Polygon

Polygon-eksempler

En polygon eller mangekant er i geometri en plan lukket kurve, sammensatt av et endelig antall rette linjesegment. Også figuren eller området innenfor kurva omtales som en polygon. En trekant og en firkant er begge eksempler på polygoner. Noen polygoner har fått egne navn, som pentagrammet.

Linjesegmentene i en polygon møtes i et hjørne, og vanligvis krever en at vinkelen mellom to møtende linjesegment er ulik 180 grader. Linjesegmentene kalles sidekanter eller kanter i polygonen. En linje som går mellom to punkter i mangekanten, men som ikke er en del av mangekanten, kalles en diagonal.

En enkel polygon er en polygon der sidekantene ikke skjærer hverandre. Ofte defineres en polygon til å være ensbetydende med «enkel polygon». I en enkeln polygon er antall hjørner lik antall sidekanter. Polygoner kan klassifiseres etter antall sidekanter.

I analytisk geometri kan en definere en polygon ved å gi koordinatene til alle hjørnene.

Ordet «polygon» har opphav i det greske πολύς (polús) «mange» og γωνία (gōnía) «vinkel». I steden for å uttrykke at figuren har mange kanter, så sier «polygon» at figuren har mange vinkler.

Klassifikasjon etter antall kanter

En polygon kan karakteriseres som en trekant, firkant, femkant og så videre, eller generelt som en n-kant. Også greske navn er i bruk, som vist i den følgende tabellen.

Navn	Sidekanter	Merknad
Henagon (eller monogon)	1	Umulig i euklidsk geometri og derfor ikke alltid betraktet som ekte polygon.
Digon	2	Degenerer i euklidsk geometri.
Trekant (eller trigon)	3	Den enkleste polygonen i euklidsk geometri.
Kvadrilateral (eller tetragon)	4	Den enkleste polygonen som kan være konkav.
Pentagon	5	En stjerneformet pentagon er kjent under navnet pentagram.
Heksagon	6
Heptagon	7
Oktogon	8
Enneagon (eller nonagon)	9	«Nonagon» er vanlig, men blander latinsk novem = 9 med gresk. Formen «enneagon» er ren gresk.
Dekagon	10
Hendekagon	11
Dodekagon	12
Tridekagon (eller triskaidekagon)	13
Tetradekagon (eller tetrakaidekagon)	14
Pentadekagon (eller quindekagon eller pentakaidekagon)	15
Heksadekagon (eller heksakaidekagon)	16
Heptadekagon (eller heptakaidekagon)	17
Oktadekagon (eller octakaidekagon)	18
Enneadekagon (eller enneakaidekagon eller nonadekagon)	19
Ikosagon	20
Triakontagon	30

Andre typer klassifikasjon

En polygon er konveks dersom en vilkårlig rett linje gjennom polygonen skjærer sidekantene i kun to punkt. Dette er ekvivalent med at alle vinklene mellom sidekantene er mindre enn 180 grader. En polygon som ikke er konveks er ikke-konveks.

En enkelt polygon er en polygon der ingen av sidekantene skjærer hverandre. En konveks polygon er alltid enkelt.

En konkav polygon er en enkel polygon som ikke er konveks.

En polygon er syklisk dersom alle hjørnene ligger på en felles sirkel. I en likesidet polygon er alle sidekantene like lange. En regulær polygon er en likesidet, syklisk polygon.

Diagonaler

Antall diagonaler n_d i en enkel n-kant er gitt av:

$n_d = \frac {n(n-3)}{2}.$

For en enkel 12-kant er antallet diagonaler dermed gitt ved

$n_d = \frac{12(12-3)}{2}=\frac{12\cdot 9}{2}=\frac{108}{2}=54.$

Vinkler

Summen av indre vinkler i en n-kant er (n − 2)π radianer eller (n − 2)180 grader.

Areal

Nomenklatur for polygonhjørner

Arealet A av en enkel polygon med hjørnekoordinater (x_i, y_i), i=1,...,n kan beregnes fra:

$A = \frac{1}{2} \sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i).$

I formelen er (x₀, y₀) = (x_n, y_n).

Tyngdepunkt

I en enkel polygon er koordinatene til tyngdepunktet gitt ved formelen

$\overline{x} = \frac{1}{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (x_i + x_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i)\,$

$\overline{y} = \frac{1}{6 A} \sum_{i = 0}^{n - 1} (y_i + y_{i + 1}) (x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i)\,$

Se også

• Arealteori for polygoner