonometriske funksjoner funksjoner av en vinkel. De er viktige i studien av trekanter og modellering av periodiske fenomener, blant mange andre anvendelser. Trigonometriske funksjoner er vanligvis definert som forhold mellom to sider i en rettvinklet trekant der vinkelen inngår, og kan på samme måte defineres som lengder av forskjellige linjestykker i en enhetssirkel. Mer moderne definisjoner uttrykker dem som uendelige rekker eller som løsninger av bestemte differensialligninger, noe som utvider dem til å bruke positive og negative vinkelverdier, og til og med komplekse tall.

I moderne bruk er det seks grunnleggende trigonometriske funksjoner, som er nevnt her sammen med ligningene for hvordan de forholder seg til hverandre. Spesielt i tilfellet med de siste fire er disse forholdene ofte ansett som definisjonene av de funksjonene, men man kan like godt definere dem geometrisk eller på andre måter, og så utlede disse forholdene.

Definisjoner i en rettvinklet trekant[rediger | rediger kilde]

Trigonometriske funksjoner kan defineres ut fra en rettvinklet trekant

For å definere de trigonometriske funksjonene for vinkelen A starter vi med en vilkårlig rettvinklet trekant der vinkelen A inngår.

Vi bruker følgende navn for de tre sidene i trekanten:

  • Hypotenusen er den motstående siden til den rette vinkelen, eller definert som den lengste siden i en rettvinklet trekant, i dette tilfellet h.
  • Motstående katet er den motstående siden til vinkelen vi er interessert i, i dette tilfellet a.
  • Hosliggende katet er siden som er i kontakt med vinkelen vi er interessert i, i dette tilfellet b.

De trigonometriske funksjonene er oppsummert i tabellen under. Deretter kommer beskrivelser i detalj. Vinkelen θ er den samme som vinkel A på figuren.

Funksjon Forkortelse Identiteter (i radianer)
Sinus sin \sin \theta \equiv \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\csc \theta}\,
Cosinus cos \cos \theta \equiv \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\sec \theta}\,
Tangens tan
(eller tg)
\tan \theta \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \equiv \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\cot \theta} \,
Cotangens cot
(eller ctg, cotg eller ctn)
\cot \theta \equiv \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \equiv \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{1}{\tan \theta} \,
Secans sec \sec \theta \equiv \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv\frac{1}{\cos \theta} \,
Cosecans csc
(eller cosec)
\csc \theta \equiv \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv\frac{1}{\sin \theta} \,

Sinus, cosinus og tangens[rediger | rediger kilde]

Sinus til en vinkel er forholdet mellom motstående katet og hypotenusen. I vårt tilfelle

\sin A = \frac {\textrm{motst}\overset{{}_\circ}{\textrm{a}}\textrm{ende}} {\textrm{hypotenus}} = \frac {a} {h}\,.

Cosinus til en vinkel er forholdet mellom hosliggende katet og hypotenusen. I vårt tilfelle

\cos A = \frac {\textrm{hosliggende}} {\textrm{hypotenus}} = \frac {b} {h}\,.

Tangens til en vinkel er forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet. I vårt tilfelle

\tan A = \frac {\textrm{motst}\overset{{}_\circ}{\textrm{a}}\textrm{ende}} {\textrm{hosliggende}} = \frac {a} {b}\,.

Resiproke funksjoner[rediger | rediger kilde]

De tre gjenstående funksjonene defineres best ut fra de tre funksjonene over.

Cotangens cot A er det inverse tallet til tan A, dvs. forholdet mellom hosliggende side og motstående side:

\cot A = \frac {\textrm{hosliggende}} {\textrm{motst}\overset{{}_\circ}{\textrm{a}}\textrm{ende}} = \frac {b} {a}\,.

Secans sec A er det inverse tallet til cos A, dvs. forholdet mellom hypotenusen og hosliggende side:

\sec A = \frac {\textrm{hypotenus}} {\textrm{hosliggende}} = \frac {h} {b}\,.

