Kjeglesnitt

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Ulike kjeglesnitt oppstår avhengig av snittplanets retning, parabel når det er parallelt med siden i dobbeltkjeglen (1), ellipse eller sirkel når det skjærer gjennom kjeglen (2) og hyperbel når snittplanet skjærer gjennom begge kjeglene (3).
Forkjellige kjeglesnitt fra det store, ensyklopediske verket Cyclopaedia (1728).

Kjeglesnitt kalles de geometriske figurer som man får ved å legge et plant snitt gjennom en kjegle. Avhengig av retningen til snittet vil kjeglesnittet være en ellipse, parabel eller hyperbel. For noen spesielle plasseringer av det snittende planet, kan et kjeglesnitt degenere til et punkt, en linje eller to linjer. I analytisk geometri er et kjeglesnitt en kurve av andre orden i to variable.

Den kan også defineres rent geometrisk som locus for de punkter i planet hvis avstand til ett gitt punkt, kallt fokus eller brennpunkt, og til en gitt linje som kalles direktrise eller styrelinje, har et konstant forhold som er eksentrisiteten e. Den karakteriserer formen til kjeglesnittet. Hvis eksentrisiteten e < 1, har man en ellipse som er en lukket kurve. Derimot er en hyperbel en åpen kurve med e > 1. Den består av to like grener som ikke er forbundet. En parabel har eksentrisitet e = 1 og er også en åpen kurve, mens en sirkel kan betraktes som et spesialtilfelle av en ellipse med eksentrisitet e = 0.

Egenskapene til de forskjellige kjeglesnittene ble utforsket av greske matematikere for over to tusen år siden. I særdeleshet har bidragene til Apollonios fra Perge vært av stor betydning for senere utvikling av moderne geometri og matematikk. Det var også han som innførte navnene ellipse, parabel og hyperbel.

Historie[rediger | rediger kilde]

Spesielt kjeglesnittet ellipse må ha vært kjent i veldig lang tid da det oppstår i mange daglige situasjoner. For eksempel vil det oppstå når en sirkel sees fra siden, eller om en sylindrisk trestamme blir kuttet skjevt i to stykker. Skyggen til lys som går gjennom et lite sirkulært hull og treffer skjevt på en vegg, vil også være en ellipse. Lyset danner her en kjegle som blir kuttet over av veggen.

Antikken[rediger | rediger kilde]

Man tror at den første definisjonen av kjeglesnitt ble utarbeidet av den greske matematiker Menaikhmos på 300-tallet f.Kr. Dette arbeidet har ikke overlevd. Definisjonen som han brukte, skiller seg fra den vanlige i dag ved at den krevde at planet som snitter kjeglen, alltid står vinkelrett på en av linjene som genererer kjeglen ved sin rotasjon (dens generatrise). Derimot kunne kjeglens åpningsvinkel være forskjellig. Var denne spiss eller stump, ville kjeglesnittet bli henholdsvis en ellipse eller hyperbel. Det spesielle tilfellet med en rettvinklet kjegleåpning, ville gi en parabel. Denne konstruksjonen kunne ikke gi en sirkel, og denne ble derfor ikke betraktet som et kjeglesnitt. Menaikhmos brukte disse kurvene til å finne løsninger av det deliske problem med kubens fordobling.

Omtrent på samme tid sies Euklid å ha skrevet fire bøker om kjeglesnitt, men disse har gått tapt. Det er fra han at man kan definere kjegelsnitt som geometrisk sted gitt et fokus og en direktrise. Man vet at Arkimedes også studerte kjeglesnitt ettersom han bestemte arealet begrenset av en parabel og en ellipse i tillegg til at han gjorde andre, tilsvarende beregninger.

De største fremskrittene i de gamle grekernes studie av kjeglesnitt skyldes Apollonios på 200-tallet f.Kr. Hans åttebindsverk Kjeglesnitt oppsummerte og videreutviklet tidens kunnskap. Det er et av de største og viktigste vitenskapelig arbeid fra antikken. En av hans originale bidrag var å definere kjeglesnittene som et generelt snitt mellom et plan og en vilkårlig kjegle, i motsetning til Menaikhmos som benyttet forkjellige kjegler med bestemte egenskaper. På den måten har Apollonios gitt oss den moderne definisjonen av kjeglesnitt.

