Funksjon (matematikk)

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
For andre betydninger av ordet, se Funksjon.
En funksjon ƒ tar inn x, og fører det ut som ƒ(x). En metafor beskriver hvordan en maskin gjør om data inn og ut.
Områder i algebra
Abstrakt algebra

Grupper
Ringer
Kropper

Algebraisk geometri
Elementær algebra

Ligninger
Funksjoner

Kombinatorikk
Lineær algebra

Vektorrom
Matriser

Tallteori

I matematikk er en funksjon en relasjon mellom to mengder, slik at det til ethvert element i den første mengden (funksjonsargument, uavhengig variabel, x-verdi) blir tilordnet ett element i den andre mengden (funksjonsverdi, avhengig variabel, y-verdi). Et eksempel på en slik relasjon er f(x)=x² (leses «f av x er lik x i andre») som viser forholdet mellom innverdien x og dens kvadrattall.

Funksjonsbegrepet er et svært sentralt begrep i moderne matematikk og inngår også som en viktig del av matematikkundervisningen i skolen.

En funksjon kan defineres på mange forskjellige måter: som en formel, som en graf, ved å beskrive egenskapene, eller ved å spesifisere en algoritme for funksjonsverdiene. Funksjonen kan også defineres ved å beskrive forholdet til en annen funksjon, som for eksempel ved inversfunksjoner.

Som en følge av at funksjonsbegrepet er så viktig i matematikk, eksisterer det en stor og rik terminologi knyttet til dette. Begrepene avbildning, operator, transformasjon og det engelske mapping brukes av og til synonymt med funksjon, av og til med en tillagt nyanse i forhold til denne. Ofte brukes begrepene operator, transformasjon og mapping spesielt for funksjoner der både argumentmengden og verdiområdet er abstrakte rom, slik som for en lineær transformasjon. Operator brukes ofte for å betegne en funksjon der definisjonsmengden består av funksjoner.


Historie[rediger | rediger kilde]

Gottfried Leibniz

Historien om begrepet funksjon i matematikken blir beskrevet av Ponte (1992). Som et matematisk ord ble «funksjon» først brukt av Gottfried Leibniz i 1694 for å beskrive kvantitet i forhold til en kurve. Funksjonene Leibniz betraktet blir i dag kalt deriverbare funksjoner, og det er den typen funksjoner som er best kjent for allmennheten. For denne typen funksjon kan man snakke om grenser og derivasjon; begge disse er en måling av utfallet eller forandringen i utfallet som er bestemt av det man setter inn eller forandringen i det man setter inn. Slike funksjoner er sentrale for fagområdet matematisk analyse.

Ordet funksjon ble senere brukt av Leonhard Euler i midten av det 18. århundre for å beskrive et uttrykk eller en formel som inneholder forskjellige argumenter, f.eks. f(x) = sin(x) + x3.

I løpet av det 19. århundre, begynte matematikere å formalisere alle de forskjellige grenene av matematikk. Weierstrass hevdet at det er mer riktig å bygge matematisk analyse på aritmetikk enn på geometri, noe som favoriserte Eulers definisjon over Leibniz’.

I begynnelsen var ideen om «funksjon» begrenset. Joseph Fourier, for eksempel, hevdet at alle funksjoner har en Fourier-rekke, noe ingen matematikere i dag vil hevde. Ved å utvide definisjonen av en funksjon har matematikere vært i stand til å studere merkelige matematiske objekt, slik som ikke-deriverbare kontinuerlige funksjoner. Disse funksjonene ble først antatt bare å være av teoretisk interesse og ble kalt «monstre» til så sent som det 20. århundre. Men kraftige teknikker fra funksjonsanalyse har vist at disse funksjonene på noen måter er «vanligere» enn deriverbare funksjoner. Slike funksjoner har i ettertid blitt brukt for å modellere fysiske fenomener som brownske bevegelser.