Cosecans csc A er det inverse tallet til sin A, dvs. forholdet mellom hypotenusen og motstående side:

\csc A = \frac {\textrm{hypotenus}} {\textrm{motst}\overset{{}_\circ}{\textrm{a}}\textrm{ende}} = \frac {h} {a}\,.

Definisjoner i enhetssirkelen[rediger | rediger kilde]

De trigonometriske funksjonene kan også defineres ut fra en enhetssirkel, en sirkel med radius lik 1 og sentrum i origo. Etter en slik definisjon kan alle reelle tall brukes som argumenter.

Vi tenker oss en vinkel med toppunkt i origo, og det ene vinkelbeinet langs x-aksen. Der det andre vinkelbeinet skjærer sirkelen får vi et punkt vi kaller vinkelpunktet. Cosinus til vinkelen er definert som x-koordinaten til vinkelpunktet og sinus som y-koordinaten. De andre funksjonene defineres ut fra sinus og cosinus som nevnt ovenfor.

For vinkler større enn 2\pi eller mindre enn -2\pi, fortsetter man bare rundt sirkelen. På denne måten blir sinus og cosinus periodiske funksjoner med periode 2\pi:

\sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right)\,,
\cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right)\,,

for alle vinkler θ og alle heltall k.

Alle de trigonometriske funksjonene til vinkelen θ kan konstrueres geometrisk ut fra en enhetssirkel

Alternativt kan alle de trigonometriske funksjonene defineres ut fra en enhetssirkel som vist i bildet til høyre, og tilsvarende geometriske definisjoner ble brukt i historien. For en korde AB, der θ er halvparten av den utspente vinkelen, er sin θ = AC (halve korden). cos θ er den vannrette avstanden OC, og versin θ = 1 − cos θ = CD. tan θ er lengden av linjestykket AE som er tangenten gjennom A, derfor ordet tangens. cot θ er linjestykket AF. sec θ = OE og csc θ = OF er sekantlinjene. DE er exsec θ = sec θ − 1 (delen av sekanten som er utenfor, eller ex, sirkelen).

Rekkedefinisjoner[rediger | rediger kilde]

Sinusfunksjonen (blå) er godt tilnærmet ved taylorpolynomet av 7. grad (rosa) for et helt omløp

Ved å bruke bare geometri og grenseverdier kan det vises at den deriverte av sin x er cos x og at den deriverte av cos x er −sin x. (Her, og generelt i kalkulus / (differensialregning), er alle vinkler målt i radianer.) Man kan så bruke teorien for taylorrekker for å vise at følgende identiteter holder for alle reelle tall x:[1]


\begin{align}
\sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\  \\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}
= \sum_{\text{odd }m \ge 1} (-1)^{(m-1)/2} \frac{x^m}{m!}, \\  \\
\cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\  \\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}
= \sum_{\text{even }m \ge 0} (-1)^{m/2} \frac{x^m}{m!}, \\  \\
\tan x & {} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\
& {} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots, \qquad \text{for } |x| < \frac{\pi}{2}\,,
\end{align}

der

Bn er det n-te Bernoulli-tallet

Identiteter[rediger | rediger kilde]

Det finnes mange identiteter som gjelder mellom de trigonometriske funksjonene. Blant de oftest brukte er enhetssetningen, som sier at for alle vinkler, er kvadratet av sinus pluss kvadratet av cosinus alltid lik 1. Dette kan ses ved å lage en rettvinklet trekant med hypotenus lik 1 og bruke Pythagoras’ læresetning. Enhetssetningen er slik:

\left(\sin x\right)^2 + \left(\cos x\right)^2 = 1\,,

som vanligvis skrives slik, uten parenteser:

\sin^2 x  + \cos^2 x  = 1\,.

Andre viktige forhold er formlene for sinus og cosinus av summen og differansen mellom to vinkler.

\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y\,,
\cos \left(x+y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y\,,
\sin \left(x-y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y\,,
\cos \left(x-y\right)=\cos x \cos y + \sin x \sin y\,.