Kjeglesnittene og Apollonios' teoretiske betraktninger spilte også en viktig rolle i Ptolemaios' store matematiske og astronomiske verk Almagest på 200-tallet e.Kr. selv om sirkelen der ble betraktet som det viktigste kjeglesnittet.

Den greske matematiker Pappos som arbeidet hundre år senere i Alexandria, tilskrives oppdagelsen av det viktige begrepet fokus til et kjeglesnitt og oppdagelsen av det relaterte begrepet direktrise.

Middelalderen[rediger | rediger kilde]

Utsnitt av en arabisk oversettelse fra 800-tallet av Apollonios' verk om kjeglesnitt.

Etter hvert som Romerriket erobret det antikke Hellas forsvant gradvis interessen for disse matematiske problemene, og mange av de originale, vitenskapelige verkene forsvant. Heldigvis ble en del oversatt til arabisk og arbeidene kunne dermed bli studert og videreutviklet i Midtøsten i de følgende århundrene. På den måten har mange av dem også overlevd frem til vår tid.

Et instrument for å tegne kjeglesnitt ble beskrevet i 1000 e.Kr. av den muslimske matematikeren Al-Kuhi. Perserne fant også anvendelser av teorien for kjeglesnitt. Kanskje den mest bemerkelsesverdige av disse var den persiske matematikeren og poeten Omar Khayyám, som brukte dem til å løse algebraiske ligninger.

Nyere tid[rediger | rediger kilde]

Kjeglesnittene spilte en avgjørende rolle i Keplers lover for planetenes bevegelser. Planetene beveger seg i bundne baner som er ellipser med Solen i et fokus, mens f.eks. kometer følger ubundne hyperbler. De franske vitenskapsmenn Desargues og Pascal utviklet en teori for kjeglesnitt som brukte en tidlig versjon av projektiv geometri. Dette hjalp som motivasjon for utviklingen av dette nye feltet innen matematikken. Det ble etter hvert klart at de tilsynelatende ulike kjeglesnittene kunne betraktes som forskjellige projeksjoner av et og samme kjeglesnitt. Pascal oppdaget et teorem kalt hexagrammum mysticum fra hvilket mange andre egenskaper ved kjeglesnitt kan utledes. Videre anvendte Descartes sin nylig oppdagede analytiske geometri til studiet av kjeglesnitt. Effekten av dette var å redusere de geometriske egenskapene ved kjeglesnitt til problemer i algebra.

Matematisk beskrivelse[rediger | rediger kilde]

For hvert punkt P på et kjeglesnitt (rødt) er avstanden til brennpunktet F proporsjonalt med dets avstand til direktrisen.

Kjeglenittende beskrives matematisk på enkleste måte basert på definisjonen som det geometriske sted eller locus for de punkt hvis avstander til et gitt punkt og til en gitt linje har et konstant forhold. Denne konstanten er kurvens eksentrisitet og benevnes vanligvis som e. Den gitte linjen i figuren kalles direktrisen, mens det gitt punktet er F og kalles kjeglesnittets fokus eller brennpunkt. Det geometriske stedet P er nå bestemt ved betingelsen FP = e(h + FP') hvor h  er avstanden til fokuset fra direktrisen. P'  er projeksjonen av punktet P på en linje gjennom fokuset F som står vinkelrett på direktrisen. Hvis nå linjestykket FP har lengden r samtidig som det danner vinkelen θ med FP', vil derfor r = e(h + r cosθ. Ligningen som bestemmer formen til kjeglesnittet kan derfor skrives som

 r = {p\over 1 - e\cos \theta}

etter å ha innført forkortelsen p = eh. Dette er en fremstilling med bruk av polare koordinater (r,θ). Kurven er symmetrisk rundt den horisontale linjen θ = 0 som er dens akse. Lengden p kalles vanligvis semi-latus rectum. Det ser man ved å sette θ = 90° i ligningen som da gir r = p slik at p er lengden av den halve korden som står vinkelrett på aksen og går gjennom fokuset F. Det er på denne formen at ligningen for kjeglesnitt blir benyttet i Keplers lover.