Mot slutten av det 19. århundret startet matematikere å formalisere all matematikk ved hjelp av mengdelære, og de søkte å definere alle matematiske objekter som mengder. Dirichlet og Lobachevsky ga uavhengig av hverandre, og nesten samtidig, den moderne definisjonen av funksjon. I denne definisjonen er en funksjon et særtilfelle av en relasjon. Spesielt er en funksjon en relasjon hvor hvert første element har et unikt andre element.

Hardy (1908:side 26–28) definerer en funksjon som en relasjon mellom to variabler x og y som at det «til noen verdier av x alltid korresponderer verdier av y» (org. sitat uten oversettelse: «to some values of x at any rate correspond values of y»). Han verken krevde at funksjonen skulle dekke alle verdier av x eller forbinde hver verdi av x til en enkel verdi av y. Denne brede definisjonen av en funksjon omfatter flere relasjoner enn den vanlige, samtidige matematikken betraktet.

Matematisk definisjon[rediger | rediger kilde]

Den uformelle ideen av en funksjon som en regel har blitt brukt siden gamle tider og er fremdeles brukt som definisjonen av en funksjon i en del innledende lærebøker i matematisk analyse. Et typisk eksempel på denne uformelle definisjonen, gitt av Tomas og Finney (1995), er at en funksjon er en regel som tildeler hvert element av en mengde D ett enkelt element av en mengde C. Denne uformelle definisjonen er tilstrekkelig for mange formål, men den støtter seg på det udefinerte begrepet «regel». På slutten av 1800-tallet kom spørsmålet om hva som utgjør en gyldig regel i definisjonen av en funksjon i forgrunnen. Konsensusen blant moderne matematikere er at ordet «regel» bør bli tolket i den mest generelle mening som er mulig: som et vilkårlig binært forhold.

Følgelig er det vanlig i avansert matematikk (se Bartle (2001) for et eksempel) å formelt definere en funksjon f fra en mengde D til en mengde C som å være en mengde G_f av ordnede par (x,y) i det kartesiske produkt D \times C. Det kreves for hver x i D at det er høyst ett par (x,y) i mengden G_f. «Regelen» for funksjonen er: gitt x i D, hvis det er et par (x,y) i G_f da er f(x) = y, og ellers er ikke f(x) definert. Mengden av x som f er definert av kalles definisjonsmengden til f; hvis definisjonsmengden av f er alle elementene i D, kalles f total og notasjonen f\colon D \rightarrow C blir brukt. Mengden C blir kalt verdiområdet til funksjonen; dette må bli spesifisert fordi det blir ikke fastsatt av G_f. Mengden G_f kalles grafen til funksjonen.

I de fleste områdene i matematikken blir ordet funksjon brukt til å bety en total funksjon, skjønt ikke-totale funksjoner er viktige i funksjonsanalyse, matematisk logikk og kategoriteori

Variasjoner av denne formelle definisjonen er av og til mer tilpasset for spesifikke disipliner. I noen kontekster av kategoriteori blir mengden D kalt definisjonsmengden til f, selv om funksjonen f ikke er definert for hvert element i D. I mengdelæren er det vanlig å identifisere funksjonen f med dens graf G_f; denne identifikasjonen fjerner behovet for spesifisere D eller C i den formelle definisjonen.

Terminologi[rediger | rediger kilde]

La f være en funksjon fra A til B.

A kalles definisjonsmengden til f og er mengden av alle elementer som funksjonen er definert for. Synonyme ord er definisjonsområde, domene og kilde. B kalles verdiområdet til f. Dette er mulige verdier funksjonen kan gi. Merk at f ikke behøver å anta alle verdiene i B. Synonyme ord er blink og kodomene. Funksjoner som har verdiområdet lik de reelle tall eller de komplekse tall kalles henholdsvis relle funksjoner og komplekse funksjoner.

Verdimengden V_f til f er alle de verdiene funksjonen faktisk antar. V_f=\{b\in B\;|\; b=f(a) for en a\in A\}. Et synonym for verdimengde er bilde. Verdimengden er en delmengde av verdiområdet. Nullmengden til en funksjon er mengden av argument som gjør funksjonen lik null. N_f=\{x\in A\;|\; f(x)= 0\}. Nullmengden er en delmengde av definisjonsmengden.

