Liste over trigonometriske identiteter

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Cosinus og sinus på enhetssirkelen
Trigonometri

Historie

Anvendelser

Hypotenus

Funksjoner

Inverse funksjoner

Referanse

Identiteter

Eksakte konstanter

Trigonometriske tabeller

Setninger

Sinussetningen

Cosinussetningen

Tangenssetningen

Pythagoras' læresetning

Kalkulus

Integraler av funksjoner

Deriverte av funksjoner

Integraler av inverse funksjoner

I matematikk er trigonometriske identiteter likheter som involverer trigonometriske funksjoner og er sanne for alle verdier av variablene. Geometrisk sett er disse identiteter som involverer bestemte funksjoner av en eller flere vinkler. Disse skiller seg fra trekantidentiteter, som er identiteter som involverer både vinkler og sidelengder i en trekant. Bare de førstnevnte dekkes av denne artikkelen.


Notasjon[rediger | rediger kilde]

Vinkler[rediger | rediger kilde]

Denne artikelen bruker greske bokstaver slik som alfa, (α), beta (β), gamma (γ) og theta (θ) for å representere vinkler. Flere forskjellige vinkelmåleenheter er utbredt, heriblant grader, radianer og gon:

1 full sirkel  = 360 grader = 2\pi radianer  =  400 gon.

Den følgende tabellen viser omregningene for noen vanlige vinkler:

Grader 30° 60° 120° 150° 210° 240° 300° 330°
Radianer \frac\pi6\! \frac\pi3\! \frac{2\pi}3\! \frac{5\pi}6\! \frac{7\pi}6\! \frac{4\pi}3\! \frac{5\pi}3\! \frac{11\pi}6\!
Gon 33⅓ gon 66⅔ gon 133⅓ gon 166⅔ gon 233⅓ gon 266⅔ gon 333⅓ gon 366⅔ gon
Grader 45° 90° 135° 180° 225° 270° 315° 360°
Radianer \frac\pi4\! \frac\pi2\! \frac{3\pi}4\! \pi\! \frac{5\pi}4\! \frac{3\pi}2\! \frac{7\pi}4\! 2\pi\!
Gon 50 grad 100 gon 150 gon 200 gon 250 gon 300 gon 350 gon 400 gon

Med mindre annet er angitt, antas alle vinkler i denne artikkelen å være i radianer, men vinkler angitt med gradsymbol (°) er i grader.

Trigonometriske funksjoner[rediger | rediger kilde]

De primære trigonometriske funksjonene er sinus og cosinus til en vinkel. Disse er noen ganger forkortet henholdsvis sin(θ) og cos(θ), der θ er vinkelen, men parentesene rundt vinkelen er ofte utelatt, f.eks. sin θ and cos θ.

Tangensfunksjonen (tan) til en vinkel er forholdet mellom sinus og cosinus:

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}.

Til slutt er de resiproke funksjonene secans (sec), cosecans (csc) og cotangens (cot) de resiproke av cosinus, sinus og tangens:

\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta},\quad\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta},\quad\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}.

Inverse funksjoner[rediger | rediger kilde]

De inverse trigonometriske funksjonene er delvise inverse funksjoner for de trigonometriske funksjonene. For eksempel er den inverse funksjonen for sinus kjent som invers sinus (sin−1) eller arcsinus (arcsin eller asin), og den tilfredsstiller

\sin(\arcsin x) = x\!

og

\arcsin(\sin \theta) = \theta\quad\text{for }-\pi/2 \leq \theta \leq \pi/2.

Denne artikkelen bruker følgende notasjon for inverse trigonometriske funksjoner:

Funksjon sin cos tan sec csc cot
Invers arcsin arccos arctan arcsec arccsc arccot

Enhetsformelen[rediger | rediger kilde]

Det grunnleggende forholdet mellom sinus og cosinus er enhetsformelen:

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\!

der sin2 θ betyr (sin(θ))2.

