Euklids Elementer

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Forsiden til den første, engelske utgave av Euklids Elementer, utgitt av Sir Henry Billingsley, 1570.

Euklids Elementer (gresk: Στοιχεῖα Εὐκλείδου, Stoikheia Eukleidou) er et verk skrevet av den greske matematikeren Euklid omkring 300 f.Kr.. Det er en samling av bøker som oppsummerer og presenterer all kunnskap innenfor geometri og aritmetikk på Euklids tid.

Verket ble bearbeidet av Theon av Alexandria midt på 300-tallet, og denne versjonen har siden ligget til grunn for senere utgaver. Gjennom de følgende århundrene er verket blitt spredd i et utall oversettelser og bearbeidelser i Middelhavsområdet, Europa og Asia. Den første trykte utgaven ble gjort i Venezia i 1482, og den er senere trykt i over 1000 utgaver på ulike språk.

Den greske filosof Proklos var en av de første som på 300-tallet diskuterte verket. Han mente at navnet Elementer er ment å ha samme mening i matematikken som bokstaver har når de settes sammen til tekst eller grunnstoff har som byggestener til all materie. Ved å presentere disse grunnleggende elementene kunne så videre matematiske sannheter utledes.

Utfra den måten Elementene er bygget opp på ved bruk av definisjoner og aksiomer som gjør det mulig å bevise og konstruere forskjellige matematiske resultat, har verket frem til i våre dager vært sinnbildet på hvordan vitenskapelige sannheter kan utledes basert på ren logikk. Det er uten tvil det mest innflytelsesrike verket i matematikkens historie. I den vestlige verden har verket vært lærebok i geometri i nærmere 2000 år og er trolig verdens mest kjente fagbok.

Innhold[rediger | rediger kilde]

Elementene består av 13 bind eller bøker. I første bok defineres grunnleggende begrep i geometrien som punkt, linje, vinkel og så videre. Parallelle linjer ble definert som to linjer som ikke skjærer hverandre. En linje er vinkelrett (perpendikulær) til en annen hvis de to nabovinklene på samme side er like store og defineres som en rett vinkel.

Alt dette tilsvarer hva man kan tegne i sanden eller på et stykke papir. Som platoniker mente Euklid at disse geometriske begrepene er enkle utgaver av tilsvarende objekter i en mer ideell og abstrakt verden. Deres egenskaper kan derfor ikke bevises, men må aksepteres som intuitivt sanne.

Euklid formulerte i fem aksiomer eller postulater hvordan disse begrepene kunne benyttes:

  1. Et linjestykke kan trekkes fra et punkt til et annet.
  2. Et linjestykke kan forlenges til en vilkårlig lang linje.
  3. Rundt hvert punkt kan beskrives en sirkel med en vilkårlig stor radius.
  4. Alle rette vinkler er like store.
  5. Hvis en rett linje skjærer to rette linjer slik at summen av de indre vinklene på samme side er mindre enn to rette vinkler, så kommer de to rette linjene til å skjære hverandre på den siden hvor de indre vinklene befinner seg, når linjene forlenges vilkårlig langt.

I tillegg til disse geometriske aksiomene, gjorde Euklid også bruk av logisk opplagte sannheter. For eksempel, så er det hele større enn en del. Eller ting som er lik samme ting, er også lik hverandre. Basert på disse antagelsene og nye definisjoner, kunne han så i de følgende bøkene ved deduktiv logikk utlede en stor mengde teoremer eller setninger innen geometrien og aritmetikken.

Bok 1 - 4: Plangeometri[rediger | rediger kilde]

Fragment som viser en del av femte teorem i andre bok av Elementene. Det er skrevet på papyrus og ble funnet ved Oxyrhynchus i Egypt.

De første bøkene omhandler mye av hva som var kjent fra Pythagoras og hans elever, blant annet Pythagoras’ læresetning. Videre bevises Thales' teorem og mange egenskaper ved sirkler. Fra betraktninger rundt korder og tangenter, utledes det som i dag kalles potensen til et punkt. I fjerde bok diskuteres egenskaper ved mangekanter.

Bok 5 - 10: Tallteori[rediger | rediger kilde]

Selv om Elementene hovedsakelig omhandler geometri, behandles her også tallteori, brøker og proporsjoner. I syvende bok viser Euklid at antall primtall er uendelig. Her utvikles også hans algoritme for å beregne største felles divisor for to heltall. Videre omtales perfekte tall og hvordan disse kan finnes. Også geometriske rekker og deres summasjon blir omhandlet. I den tiende boken diskuteres inkommensurable størrelser, og det blir vist at √2 er et irrasjonalt tall.

Bok 11 - 13: Romgeometri[rediger | rediger kilde]

I de tre siste bøkene omtales linjer, vinkler og plan i rommet. Dette benyttes til å utlede egenskaper ved parallellepiped, sylindre og kjegler. Euklid viser at volumet til en kjegle er en tredjedel av volumet til den tilsvarende sylinderen, mens volumet til en kule øker med tredje potens av radius. Dette avsluttes i den trettende boken med omtale av de platonske legemene, og han beviser at det bare kan være fem slike. Han beregner til slutt deres sidekanter.

Parallelle linjer[rediger | rediger kilde]

Euklids femte aksiom sier at de to linjene h og k vil skjære hverandre i et punkt S hvis summen av vinklene α  og β  er mindre enn to rette vinkler.

Det ble tidlig klart at Euklids aksiomer ikke kunne være absolutte sannheter. Spesielt det femte aksiomet var omstidt. Mange mente at det måtte kunne utledes fra de fire første og derfor ikke var å betrakte som et fundamentalt aksiom. De første 28 teoremene som Euklid beviste, var også uavhengig av dette. Euklid selv hadde forgjeves forsøkt å bevise det. Man kunne derfor tenke seg geometrier hvor dette ikke lenger behøvdes. En slik geometri fikk etterhvert navnet nøytral geometri eller absolutt geometri.

Linjer i planet som ikke skjærer hverandre, var av Euklid definert å være parallelle. Det femte aksiomet angår derfor eksistensen av slike parallelle linjer og har derfor fått navnet parallellaksiomet. Antas det å holde, er det ekvivalent med at summen av vinklene i en trekant er lik tre rette vinkler. Det er ensbetydende med at to linjer er parallelle når de har konstant avstand til hverandre eller andre, ekvivalente formuleringer.

Kanskje den beste formuleringen av dette aksiomet ble gitt av den skotske matematikeren John Playfair. Han definert euklidsk geometri ved at gjennom et punkt utenfor en rett linje, er det kun én parallell linje. På midten av 1800-tallet ble det klart at dette åpnet opp for ikke-euklidske geometrier hvor det ikke finnes noen parallelle linjer eller mer enn én gjennom et slikt punkt. I det første tilfellet snakker man da om sfærisk geometri, mens i det siste tilfellet har man hyperbolsk geometri. Denne nye innsikten førte til en rik oppblomstring av geometri og moderne matematikk.

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, New York (1972). ISBN 0-19-506135-7.

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]