Funksjonen er injektiv hvis det for ethvert element y ∈ B, finnes høyst ett element xA slik at f(x) = y. Slike funksjoner kalles også en-til-en. Funksjonen er surjektiv hvis det for ethvert element y ∈ B, finnes minst ett element xA slik at f(x) = y. Slike funksjoner kalles også . Funksjonen er bijektiv hvis den er både injektiv og surjektiv, det vil si at det for ethvert element y ∈ B finnes nøyaktig ett element xA slik at f(x) = y.

Notasjon[rediger | rediger kilde]

Det er vanlig å unnlate parentesene rundt et argument når det er liten sjanse for tvetydighet, slik som sin x. I noen formelle situasjoner vil bruken av omvendt polsk notasjon, x f, eliminerer behovet for parenteser. For eksempel er fakultetsfunksjonen alltid skrevet n!, selv om gammafunksjonen skrives Γ(n).

Den formelle beskrivelsen av en funksjon involverer dens navn, dens definisjonsmengden, dens verdiområdet og en regel av korrespondanser. Derfor ser vi ofte en to-delt notasjon, et eksempel er

 f\colon \mathbb{N} \to \mathbb{R} \,\!
 n \mapsto \frac{n}{\pi} \,\!

Her har funksjonen kalt "f", de naturlige tallene som definisjonsmengden, de reelle tallene som verdiområdet, og kartlegger n til seg selv delt på π (and maps n to itself divided by π). Mindre formelt, kan denne lange formen bli forkortet

 f(n) = \frac{n}{\pi} , \,\!

Skjønt det er noe tap av informasjon; vi har ikke lenger eksplisitt gitt definisjonsmengden og verdiområdet. Selv den lange formen forkorter det faktum at n på høyresiden tas for å være et ekte tall som bruker standard imbedding.

Et alternativ til kolon-notasjonen, som kan være lur når funksjoner skal lages, kan være at man skriver funksjonens navn over pilen. For eksempel, hvis f er etterfulgt av g, hvor g fremstiller det komplekse tallet eix, kan vi skrive Et alternativ til kolonet notasjonen, g når funksjoner blir bestådd, skriver funksjonen navnet over pilen. For eksempel hvis f blir fulgt av g, hvor g produserer den kompliserte antallet eix, kan skrive vi

 \mathbb{N} \xrightarrow{f} \mathbb{R} \xrightarrow{g} \mathbb{C} . \,\!

En mer detaljert form av dette er det kommutative diagramet.

Bruken av f(A) for å tegne bildet av en delmengde AX er i overensstemmelse så lenge ingen delmengde av definisjonsmengden også er en del av definisjonsmengden. I noen felt(f.eks. i mengdelæren, hvor ordenstallene også er en mengde av ordenstallene) er det best og noen ganger nødvendig å skille de to begrepene; den vanlige notasjonen er f[A] for mengden { f(x): x ∈ A }; noen skriver f`x isteden for f(x), og f``A isteden for f[A].

Representasjoner av funksjoner[rediger | rediger kilde]

Eksempelgrafer

Vi har fire sentrale representasjonsformer for funksjoner og vil her nevne noen eksempler. For å se pedagogiske tilnærminger i forhold til representasjonsformene, se pedagogiske teorier lengre ned på siden.

Situasjon[rediger | rediger kilde]

Funksjoner kan være uttrykk for sammenhenger i konkrete situasjoner og på den måten knyttes til hverdagen. Det kan for eksempel være:

Tabell[rediger | rediger kilde]

Når man jobber med funksjoner møter man ofte en tabell som representerer en funksjon. Noen slike eksempler kan være:

Graf[rediger | rediger kilde]

Her kan man se hvordan forskjellige formler visualiseres gjennom grafer. Grafer tegnes som regel i et koordinatsystem.