Kalkulus[rediger | rediger kilde]

For integraler og deriverte av trigonometriske funksjoner, se de relevante avsnittene i tabell over deriverte, tabell over integraler og liste over integraler av trigonometriske funksjoner. Under er listen over deriverte og integraler til de seks grunnleggende trigonometriske funksjonene.

\ \ \ \ f(x) \ \ \ \ f'(x) \int f(x)\,dx
\,\ \sin x \,\ \cos x \,\ -\cos x + C
\,\ \cos x \,\ -\sin x \,\ \sin x + C
\,\ \tan x \,\ \sec^{2} x = 1+\tan^{2} x -\ln \left |\cos x\right | + C
\,\ \cot x \,\ -\csc^{2} x = -1-\cot^{2} x \ln \left |\sin x\right | + C
\,\ \sec x \,\ \sec{x}\tan{x} \ln \left |\sec x + \tan x\right | + C
\,\ \csc x \,\ -\csc{x}\cot{x} -\ln \left |\csc x + \cot x\right | + C

Utregning[rediger | rediger kilde]

Utregningen av trigonometriske funksjoner er et komplisert emne, som i dag kan unngås av de fleste, pga. datamaskiner og vitenskapelige kalkulatorer. I dette avsnittet beskriver vi imidlertid flere detaljer om utregningen i tre viktige sammenhenger: historisk bruk av trigonometriske tabeller, de moderne teknikkene som brukes av datamaskiner, og eksakte verdier for noen bestemte vinkler.

Før datamaskinene brukte man tabeller, og fant mellomliggende verdier ved interpolasjon. Slike tabeller har vært tilgjengelige så lenge som trigonometriske funksjoner har vært beskrevet (se Historie nedenfor), og ble vanligvis utregnet ved gjentatt bruk av formlene for halve vinkler og summen av vinkler (se Trigonometriske identiteter) ved å gå ut fra en kjent verdi (slik som \sin(\pi/2) = 1).

For noen enkle vinkler kan verdiene utregnes for hånd ved hjelp av Pythagoras’ læresetning, som i de følgende eksemplene. Eksakte verdier av sinus, cosinus og tangens for alle multipler av \pi / 60 radianer (3°) kan faktisk finnes for hånd.

Vi tenker oss en rettvinklet trekant der de to andre vinklene er \pi / 4 radianer (45°). Sidene b og a er like; vi kan velge a = b = 1. Verdiene av sinus, cosinus og tangens til \pi / 4 radianer (45°) kan da finnes ved hjelp av Pythagoras’ læresetning:

c = \sqrt { a^2+b^2 } = \sqrt2\,.

Derfor:

\sin \left(\pi / 4 \right) = \sin \left(45^\circ\right) = \cos \left(\pi / 4 \right) = \cos \left(45^\circ\right) = {1 \over \sqrt2}\,,
\tan \left(\pi / 4 \right) = \tan \left(45^\circ\right) = {{\sin \left(\pi / 4 \right)}\over{\cos \left(\pi / 4 \right)}} = {1 \over \sqrt2} \cdot {\sqrt2 \over 1} = {\sqrt2 \over \sqrt2} = 1\,.

For å bestemme trigonomentriske funksjoner for vinkler på π/3 radianer (60°) og π/6 radianer (30°) starter vi med en likesidet trekant med sidelengde 1. Alle vinkler er π/3 radianer (60 grader). Ved å dele den i to får vi en rettvinklet trekant med vinkler på π/6 radianer (30°) og π/3 radianer (60°). Den korteste siden = 1/2, den nest lengste = (√3)/2 og hypotenusen = 1. Dette gir:

\sin \left(\pi / 6 \right) = \sin \left(30^\circ\right) = \cos \left(\pi / 3 \right) = \cos \left(60^\circ\right) = {1 \over 2}\,,
\cos \left(\pi / 6 \right) = \cos \left(30^\circ\right) = \sin \left(\pi / 3 \right) = \sin \left(60^\circ\right) = {\sqrt3 \over 2}\,,
\tan \left(\pi / 6 \right) = \tan \left(30^\circ\right) = \cot \left(\pi / 3 \right) = \cot \left(60^\circ\right) = {1 \over \sqrt3}\,.

