Sinussetningen

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Trigonometri

Historie

Anvendelser

Hypotenus

Funksjoner

Inverse funksjoner

Referanse

Identiteter

Eksakte konstanter

Trigonometriske tabeller

Setninger

Sinussetningen

Cosinussetningen

Tangenssetningen

Pythagoras' læresetning

Kalkulus

Integraler av funksjoner

Deriverte av funksjoner

Integraler av inverse funksjoner

Sinussetningen (også kalt sinusproporsjonen) er i trigonometrien (se også trigonometriske funksjoner) en læresetning om en hvilken som helst trekant i planet. Når a, b, og c er sidene i trekanten, og disse sidenes motstående vinkler er A, B og C, sier sinussetningen at

 \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.

Den felles verdien av disse tre brøkene er diameteren til trekantens omskrevne sirkel. Sinussetningen kan også fremstilles som

 \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}.

Denne setningen er nyttig når man skal beregne resten av sidene i en trekant der to vinkler og en side er kjent, et kjent problem i triangulering. Den kan også brukes når to sider og en vinkel som ikke ligger mellom dem, er kjent; i noen tilfeller gir formelen to mulige verdier for den mellomliggende vinkelen. Når det skjer, vil ofte bare ett resultat få vinkelsummen til å bli 180°; i andre tilfeller har trekanten to løsninger.

Det kan vises at diameteren til trekantens omskrevne sirkel er

\begin{align}
\frac{abc} {2S} & {} = \frac{abc} {2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} \\
& {} = \frac {2abc} {\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4) }},
\end{align}

der S er trekantens areal og s dens halve omkrets

s = \frac{a+b+c} {2}.


Eksempler[rediger | rediger kilde]

Gitt en trekant med side a = 20, side c = 24, og vinkel C = 40°

Ved å bruke sinussetningen kommer vi frem til at

\frac{\sin A}{20} = \frac{\sin 40^\circ}{24}.
 A = \arcsin\left( \frac{20\sin 40^\circ}{24} \right) \cong 32,39^\circ.

Et annet eksempel på å løse et problem ved hjelp av sinussetningen:

Hvis de to sidene i en trekant er lik R og lengden av den tredje siden, korden, er gitt som 100 meter, og vinkel C motstående korden er gitt i grader, er

\angle A = \angle B = \frac{180-C}{2}

og

{R \over \sin A}={\mbox{korde} \over \sin C}\text{ eller }{R \over \sin B}={\mbox{korde} \over \sin C}\,


{\mbox{korde} \,\sin A \over \sin C} = R\text{ eller }{\mbox{korde} \,\sin B \over \sin C} = R.

Utledning[rediger | rediger kilde]

Law of sines proof.svg

Lag en trekant med sider a, b og c, og vinkler A, B og C. Tegn høyden fra vinkel C til side c; per definisjon vil den dele den opprinnelige trekanten i to rettvinklede trekanter. Kall høyden h.

Vi ser at

\sin A = \frac{h}{b}\text{ and } \sin B = \frac{h}{a}.

Derfor er

h = b\,(\sin A) = a\,(\sin B)

og

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}.

Ved å gjøre det samme med høyden fra A får vi

\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.

Se også[rediger | rediger kilde]