Formel[rediger | rediger kilde]

Funksjoner blir ofte identifisert med matematiske uttrykk (formler) for funksjoner. Et eksempel kan være 2x+b

Eksempler på funksjoner[rediger | rediger kilde]

Her vil vi se på noen av de mest vanlige funksjonene og se kort om de. Under hver overskrift vil du få muligheter til å gå inn på sidene til de aktuelle funksjonene for mer informasjon. For en fullstendig oversikt over funksjonene, se Kategori:Funksjoner

Linære funksjoner[rediger | rediger kilde]

Lineære funksjoner
Utdypende artikkel: Lineær funksjon

Et generelt uttrykk for en lineær funksjon er f(x) = ax+b. I et slikt uttrykk vil grafen av funksjonen alltid være en rett linje og a og b vil være konstanter og x vil være en variabel.

a vil være stigningstallet, mens b vil avgjøre hvor linjen skjærer y-aksen.

Eksempler på slike funksjoner kan du se på bildet til høyre.

Polynomfunksjoner[rediger | rediger kilde]

Polynomfunksjoner
Utdypende artikkel: Polynomfunksjoner

Polynomfunksjoner er ofte vist ved en slik form.
\ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0
hvor a er konstant og n er et naturlig tall.

En bedre måte å uttrykke polynomfunksjoner på er ved
\ f(x) = \sum_{k=0}^{n}a_{n-k} x^{n-k}
hvor a er konstanter og n er et naturlig tall som angir graden av ligninga.

Formel for andregradsfunksjon blir da utledet slik:
f(x) = \sum_{k=0}^{2}a_{2-k} x^{2-k} = a_2 x^2 + a_1 x^1 + a_0 x^0 = a_2 x^2 + a_1 x + a_0

der \ a_2, \ a_1 og \ a_0 tilsvarer henholdsvis konstantene a, b og c i \textstyle f(x) = ax^2+bx+c

Bildet til høyre viser polynomfunksjoner opp til 5.gradslikning tatt med i samme koordinatsystem.

Inverse funksjoner[rediger | rediger kilde]

Utdypende artikkel: Invers funksjon.

En invers funksjon er en funksjon som «opphever virkningen av» en annen funksjon. Mer presist uttrykt er to funksjoner f og g hverandres inverse dersom y = f(x) og x = g(y)

Eksponentialfunksjoner[rediger | rediger kilde]

Eksponentialfunksjoner
Utdypende artikkel: Eksponentialfunksjon.

Eksponentialfunksjonen er den inverse funksjonen til logaritmefunksjonen.
Grunnform for denne typen funksjon er:f(x)=e^x mens den generelle formen, som er mest vanlig, skrives slik: f(x)=C*a^x

Logaritmefunksjon[rediger | rediger kilde]

Logaritmefunksjon
Utdypende artikkel: Logaritmefunksjon

En logaritmefunksjonen kan defineres som den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen.

Generelt kan vi uttrykke logartimefunksjonen slik:

y=\log_b(x)\,\!

som er det samme som

 x= b^y\,\!



I bildet til høyre ser man en logaritmefunksjon.

Rasjonale funksjoner[rediger | rediger kilde]

Hyperbel en over x
Utdypende artikkel: Rasjonal funksjon

En rasjonal funksjon er en funksjon definert som forholdet mellom to polynomfunksjoner. Et eksempel kan være

f(x) = \frac{x^2 + 2}{x^2 + 1}

I bildet til høyre kan man se en rasjonal funksjon.

Derivasjon[rediger | rediger kilde]

Tangent til en kurve
Utdypende artikkel: Derivasjon

Den deriverte angir den momentane endringen til en funksjon. For reelle funksjoner av en variabel kalles denne verdien for funksjonens stigningstall. Stigningstallet er definert som stigningen til tangenten til funksjonen i det aktuelle punktet.

I bildet til høyre kan man se en en rett linje gå igjennom et punkt i funksjonen. Linjens stigningstall vil også være punktets stigningstall.

Integrasjon[rediger | rediger kilde]

Integral
Utdypende artikkel: Integrasjon

I kalkulus er integralet av en funksjon et utvidet begrep av en sum. Prosessen brukes vanligvis for å finne volum, masse, forskyvning, osv., når inndelingen eller endring per tid med respekt til en annen mengde er spesifisert.