Dette kan betraktes som en versjon av Pythagoras' læresetning, og følger fra ligningen x2 + y2 = 1 for enhetssirkelen. Denne ligningen kan løses med hensyn på enten sinus eller cosinus:

\sin\theta = \pm \sqrt{1-\cos^2\theta} \quad \text{og} \quad \cos\theta = \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}. \,

Relaterte identiteter[rediger | rediger kilde]

Å dele enhetsformelen på enten cos2 θ eller sin2 θ gir to andre identiteter:

1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\quad\text{og}\quad 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta.\!

Ved å bruke disse identitetene sammen med forholdsidentitetene, er det mulig å uttrykke en hvilken som helst trigonometrisk funksjon ved en hvilken som helst annen:

Hver av de trigonometriske funksjonene uttrykt ved de andre fem.[1]
uttrykt ved  \sin \theta\!  \cos \theta\!  \tan \theta\!  \csc \theta\!  \sec \theta\!  \cot \theta\!
   \sin \theta =\!    \sin \theta\ \pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}\! \pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\!    \frac{1}{\csc \theta}\! \pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}\! \pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\!
   \cos \theta =\! \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}\!    \cos \theta\! \pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\! \pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}\!    \frac{1}{\sec \theta}\! \pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\!
   \tan \theta =\! \pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\! \pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}\!    \tan \theta\! \pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\! \pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}\!    \frac{1}{\cot \theta}\!
   \csc \theta =\!    \frac{1}{\sin \theta}\! \pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\! \pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}\!    \csc \theta\! \pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\! \pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}\!
   \sec \theta =\! \pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\!    \frac{1}{\cos \theta}\! \pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}\! \pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\!    \sec \theta\! \pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}\!
   \cot \theta =\! \pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}\! \pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\!    \frac{1}{\tan \theta}\! \pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}\! \pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\!    \cot \theta\!

Symmetri, forskyvninger og periodisitet[rediger | rediger kilde]

Ved å undersøke enhetssirkelen, kan følgende egenskaper ved de trigonometriske funksjoner etableres.

Symmetri[rediger | rediger kilde]

Når de trigonometriske funksjonene blir speilet om bestemte vinkler, er resultatet ofte en av de andre trigonometriske funksjonene. Dette fører til de følgende identiteter:


Speilet om \theta=0 [2] Speilet om \theta= \pi/4
(kofunksjon-identiteter)[3]
Speilet om \theta= \pi/2

\begin{align}
\sin(-\theta) &= -\sin \theta \\
\cos(-\theta) &= +\cos \theta \\
\tan(-\theta) &= -\tan \theta \\
\csc(-\theta) &= -\csc \theta \\
\sec(-\theta) &= +\sec \theta \\
\cot(-\theta) &= -\cot \theta
\end{align}

\begin{align}
\sin(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \\
\cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sin \theta \\
\tan(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cot \theta \\
\csc(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sec \theta \\
\sec(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\csc \theta \\
\cot(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta
\end{align}

\begin{align}
\sin(\pi - \theta) &= +\sin \theta \\
\cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\
\tan(\pi - \theta) &= -\tan \theta \\
\csc(\pi - \theta) &= +\csc \theta \\
\sec(\pi - \theta) &= -\sec \theta \\
\cot(\pi - \theta) &= -\cot \theta \\
\end{align}

Forskyvninger og periodisitet[rediger | rediger kilde]

Ved å forskyve funksjonen med bestemte vinkler, er det ofte mulig å finne forskjellige trigonometriske funksjoner som uttrykker resultatet enklere. Noen eksempler på dette vises ved å forskyve funksjonene med π/2, π og 2π radianer. Fordi disse periodene er enten π eller 2π er det tilfeller der den nye funksjonen er eksakt den samme som den gamle funksjonen uten forskyvning.