De eksakte verdiene av sinus for vinklene 0°, 30°, 45°, 60° og 90° kan lett huskes som \tfrac{1}{2}\sqrt{0},\tfrac{1}{2}\sqrt{1},\tfrac{1}{2}\sqrt{2},\tfrac{1}{2}\sqrt{3},\tfrac{1}{2}\sqrt{4}. Den tilsvarende rekken for cosinus er rekken for sinus baklengs, og tangens er som nevnt sinus delt på cosinus.

Inverse funksjoner[rediger | rediger kilde]

De trigonometriske funksjonene er periodiske, og derfor ikke injektive, så de har strengt tatt ikke en invers funksjon. For å definere en invers funksjon må vi begrense definisjonsmengden så den trigonometriske funksjonen blir bijektiv. I det følgende er funksjonene til venstre definert ved ligningen til høyre; disse er ikke beviste identiteter. De viktigste inverse funksjonene er vanligvis definert som:

 \begin{matrix}

 \mbox{for} & -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2},
 & y = \arcsin x & \mbox{hvis} & x = \sin y \,;\\ \\
 \mbox{for} & 0 \le y \le \pi,
 & y = \arccos x & \mbox{hvis} & x = \cos y \,;\\ \\
 \mbox{for} & -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2},
 & y = \arctan x & \mbox{hvis} & x = \tan y \,;\\ \\
 \mbox{for} & -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}, y \ne 0,
 & y = \arccsc x & \mbox{hvis} & x = \csc y \,;\\ \\
 \mbox{for} & 0 \le y \le \pi, y \ne \frac{\pi}{2},
 & y = \arcsec x & \mbox{hvis} & x = \sec y \,;\\ \\
 \mbox{for} & 0 < y < \pi,
 & y = \arccot x & \mbox{hvis} & x = \cot y \,.

\end{matrix}

For inverse trigonometriske funksjoner blir skrivemåtene sin−1 og cos−1 ofte brukt for arcsin, arccos osv.

Akkurat som sinus og cosinus, kan de inverse trigonometriske funksjonene også defineres som uendelige rekker. For eksempel,


\arcsin z = z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\,.

Disse funksjonene kan også defineres ved å bevise at de er antideriverte av andre funksjoner. Funksjonen arcsin kan f.eks. skrives som følgende integral:


\arcsin z =
\int_0^z \frac 1 {\sqrt{1 - x^2}}\,dx, \quad |z| < 1\,.

Analoge formler for andre funksjoner kan finnes på Inverse trigonometriske funksjoner. Ved å bruke den komplekse logaritmen kan man generalisere alle disse funksjonene til komplekse argumenter:


\arcsin z = -i \log \left( i z + \sqrt{1 - z^2} \right)\,,

\arccos z = -i \log \left( z + \sqrt{z^2 - 1}\right)\,,

\arctan z = \frac{i}{2} \log\left(\frac{1-iz}{1+iz}\right)\,.

Egenskaper og anvendelser[rediger | rediger kilde]

Sinussetningen[rediger | rediger kilde]

Sinussetningen sier at for en vilkårlig trekant med sider a, b og c og vinkler A, B og C der a er motstående til A osv.:

\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}\,,

eller, på samme måte,

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\,,

der R er radius til trekantens omskrevne sirkel

Den kan bevises ved å dele trekanten inn i to rettvinklede trekanter og bruke definisjonen av sinus.

Cosinussetningen[rediger | rediger kilde]

Cosinussetningen er en utvidelse av Pythagoras’ læresetning:

c^2=a^2+b^2-2ab\cos C \,,

også kjent som

\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\,.