I bildet til høyre kan vi se det merkede området under kurven som er et eksempel på integral.

Funksjonslærens plass i skolen[rediger | rediger kilde]

LK-06[rediger | rediger kilde]

I kunnskapsløftet er følgende mål satt for elevene:

Kompetansemål etter 10. årstrinn[rediger | rediger kilde]

Funksjoner
Mål for opplæringen er at eleven skal kunne

  • lage, på papiret og digitalt, funksjoner som beskriver numeriske sammenhenger og

praktiske situasjoner, tolke disse og oversette mellom ulike representasjoner av funksjoner som grafer, tabeller, formler og tekst

  • identifisere og utnytte egenskapene til proporsjonale, omvendt proporsjonale, lineære

og enkle kvadratiske funksjoner og gi eksempler på disse funksjonenes tilknytning til praktiske situasjoner

Kompetansemål etter Vg1T[rediger | rediger kilde]

Funksjoner
Mål for opplæringen er at eleven skal kunne

  • gjøre rede for funksjonsbegrepet og tegne grafer ved å analysere funksjonsbegrepet
  • beregne nullpunkter, skjæringspunkter og gjennomsnittlig veksthastighet, finne

tilnærmede verdier for momentan veksthastighet og gi noen praktiske tolkninger ved disse aspektene

  • gjøre rede for definisjonen av den deriverte, bruke definisjonen til å utlede en

derivasjonsregel for polynomfunksjoner og anvende denne regelen til funksjonsdrøfting

  • lage og tolke funksjoner som beskriver praktiske problemstillinger, analysere

empiriske funksjoner og finne uttrykk for en tilnærmet, lineær funksjon

  • bruke digitale hjelpemidler til å drøfte polynomfunksjoner, rasjonale funksjoner,

eksponentialfunksjoner og potensfunksjoner


Kompetansemål etter Vg1P[rediger | rediger kilde]

Funksjoner
Mål for opplæringen er at eleven skal kunne

  • undersøke funksjoner som beskriver praktiske situasjoner ved å bestemme

skjæringspunkter, nullpunkter, ekstremalpunkter og stigning og tolke den praktiske betydningen av resultatene

  • oversette mellom ulike representasjoner av funksjoner
  • gjøre rede for begrepet lineær vekst, beskrive et slikt vekstforløp og anvende på

praktiske eksempler, også digitalt

L-97[rediger | rediger kilde]

Pedagogiske teorier[rediger | rediger kilde]

Her er det noen pedagogiske teorier knyttet til funksjoner.

Janviers tabell[rediger | rediger kilde]

Janviers tabell

                  Til
   Fra
Situasjon Tabell Graf Formel
Situasjon Måling Skisse Modellering
Tabell Tolkning av tabell Plotting Tilpassing
Graf Tolkning av graf Avlesing Tilpassing
Formel Gjenkjenning Utregning Skisse

Fra situasjon[rediger | rediger kilde]

Til tabell kreves det at eleven gjør målinger og systematiserer data. Dette vil øve opp elevenes evne til å analysere praktiske situasjoner kvantitativt. Når man skal overføre informasjon fra situasjon til tabell, kan man bruke verditabell og systematisere informasjonen der. Se verditabell

Men når man skal overføre informasjonen fra situasjon til graf kreves det en større forståelse og beherskelse av grafer enn hvis man bare plotter inn tall fra en tabell. For eksempel, skisser en graf som viser avstand fra hjemmet som en funksjon av tid. En slik funksjon er en vanlig misforståelse blant elever.

Fra situasjon til formel innebærer å utlede en formel fra en situsjon, noe som kan være krevende.

Fra tabell[rediger | rediger kilde]

Det kan ofte være vanskelig for elever å gå fra tabell til situasjon. Derfor er det en god øvelse for dem å beskrive med egne ord hva tabellen forteller om situasjonen eller virkeligheten. Man kan gi elevene oppgave å fortelle, med utgangspunkt i en bussrute, hvordan det er raskest å komme seg fra A til B på en bestemt dag.