Skilleligningen[rediger | rediger kilde]

Kjeglesnitt med gitt verdi for p og som blir sirkel for eksentrisitet ε = 0, ellipse med ε = 0,8, parabel for ε = 1 og gren av hyperbel når ε = 1,2.

Kjeglesnitt kan også beskrives med kartesiske med koordinater (x,y) i planet hvor snittet ligger. Det er da naturlirlig å legge x-aksen langs dets akse. Derimot har man flere mulighet for y-aksen vinkelrett på denne. Mest nærliggende er å plassere origo i punktet O på aksen der kjeglesnittet skjærer x-aksen til venstre for brennpunktet F i figuren. Dette kalles toppunktet. Her er θ = 180°. Fra ligningen for kjeglesnittet følger da at r = f  hvor størrelsen f = p/(1 + e) nå angir avstanden til brennpunktet fra origo.

Med denne plassering av aksesystemet, er nå x-koordinaten til punktet P gitt ved summen x = f + r cosθ. Dette kan benyttes til å erstatte cosθ i kjeglesnittligningen med x. Den tar ta formen r = e(x - f) + p som kan forenkles til r = ex + f. Kvadreres dette uttrykket og kombineres med Pythagoras' læresetning r2 = (x - f)2 + y2 for trekanten FP'P, står man igjen med resultatet

 y^2 = 2px + (e^2 - 1)x^2

Dette er skilleligningen da den skiller klart mellom de forskjellige typer kjeglesnitt man kan ha avhengig av stor eksentrisiteten e  er.

Parabel[rediger | rediger kilde]

Det enkleste kjeglesnittet fremkommer når eksentrisiteten har verdien e = 1. Skilleligningen forenkles da til

 y^2 = 2px

Dette er standardligningen for en parabel med toppunkt i origo og akse langs den positive x-aksen. Koordinaten y vil vokse med kvadratroten av x etter hvert som denne øker med positive verdier.

Ellipse[rediger | rediger kilde]

Når eksentrisiteten har en verdi e < 1, kan høyresiden i skilleligningen bli null når x blir tilstrekkelig stor. Dette skjer for x = 2a hvor a = p/(1 - e2). Kjeglesnittet er en ellipse som derfor har to toppunkter. Avstanden mellom dem er 2a hvor lengden a kalles dens store halvakse. Ellipsen har sentrum i x = a. I dette punket får man at y = b hvor størrelsen b2 = ap er kvadratet av ellipsens lille halvakse. Settes inn for semi-latus rectum p er derfor b2 = a2 - (ae)2. Det er derfor naturlig å innføre størrelsen c definert for ellipsen ved a2 = b2 + c2. Noen ganger kalles denne lengden for den lineære eksentrisiteten da e = c/a.

Ellipse med store halvakse a og lille halvakse b. Semi-latus rectum p er her kallt for \scriptstyle \ell.

I skilleligningen for ellipsen kan man nå bruke at 1 - e2 = b2/a2. Den kan derfor skrives som

 {(x - a)^2\over a^2} + {y^2\over b^2} = 1

Dette fremstiller en ellipse med senter i punktet (a,0). Ut fra symmetrien til kurven har den et ekstra brennpunkt F' x-aksen med avstanden 2c til det første brennpunktet F. Dette siste har x-koordinaten f = a - c som følger fra sammenhengen f = p/(1 + e) som ble utledet i begynnelsen.

For den spesielle ellipsen med eksentrisitet e = 0 forenkles skilleligningen til y2 = 2px - x2. Dette kan omskrives til (x - p)2 + y2 = p2 som viser at kjeglesnittet nå er en sirkel med radius p og med sentrum (p,0) i dette koordinatsystemet. De to brennpunktene i ellipsen er her gått sammen til å bli sirkelens sentrum.

