Invers funksjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk
En funksjon og dens inverse . Dersom , så er – for eksempel er .

En invers funksjon eller en omvendt funksjon er en funksjon som «opphever virkningen av» en annen funksjon. Mer presist uttrykt er to funksjoner f og g inverse hvis og bare hvis

og

for alle x, y i domenet til henholdsvis x og y. Vi uttrykker det inverse forholdet med:

Uttrykket må ikke forveksles med

En funksjon har en invers hvis og bare hvis den er bijektiv. Hvis den finnes, er den unik. En funksjon som har en invers, sies å være inverterbar. Begrepet «invers» ble først brukt på 1900-tallet i en tekst av James Pierpont.[1]

Egenskaper[rediger | rediger kilde]

Definisjonsområder[rediger | rediger kilde]

Dersom er en inverterbar funksjon med domene og kodomene , vil den inverse funksjonen av f ha domene og kodomene :

og

De sammensatte funksjonene og er like identitetsfunksjonen definert over domenet X og Y respektivt:

og

Eksistens[rediger | rediger kilde]

En funksjon har en invers hvis og bare hvis den er bijektiv. Dette følger av at dersom den har en invers, vil den være surjektiv og injektiv:

  • Dersom har en invers , så vil for enhver , slik at , altså er f surjektiv
  • Dersom og f har en invers , så er , altså er og f er injektiv

Motsatt vil en bijektiv funksjon alltid ha en invers:

  • Dersom er bijektiv, og , vil det finnes én og bare én slik at . Altså kan man definere en funksjon slik at for enhver , som vil være en invers av f.[2]

Se også[rediger | rediger kilde]

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ «Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (I)». 27. august 2018. Besøkt 26. januar 2018. 
  2. ^ Patrick Keef, David Guichard. «4.6 Bijections and Inverse Functions». Besøkt 26. januar 2018. 

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]

matematikkstubbDenne matematikkrelaterte artikkelen er foreløpig kort eller mangelfull, og du kan hjelpe Wikipedia ved å utvide den. (Se stilmanual)