I denne formelen er vinkel C motstående til side c. Denne setningen kan bevises ved å dele trekanten inn i to rettvinklede trekanter og bruke Pythagoras’ læresetning.

For å bruke cosinussetningen må vi kjenne tre opplysninger (vinkler/sidelengder) om trekanten, deriblant minst én side.

Andre nyttige egenskaper[rediger | rediger kilde]

Tangenssetningen finnes også:

\frac{a+b}{a-b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(A+B)]}{\tan[\frac{1}{2}(A-B)]}\,.

Periodiske funksjoner[rediger | rediger kilde]

Animasjon av kunstig fremstilling av en firkantbølge med økende antall harmoniske bølger

Trigonometriske funksjoner er nyttige i studien av generelle periodiske funksjoner. Disse funksjonene har karakteristiske bølgeformer som grafer, og er nyttige for å modellere gjentagende fenomener slik som lyd eller lysbølger. Hvert signal kan skrives som en (vanligvis uendelig) sum av sinus- og cosinusfunksjoner av forskjellige frekvenser; dette er den grunnleggende ideen i fourieranalyse. Firkantbølgen kan f.eks. skrives som Fourier-rekken

 x_{\mathrm{square}}(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty {\sin{\left ( (2k-1)t \right )}\over(2k-1)}.

I animasjonen til høyre fremgår det at bare noen få ledd allerede lager en ganske god tilnærming.

Historie[rediger | rediger kilde]

Kordefunksjonen ble oppdaget av Hipparkhos fra Nikea (180–125 f.Kr.) og Ptolemaios fra Egypt (90–165 e.Kr.). Sinus- og cosinusfunksjonene ble oppdaget av Aryabhata (476–550) og studert av Varahamihira og Brahmagupta. Tangensfunksjonen ble oppdaget av Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (780–850), og secans-, cotangens- og cosecansfunksjonene ble oppdaget av Abū al-Wafā’ al-Būzjānī (940–998). Alle de seks trigonometriske funksjonene ble så studert av Omar Khayyám, Bhaskara, Nasir al-Din al-Tusi, Ghiyath al-Kashi (14. århundre), Ulugh Beg (14. århundre), Regiomontanus (1464), Rheticus og Rheticus’ student Valentin Otho.[trenger referanse]

Madhava fra Sangamagramma (ca. 1400) gjorde tidlig arbeid i analysen av trigonometriske funksjoner som uendelige rekker.[2] Leonhard Eulers Introductio in analysin infinitorum (1748) hadde stor betydning for at analytisk behandling of trigonometriske funksjoner i Europa ble påbegynt, og han definerte dem også som uendelige rekker og presenterte Eulers formel i tillegg til de nesten-moderne forkortelsene sin., cos., tang., cot., sec., og cosec.[3]

Etymologisk sett stammer ordet sinus fra ordet jya-ardha (sanskrit), som betyr «halvkorde», forkortet til jiva. Dette ble translitterert i arabisk som jiba, skrevet jb, i det vokaler ikke ble skrevet på arabisk. Så ble denne translitterasjonen feiloversatt i det 12. århundre til latin som sinus, ved at jb ble antatt å stå for ordet jaib, som betyr «bukt» eller «fold» på arabisk, som også sinus gjør på Latin.[4] Ordet tangens er latin og betyr «berørende», siden linjen «berører» enhetssirkelen, mens secant kommer fra secans – «kuttende» – siden linjen kutter sirkelen.

De moderne navnene på funksjonene tangens og secans ble innført av den danske matematikeren Thomas Fincke i hans Geometriæ rotundi (1583).

Se også[rediger | rediger kilde]

Noter[rediger | rediger kilde]

  1. ^ Se Ahlfors, sidene 43–44.
  2. ^ J J O’Connor and E F Robertson. Madhava of Sangamagrama. School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland. Besøkt 8. september 2007.
  3. ^ Se Boyer (1991).
  4. ^ Se Maor (1998), kapittel 3, angående etymologien.

Referanser[rediger | rediger kilde]

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]