Hyperbel[rediger | rediger kilde]

Fra skilleligningen ser man at når eksentriteten e > 1, kan koordinaten x også ta negative verdier. Det betyr at kjeglesnittet også denne gangen har et nytt toppunkt. Ved å sette y = 0 inn i skilleligningen, finnes dette for x = - 2a hvor nå a = p/(e2 - 1). Kjeglesnittet har derfor to grener som ikke er knyttet sammen. Hver gren har sitt brennpunkt. Avstanden til høyre brennpunkt følger igjen fra f = p/(1 + e) som kan skrives som f = c - a hvis man igjen definerer lengden c ved at eksentrisiteten også for hyperbelen skrives som e = c/a. Avstanden mellom de to brennpunktene er derfor igjen 2c som for ellipsen.

Hyperbel med store halvakse a og lille halvakse b. Semi-latus rectum p er her kallt for \scriptstyle \ell.

Semi-latus rectum for hyperblen er p = a(e2 - 1) som kan skrives som p = b2/a hvis man innfører det som tilsvarer en lille halvakse b nå definert ved a2 + b2 = c2. Skilleligningen kan da skrives på mer standard form som

 {(x + a)^2\over a^2} - {y^2\over b^2} = 1

hvor høyre gren tilsvarer at x ≥ 0 og venstre grense fremkommer når x ≤ - 2a. I dette koordinatsystemet har hyperbelen sitt sentrum i (-a, 0).

Når x-koordinaten blir stor, vil det siste leddet i skilleligningen dominere, og de to grenene av hyperbelen nærmer seg de to rette linjene y = ±b(x + a)/a. De går gjennom sentrum og er hyperbelens asymptoter. Den geometriske betydning av lille halvakse b sees nå å være den loddrette avstanden fra x-aksen til asymptotene i hyperbelens toppunkt.

Sentrering[rediger | rediger kilde]

Når man ser bort fra parabelen, har både ellipsen og hyperbelen et sentrum. Det er da nærliggende å plassere origo for det kartesiske koordinatsystemet her. Det betyr at i beskrivelsen av ellipsen erstattes x - a med x og tilsvarende x + a med x i ligningen for hyperbelen. Med disse koordinatene tar nå skilleligningen for disse to kjeglesnittene formen

  y^2 + x^2(1-e^2) =\frac{p^2}{1-e^2}

For sirkelen som har eksentrisitet e = 0, gir denne med en gang x2 + y2 = p2. Det viser at den har radius p som nå er like stor som semi-latus rectum. Denne ligningen er sammenfattet med de tilsvarende ligningene for ellipsen og hyperbelen i nedenfølgende tabell. Også ligningen for parabelen er tatt med, men i det opprinnelige koordinatsystemet med toppunktet i origo.

kjeglesnitt ligning e c p h
sirkel x^2+y^2=a^2 \,  0 \,  0 \,  a \,  \infty
ellipse \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} < 1 \sqrt{a^2-b^2} \frac{b^2}{a} \frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}
parabel y^2= 4ax \,  1 \,   ... \,  2a \,  2a \,
hyperbel \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} > 1 \sqrt{a^2+b^2} \frac{b^2}{a} \frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}

Her er størrelsen h = p/e lik den opprinnelige avstanden mellom brennpunktet og direktrisen.

Ligningen for disse kjeglesnitten kan også gis en parameterfremstilling ved bruk av trigonometriske funksjoner. Ved bruk av en kontinuerlig parameter u blir denne for ellipsen (x = a cosu, y = b sinu) som sees å oppfylle ligningen over. Dette gir også en parameterfremstilling av sirkelen som fås herfra ved å sette a = b. Tilsvarende for hyperbelen kan man benytte hyperbolske funksjoner. Den høyre grenen kan da skrives som (x = a coshu, y = b sinhu). Den venstre grenen har motsatte x-verdier.

Kjeglesnitt som kvadratisk form[rediger | rediger kilde]

Illustrasjon av de fire kjeglesnittene sirkel, ellipse, parabel og hyperbel.

