Kurve

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
En skrulinje eller helix

En kurve er i matematikk et endimensjonalt geometrisk objekt, en kontinuerlig samling av punkt i det reelle rommet Rn eller i det komplekse rommet Cn. Kurven kan betraktes som banen til et punkt som beveger seg. Kurven har lengde, men ikke bredde eller dybde. Ordet kurve stammer fra det latinske linea curva, med betydning krum linje.

Kurver har mange anvendelsesområder, både i matematikk og i andre fagområder. Studiet av kurver inngår i mange deler av matematikk, slik som i matematisk analyse, i geometri og i topologi. En lang rekke kurver har egne navn, og figuren til venstre viser en skrulinje, også kalt en helix.

En kurve i det tre-dimensjonale rommet kan lokalt karakteriseres ved en tangentretning, en krumning og en torsjon. Tangenten er en vektor som peker i retningen langs kurven. Krumningen indikerer hvor fort tangentretningen endrer seg. Torsjonen er et mål på om kurven er plan eller om den vrir seg ut av et plan. Sammenhengen mellom tangent, krumning og torsjon er gitt ved Frenets formler, også kalt Frenet-Serrets formler.

Bregrepet linje blir av og til brukt synonymt med en kurve (krum linje), av og til synonymt med en rett linje. En rett linje er et spesialtilfelle av en kurve.

For reelle funksjoner blir ordet kurve også brukt synonymt med grafen til funksjonen. Denne bruken er også reflektert i sammensetninger som «glemselskurve» og «feberkurve».

Definisjon av en kurve[rediger | rediger kilde]

En kurve i det tredimensjonale rommet R3 kan kalles en romkurve og kan beskrives ved hjelp av en parametrisering på forma

\mathbf{r}(t) = x(t)\mathbf{i}+ y(t)\mathbf{j} + z(t)\mathbf{k} \qquad  t \in T \,

Parameterområdet T er et intervall i R. En alternativ skriveform er

x = x(t) \qquad y = y(t) \qquad z = z(t) \qquad t \in T \,

Det eksisterer uendelig mange valg av parametriseringer for en gitt kurve. Parameteren t kan for eksempel representere tiden som går når et punkt beveger seg langs kurven eller representere avstanden langs kurven fra et gitt startpunkt.

Hvilke egenskaper funksjonene x(t) , y(t) og z(t) må oppfylle for å definere en kurve har historisk vært omstridt. Kontinuitet i funksjonene er et nødvendig vilkår, men ikke tilstrekkelig. Ofte vil en anta at de førstederiverte av funksjonene er kontinuerlige eller har et endelig antall diskontinuiteter. Punkt der alle de tre deriverte av x, y og z med hensyn på t samtidig er lik null kalles singulære punkt. Alle andre punkt er regulære punkt.

Kurver som representerer grafen til en funksjon kan defineres enkelt ved y = f(x), som er ekvivalent med parametriseringen

\mathbf{r}(x) = x \mathbf{i}+ f(x)\mathbf{j} \,

En romkurve kan også defineres implisitt ved hjelp av to ligninger

F_1(x,y,z) = 0 \qquad F_2(x,y,z) = 0.

Hver av ligningene definerer en flate i rommet, og kurven er dermed definert som samlingen av punkt som ligger på begge flatene, det vil si langs skjæringslinjen mellom flatene. I og med at to flater kan ha flere adskilte skjæringslinjer, trenger ikke en implisitt definisjon å være entydig.

En kurve i planet kan defineres implisitt ved en enkelt ligning av typen

F(x,y) = 0. \,

Parametrisk definisjon av helix[rediger | rediger kilde]

En helix kan defineres ved parametriseringen

x = a \cos t \qquad  y = a \sin t \qquad z = bt \,

Implisitt definisjon av kjeglesnitt[rediger | rediger kilde]

Kjeglesnitt er kurver som framkommer som skjæringslinjer når en kjegle snittes med et plan. Denne familien av plane kurver omfatter sirkel, ellipse, parabel og hyperbel. De to følgende ligningene definerer implisitt en ellipse i planet z = 4:

x^2 + 4 y^2 = z^2  \qquad  z = 4

Kurvetyper og egenskaper[rediger | rediger kilde]

En stykkevis glatt curve

En kurve er en plan kurve dersom hele kurven ligger i et plan. Alle kurver i R2 er plane kurver.

En kurve er lukket dersom startpunktet og endepunktet er det samme. En sirkel er eksempel på en lukket kurve.

En plan, lukket kurve som ikke krysser seg selv kalles en Jordankurve. En Jordankurve deler et plan i en innside og en utside.

En algebraisk kurve er definert som skjæringskurven mellom to algebraiske flater. En algebraisk flate av grad n er definert ved en ligning p(x,y,z) = 0, der p er et polynom av grad.n. Dersom de to algebraiske flatene har grad henholdsvis m og n, så defineres graden til den algebraiske kurven å være lik (mn).