Forskjøvet med π/2 Forskjøvet med π
Periode for tan og cot[4]
Forskjøvet med 2π
Periode for sin, cos, csc og sec[5]

\begin{align}
\sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\
\cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\
\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\cot \theta \\
\csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \theta \\
\sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \theta \\
\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta
\end{align}

\begin{align}
\sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\
\cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\
\tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\
\csc(\theta + \pi) &= -\csc \theta \\
\sec(\theta + \pi) &= -\sec \theta \\
\cot(\theta + \pi) &= +\cot \theta \\
\end{align}

\begin{align}
\sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\
\cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\
\tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\
\csc(\theta + 2\pi) &= +\csc \theta \\
\sec(\theta + 2\pi) &= +\sec \theta \\
\cot(\theta + 2\pi) &= +\cot \theta
\end{align}

Identiteter for vinkelsummer og differanser[rediger | rediger kilde]

Disse ble opprinnelig etablert av den persiske matematikeren Abū al-Wafā' Būzjānī i det 10. århundre. En måte å bevise disse identitene på er å bruke Eulers formel. Bruken av symbolene \pm og \mp er beskrevet i artikkelen pluss/minus-tegn.

Sinus \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \![6][7]
Cosinus \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,[7][8]
Tangens \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}[7][9]
Arcsinus \arcsin\alpha \pm \arcsin\beta = \arcsin(\alpha\sqrt{1-\beta^2} \pm \beta\sqrt{1-\alpha^2})[10]
Arccosinus \arccos\alpha \pm \arccos\beta = \arccos(\alpha\beta \mp \sqrt{(1-\alpha^2)(1-\beta^2)})[11]
Arctangens \arctan\alpha \pm \arctan\beta = \arctan\left(\frac{\alpha \pm \beta}{1 \mp \alpha\beta}\right)[12]

Formler for multiple vinkler[rediger | rediger kilde]

Formler for dobbelte, triple og halve vinkler[rediger | rediger kilde]

Disse kan vises ved å bruke enten sum- eller differanseidentitetene eller formler for multiple vinkler.

Formler for dobbelte vinkler[13][14]
\begin{align}
\sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta \ \\ &= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}
\end{align} \begin{align}
\cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ &= 2 \cos^2 \theta - 1 \\ 
&= 1 - 2 \sin^2 \theta \\ &= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}
\end{align} \tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\! \cot 2\theta = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta}\!
Formler for triple vinkler[15][16]
\begin{align}\sin 3\theta & = 3 \cos^2\theta \sin\theta - \sin^3\theta \\
& = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta \end{align} \begin{align}\cos 3\theta & = \cos^3\theta - 3 \sin^2 \theta\cos \theta \\
& = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta\end{align} \tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}\! \cot 3\theta = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}\!
Formler for halve vinkler[17][18]
\sin \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} \cos \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \begin{align} \tan \frac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \\[10pt]
\tan\frac{\eta+\theta}{2} & = \frac{\sin\eta+\sin\theta}{\cos\eta+\cos\theta} \\[8pt]
\tan\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) & = \sec\theta + \tan\theta \\[8pt]
\sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}} & = \frac{1 - \tan(\theta/2)}{1 + \tan(\theta/2)} \end{align} \begin{align} \cot \frac{\theta}{2} &= \csc \theta + \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} \end{align}

Se også[rediger | rediger kilde]

Fotnoter[rediger | rediger kilde]

  1. ^ Abramowitz and Stegun, p. 73, 4.3.45
  2. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.13–15
  3. ^ The Elementary Identities
  4. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.9
  5. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.7–8
  6. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.16
  7. ^ a b c (en) Eric W. Weisstein, Trigonometric Addition Formulas i MathWorld.
  8. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.17
  9. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.18
  10. ^ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.42
  11. ^ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.43
  12. ^ Abramowitz and Stegun, p. 80, 4.4.36
  13. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.24–26
  14. ^ (en) Eric W. Weisstein, Double-Angle Formulas i MathWorld.
  15. ^ (en) Eric W. Weisstein, Multiple-Angle Formulas i MathWorld.
  16. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.27–28
  17. ^ Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22
  18. ^ (en) Eric W. Weisstein, Half-Angle Formulas i MathWorld.

Referanser[rediger | rediger kilde]

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]