Apollonios definerte et kjeglesnitt som skjæringslinjen mellom en vilkårlig kjegle og et plan. Man kan derfor velge å betrakte i et kartesisk koordinatsystem (x,y,z) en kjegle med akse langs z-aksen, toppunkt i origo og en åpningsvinkel på 90°. Den vil da beskrives ved den kvadratiske ligningen z2 = x2 + y2. Likedan kan man alltid velge y-aksen slik at den er parallell med planet. Det er da gitt ved den lineære ligningen z = ex + k hvor konstantene e og k angir dets orientering i rommet. Innsatt i kjegleligningen gir dette

 y^2 = (e^2 - 1)x^2 + 2ekx + k^2

Dette er en kvadratisk form i to variable som er ligningen for kjeglesnittet slik det ser ut i xy-planet. Den har samme form som den ovenstående skilleligningen bortsatt fra at nå er ikke lenger topppunktet til kjeglesnittet plassert i x = 0. Konstanten e er igjen dets eksentrisitet. En parabel oppstår når e = 1 som betyr at planet er parallelt med sidekanten i kjeglen. Når e < 1, fremkommer en ellipse og en hyperbel når e > 1. Semi-latus rectum til disse kurvene er bestemt av konstanten k som angir planets skjæring med x-aksen. Med denne spesielle plasseringen av kjeglen og planet, er et kjeglesnitt bestemt ved kun to parametre.

Generelt kjeglesnitt[rediger | rediger kilde]

På samme måte vil ligningen for snittet mellom en vilkårlig kjegle og et plan alltid skrives som en den generelle, kvadratiske formen

 Ax^2 + 2B xy + C y^2 + 2D x + 2E y + F = 0

hvor de seks konstantene A, B, C, D, E og F  bestemmer kjeglesnittets akser og plassering i rommet. Da vi kan multiplisere alle disse med samme konstante uten at ligningen forandrer innhold, er et kjeglesnitt i allminnelighet bestemt ved å angi fem punkter. For at det ikke skal være degenerert, må ikke tre eller flere av disse ligge på samme linje.

Forskjellige kartesiske koordinatsystem for en vilkårlig ellipse.

Man kan skrive denne kvadratiske formen mer kompakt ved å bruke matrisenotasjon,

\begin{bmatrix}x & y \end{bmatrix} . \begin{bmatrix}A & B\\B & C\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} + 2Dx + 2Ey+F= 0.

Eksentrisiteten til kjeglesnittet er bestemt av det første leddet her, det vil si av matrisen

 M = \begin{bmatrix}A & B\\B & C\end{bmatrix}.

Da den er symmetrisk, vil den ha to egenverdier λ1 og λ2 gitt som løsninger av andregradsligningen λ2 - (A + C)λ + AC - B2 = 0. Den er derfor ekvivalent med den diagonale matrisen

 M' = \begin{bmatrix}\lambda_1 & 0\\0 & \lambda_2\end{bmatrix}.

hvor λ1⋅λ2  = AC - B2 da determinanten til matrisen er invariant. Denne diagonaliseringen vil fremkomme etter en transformasjon av xy-koordinatene slik at de blir bestemt ut fra aksene til kjeglesnittet. I dette koordinatsystemet vil derfor kjeglesnittet være en ellipse hvis egenverdiene λ1 og λ2 har samme fortegn, det vil si når λ1⋅λ2  > 0.

De tre forskjellige kjeglesnittene.

Likedan vil den kvadratiske formen beskrive en hyperbel når egenverdiene har motsatt fortegn, altså for λ1⋅λ2  < 0. Hvis en av egenverdiene er null, det vil når λ1⋅λ2  = 0, vil kjeglesnittet være en parabel. Alt dette kan summeres opp som følger

  1. Når B2 - AC < 0 beskriver den kvadratiske formen en ellipse.
  2. Når B2 - AC = 0 beskriver den kvadratiske formen en parabel.
  3. Når B2 - AC > 0 beskriver den kvadratiske formen en hyperbel.

En eventuell degenerasjon av kjeglesnittet og dets plasseringen i xy-planet er bestemt av de andre koeffisientene D, E og F.