En geodetisk kurve er en kurve som følger den korteste vei mellom to punkt på en kurvet flate. På en kuleflate vil en geodetisk kurve ligge på en storsirkel. Kurver på en kuleflate kalles generelt sfæriske kurver. Geodetiske kurver er også definert for andre flater enn kuleflater.

En glatt kurve er en kurve der parameterfunksjonene x(t) , y(t) og z(t) alle har kontinuerlige deriverte. En glatt kurve har ingen spisse hjørner. Kurven er stykkevis glatt dersom den er glatt overalt, bortsett fra i et endelig antall punkt, der den kan ha knekkpunkt. En gren av kurven er en del mellom to påfølgende knekkpunkt. Det engelske ordet «cusp» blir brukt for å betegne et knekkpunkt der tangentretningene til kurven på hver side av knekkpunktet har sammenfallende retning i grenseverdien når en nærmer seg knekkpunktet.

Buelengde og tangentvektor[rediger | rediger kilde]

Sirkel med tangent

Buelengden til en kurve er avstanden langs kurven fra et gitt startpunkt. Dersom kurven er gitt ved en parametrisering r = r(t) og startpunktet er r(a), så er buelengden definert ved

s = \int \limits_a^t  \sqrt { \dot \mathbf{r} \cdot \dot \mathbf{r} } \; dt  = \int \limits_a^t \sqrt{ \dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2} \; dt \,

Her er en prikk over posisjonsvektoren r brukt for å indikerer den deriverte med hensyn på parameteren t.

Det er vanlig å bruke buelengden som parameter i beskrivelsen av en kurve. Mange matematiske formler får en enkel form når buelengden er valgt som parameter. Tangenten er en rett linje som berører kurven, og en enhets-tangentvektor er for definert ved uttrykket

\mathbf{t} = \frac{d\mathbf{r}}{ds} \,

der parameteren s er buelengden.

Krumning og normalvektor[rediger | rediger kilde]

Krumningen til en kurve er et mål for endring i tangenvektor-retningen langs kurven. Krumningen kan være positiv eller negativ og er definert ved ligningen

\frac{d\mathbf{t}}{ds} = \kappa \mathbf{n}. \,

Her er enhetsvektoren n kalt normalvektoren, og \kappa er krumningen. Absoluttverdien av inversen til krumningen kalles krumningsradien:

R = \frac{1}{|\kappa|}  .

En sirkel har krumningsradius lik sirkelradien. En rett linje har krumningsradius lik uendelig.

Torsjon og binormalvektor[rediger | rediger kilde]

En kurve med tangent, normal og binormalvektor, samt osculasjonsplanet.

Fra normalvektoren og tangenten kan en definere en tredje vektor kalt binormalvektoren til kurven:

\mathbf{b} = \mathbf{t} \times \mathbf{n} \,

De tre vektorene t, n og b er alle enhentsvektorer og står normalt på hverandre. Sammen er vektorene referert til som et trihedron. Planet gjennom tangentvektoren og normalvektoren kalles osculasjonsplanet eller smygplanet. En kan betrakte osculasjonsplanet som et plan gjennom tre påfølgende punkt på kurven.

Et mål for hvor fort en kurve snor seg ut av osculasjonsplanet er gitt ved torsjonen \tau, definert ved ligningen

\frac{d\mathbf{b}}{ds} = - \tau \mathbf{n} \,

Torsjonen kan være både positiv og negativ. En plan kurve har torsjon lik null.

Frenets formler[rediger | rediger kilde]

Sammenhengen mellom vektorene i trihedronet, samt krumning og torsjon, er gitt ved Frenets formler, også kalt Frenet-Serrets formler:


\begin{alignat}{2}
\frac{d\mathbf{t}}{ds} &= \kappa \mathbf{n} \\
\frac{d\mathbf{n}}{ds} &= - \kappa \mathbf{t} + \tau \mathbf{b} \\
\frac{d\mathbf{b}}{ds} &= - \tau \mathbf{n} 
\end{alignat}

Formlene er oppkalt etter de to franske matematikerene Jean Frédéric Frenet og Joseph Alfred Serret.

Fundamentalteoremet for romkurver[rediger | rediger kilde]

Gitt to vilkårlige kontinuerlige funksjoner \kappa = \kappa(s) og \tau = \tau(s) der s er positiv. Da eksisterer det én og kun én romkurve, entydig bestemt bortsett fra posisjon og orientering i rommet, som har buelengden s, krumningen \kappa og torsjon lik \tau.

Ligningene \kappa = \kappa(s) og \tau = \tau(s) kalles de naturlige ligningene til romkurven.

Liste over kurver[rediger | rediger kilde]

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • D.J.Struik (1961). Lectures on classical differential geometry. Dover Publications, New York. ISBN 0-486-65609-8.