Sfærisk geometri

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
En trekant på en kuleoverflate.

Sfærisk geometri (også kalt kulegeometri) er den delen av geometri som behandler geometriske objekter (f.eks. polygoner) i dimensjoner fra 0 til 2 på overflaten av en kule (sfære). I denne geometritypen ser man også på forholdene mellom sidene og vinklene. I praktiske sammenheng kan en sfærisk trekant anses som den viktigste figuren i sfærisk geometri. Sfærisk geometri er av stor betydning for beregninger i blant annet astronomi og navigasjon i verdensrommet.

I plangeometri er punkter og (rette) linjer de grunnleggende begrepene. På kulen er punkter definert på vanlig måte. Linjenes ekvivalente er ikke definert på samme måte som for "rette linjer", men de defineres utfra "de korteste veiene mellom punkter". Disse "rutene" kalles geodetiske kurver. På en kuleoverflate er de geodetiske kurvene storsirkler; andre geometriske begreper blir definert som i plangeometri, men med de rette linjene erstattet av storsirkler. Dermed er vinkler i sfærisk geometri definert mellom storsirkler, noe som gir sfærisk trigonometri som skiller seg fra vanlig trigonometri på mange områder; f.eks. er summen av de indre vinklene i en trekant større enn 180°.

Sfærisk geometri er den enkleste formen for elliptisk geometri, hvor en linje ikke har noen paralleller gjennom et gitt punkt. Dette er en motsetning til euklidsk geometri, hvor en linje har en parallell, og hyperbolsk geometri, hvor en linje har to paralleller og et uendelig antall av ultraparalleller gjennom et gitt punkt.

En viktig geometri relatert til denne geometritypen er geometrien til et reell projektivt plan; den får en ved å gjenkjenne antipodal-punkter (par av motsatte punkter) på kuleoverflaten. (Dette er en annen type elliptisk geometri). Lokalt har det projektive planet alle egenskapene til sfærisk geometri, men det har ulike globale egenskaper. Nærmere bestemt er planet ikke-orienterbart eller ensidet.

Begrepene i sfærisk geometri kan også brukes på avlange kuler, men små justeringer må imidlertid gjøres på flere formler.

Høyere-dimensjonale sfæriske geometrier eksisterer; se elliptisk geometri.

Historie[rediger | rediger kilde]

Sfærisk trigonometri ble studert av tidlige greske matematikere som Menelaos av Alexandria, som skrev en bok om sfærisk trigonometri med navnet Sphaerica og utviklet Menelaos' teorem.[1]

The book of unknown arcs of a sphere skrevet av den muslimske matematikeren Al-Jayyani anses for å være den første avhandlingen om sfærisk trigonometri. Boka inneholder formler for høyrehendte trekanter, den generelle loven om forholdet mellom lengden til en side motstående til en vinkel og lengden til hypotenus i en høyrehendt trekant og løsningen for en sfærisk trekant ved hjelp av polar trekant.[2]

Boka De triangulis («Om trekanter») skrevet av Regiomontanus rundt 1463, er det første rent trigonometriske arbeidet i Europa. Århundret senere la imidlertid Gerolamo Cardano merke til at mye av innholdet om sfærisk trigonometri var tatt fra arbeidet til den spanske muslimen Jabir ibn Aflah, som var en lærd mann som levde i det 12. århundre.[3]

Se også[rediger | rediger kilde]

Referanser[rediger | rediger kilde]

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]

Commons-logo.svg Commons: Kategori:Sfærisk geometri – bilder, video eller lyd