Hovedakser[rediger | rediger kilde]

Den kvadratiske formen kan skrives mer kompakt ved å betrakte xy-planet som et affint plan lagt inn i et 3-dimensjonal rom. Da har man at

\begin{bmatrix}x & y & 1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}A & B & D\\B & C & E\\D &E &F\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix} = 0.

slik at kjeglesnittet er bestemt ved denne 3×3 - matrisen som inneholder alle koeffisientene. Dets egenskapene er avhengig av verdien til determinanten

 \Delta_3 = \begin{vmatrix} A & B & D \\ B & C & D\\D  & E & F \end{vmatrix}.

Hvis denne Δ3 = 0, er kjeglesnittet degenerert. Det betyr at ellipsen ender opp med å bli kun et punkt, parabelen blir enten to parallelle linjer som også kan sammenfalle til en, eller at hyperbelen faller sammen til to kryssende linjer. Det er lett å se hvordan disse tilfellene kan oppstå ved spesielle plasseringer av planet som snitter den opprinnelige kjeglen.

Senter til kjeglesnittet kan nå bestemmes når det ikke er noen degenerasjon. Innfører man determinanten Δ2 = AC - B2 til 2×2 - matrisen M, har senteret koordinatene

 x_{c} = -\frac{1}{\Delta_2} \begin{vmatrix} D & B \\E & C \end{vmatrix}, \;\;\; 
               y_{c} = -\frac{1}{\Delta_2} \begin{vmatrix} A & D \\B & E \end{vmatrix}

Dette forutsetter at Δ2 ≠ 0 fordi en parabel ikke har noe senter. Legger man nå koordinatsystemets origo til dette senteret, blir ligningen for kjeglesnittet den reduserte, kvadratiske formen

 Ax^2  + 2Bxy + Cy^2 + \frac{\Delta_3}{\Delta_2} = 0

Kjeglesnittet har en stor akse som danner vinkelen φ  med den positive x-aksen. Den kan beregnes fra uttrykket

 \tan 2\phi = \frac{2B}{A - C}.

Fra samme kvadratiske form kan man nå også finne størrelsen til de to halvaksene til kjeglesnittet fra uttrykkene

 a^{2} = -\frac{\Delta_3}{\lambda_{1}\Delta_2}, \;\;\;  b^{2} = -\frac{\Delta_3}{\lambda_{2}\Delta_2}

Med gitte verdier for de seks koeffisientene i den opprinnelige, kvadratiske formen kan man derfor beregne alle egenskapene til det tilsvarende kjeglesnittet.

Tangenter, pol og polare[rediger | rediger kilde]

Retningen til en tangent er gitt av den deriverte dy/dx som kan beregnes fra den kvadratiske formen som beskriver kjeglesnittet. Tangenten i et punkt (x0, y0) på kurven kan da finnes direkte fra denne formen ved substitusjonene x2 → xx0, y2 → yy0, 2xy → xy0 + yx0, 2x → x + x0 og 2y → y + y0.

For det mest generelle kjeglesnitt gitt ved den kvadratiske formen Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, er derfor tangenten i punktet (x0, y0) gitt ved den rette linjen

  Axx_0 + B(x_0y + xy_0) + Cyy_0 + D(x + x_0) + E(y + y_0) + F = 0.

For eksempel, hvis man betrakter ellipser eller hyperbler på standardformen x2/a2 ± y2/b2 = 1, vil deres tangenter være gitt ved de rette linjene xx0/a2 ± yy0/b2 = 1.

Tangenten til et kjeglesnitt kan også betraktes som polaren til en spesiell pol som ligger på kjeglesnittet. Et vilkårlig punkt utenfor kjeglesnittet med koordinatene (x0, y0) har en polare som er gitt ved nøyaktig samme ligning som for en tangent. Omvendt kan man si at en vilkårlig rett linje av denne formen har en pol i punktet (x0, y0). Dette kommer tydelig frem når kjeglesnittene beskrives i projektiv geometri.