For å gå fra tabell til graf bruker man ofte en verditabell. I en slik verditabell kan man lese av posisjoner for forskjellige punkt oppgitt i (x,y) eller (x,f(x)). Disse punktene markeres gjerne i et koordinatsystem. Ved funksjoner med rette parabler, kan man trenger man minimum 2 punkter, som parabelen går igjennom, men det kan være lurt å bruke et tredje punkt som en underbyggelse på at man har tegnet riktig linje. Ved parabler med bøy, som andregradsfunksjoner, bør man bruke flere punkter for å vise hvordan parabelen går.

Når elevene skal gå fra tabell til formel blir elevenes evne til å finne mønster i tallutviklingen utfordret. Det krever også en forståelse av formler og hvordan de ulike kjennetegnene til grafene virker inn på formlene.

Fra graf[rediger | rediger kilde]

Når man lar elevene gå fra graf til situasjon øver man opp helhetsforståelsen av grafer. Da vil elevene lære seg å se sammenheng mellom to enheter som for eksempel tid og strekning, vekt og pris, mengde og pris osv. Det å la elevene med egne ord forklare en graf vil vise hvilken forståelse elevene har om emnet.

Det å gå fra graf til tabell vil gi elevene en øvelse i å lese verdier av punkter i et koordinatsystem.

Når man skal gå fra graf til formel vil det være til stor hjelp for elevene å kjenne igjen formen på grafen. Det å overføre informasjonen til formel vil gi en større forståelse av grafens utvikling og egenskaper.

Fra formel[rediger | rediger kilde]

Hvis elevene skal gå fra formel til situasjon krever en stor praktisk forståelse av formelen. For eksempel vil en eksponentiale funksjoner vokse/minke med en hastighet proporsjonal med hvor stor verdien til enhver tid er. Dette kan være en krevende utfordring for elever.

Når elevene skal gå fra formel til tabell må man regne ut funksjonsverdier for utvalgte argumenter og setter opp en verditabell. En verditabell kan se slik ut:

Formel -2 -1 0 1 2
f(x)=2x+1 -3 -1 1 3 5

Her vil man da ha mulighet til å velge antall punkter en vil markere i koordinatsystemet. Dess flere punkter, dess mer nøyaktig vil grafen bli. Men ved en lineær graf, trenger man bare to punkter.

For å kunne gå fra formel til graf må man skissere eller antyde en graf ved noen av de vanligste kjennetegnene ved de ulike grafene. Det kan være kjennetegn som stigningstall, skjæringspunkt med y-aksen, skjæringspunkt med y-aksen, finne asymptoter og om grafen krummer oppover eller nedover.

Hjelpemidler[rediger | rediger kilde]

Vrigraf: Et program for å lage grafer og forandre verdier og se hvordan de ulike verdiene påvirker grafen.
Mathgv Et annet program for å lage grafer. Her er det mulig å lage mer avanserte grafer.

Flere kalkulatorer har innebygd funksjon for å forme grafer.Casios oversikt over grafiske kalkulatorer

Se også[rediger | rediger kilde]

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]

Kilder[rediger | rediger kilde]

  • Bartle, R (2001). The Elements of Real Analysis, second ed. John Wiley and Sons. ISBN 0-471-05464-X
  • Thomas, G. and Finney, R (1995) Calculus and Analytic Geometry, 9th edition. Addison-Wesley. ISBN 0-201-53174-7
  • da Ponte, João Pedro (1992). The history of the concept of function and some educational implications. The Mathematics Educator 3(2), 3-8. [1]
  • Godfrey Harold Hardy, (1908) A Course in Pure Mathematics, Cambridge University. ISBN 0-521-09227-2
  • Matematikk for lærere – Mer informasjon kommer
  • Jensen, Ole Petter (2006), Matte med teskje, Matematikkforlaget. ISBN 82-91009-08-2
  • Kunnskapsløftet – [2] – Mer informasjon kommer