Projektiv geometri[rediger | rediger kilde]

Vanligvis beskrives kjeglesnitt i euklidsk geometri. Den er basert på parallellaksiomet. Det postulerer at det finnes parallelle linjer som aldri skjærer hverandre, selv om man følger dem uendelig langt bort. Oppgis dette aksiomet, går det euklidske planet over til å bli et projektivt plan hvor det ikke finnes parallelle linjer. Alle linjer vil skjære hverandre. Hva man vanligvis kaller parallelle linjer, vil da være linjer som skjærer hverandre i et punkt uendelig langt borte. Tar man med disse nye skjæringspunktene i planet, vil den euklidske geometrien bli erstattet med projektiv geometri. I denne geometriske utvidelsen ligger punktene i det uendelig fjerne langs en ny linje som selvsagt også ligger i det uendelig fjerne. Beveger man seg langs en rett linje mot uendelig i en retning, vil man komme tilbake på samme linje, men fra motsatt retning. Alle linjene i dette projektive planet er lukkete kurver.

Med bruk av projektiv geometri blir beskrivelsen av kjeglesnitt enklere og mer systematisk. En ellipse kan da beskrives som et kjeglesnitt som ikke skjærer linjen i det uendelig fjerne. Parabelen vil også være en lukket kurve som tangerer denne linjen i ett dobbeltpunkt, mens en hyperbel skjærer den i to forskjellige punkt gitt ved retningene til de to asymptotene. Ved projektive transformasjoner kan disse kjeglesnittene omformes i hverandre ved at de flyttes i forhold til linjen i det uendelige fjerne.

I denne beskrivelsen blir også hyperbelen en lukket kurve. Beveger man seg mot uendelig langs en gren, vil man passere linjen i det uendelige langs en asymptote, dukke opp igjen på motsatt side av samme asymptote slik at man kommer tilbake på den andre grenen av hyperbelen. Følger man denne grenen videre, forsvinner man igjen langs den andre asymptoten og dukker så opp igjen på den grenen hvor man startet etter å ha passert linjen i det uendelige enda en gang. Slik kan hyperbler ses som ellipser som har blitt trukket gjennom uendelig og gjenoppstår på den andre siden.

Komplekse koordinater[rediger | rediger kilde]

I den projektive beskrivelsen kan man også la koordinatene ta komplekse verdier. Dette er en naturlig generalisering i moderne matematikk. Det vil da ikke lenger være noen forskjeller mellom ellipser og hyperbler. For eksempel, så vil sirkelen x2 + y2 = 1 gå over til hyperbelen x2 - y2 = 1 ved å la y → iy hvor i er den imaginære enheten. Ellipsen og hyperbelen vil da kunne klassifiseres som tilhørende samme type kjeglesnitt. Mens hyperbelen har to reelle skjæringspunkt med linjen i det uendelige, vil ellipsen ha to komplekse skjæringspunkt. En parabel tilsvarer da spesialtilfellet hvor disse to skjæringspunktene faller sammen til ett, og man har en tangering i stedet.

Elliptiske kurver[rediger | rediger kilde]

I moderne kryptografi spiller elliptiske kurver en viktig rolle. Det er nærliggende å tro at de ellipser, men det er de ikke. Og sammenhengen mellom dem er ganske indirekte. Mens ligningen som beskriver en ellipse er av formen y2 = f(x) hvor funksjonen f(x) er et polynom i x av andre grad, fremkommer en elliptisk kurve når f(x) er av tredje grad. Skulle arealene under disse kurvene beregnes, måtte man utføre integrasjonen ∫ ydx. For den vanlige ellipsen kan dette lett la seg gjøre ved bruk av trigonometriske funksjoner, mens for en elliptisk kurve er det mye mer vanskelig. Man må da ta i bruk de mer kompliserte, elliptiske funksjoner som først ble studert av den norske matematiker Niels Henrik Abel for snart to hundre år siden. Det er denne elliptiske sammenhengen som har gitt disse kurvene deres navn.

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • C.B. Boyer, A History of Mathematics, Princeton University Press, New Jersey (1985). ISBN 0-691-02391-3.
  • A. Søgaard og R. Tambs Lyche, Matematikk for den høgre skolen, vol III, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).
  • T. M. Apostol, A First Course with Applications to Differential Equations, John Wiley & Sons, New York (1997). ISBN 0-471-17421-1.