Kontinuerlig funksjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til: navigasjon, søk
Områder i analyse
Differensialligninger
Funksjonalanalyse
Funksjoner av flere variable
Matematisk analyse

Kontinuitet
Grenseverdier
Følger
Rekker
Derivasjon
Integrasjon

Komplekse funksjoner

En kontinuerlig funksjon er intuitivt sett en funksjon som har den egenskapen at små endringer i medfører små endringer i funksjonsverdien . Overfører vi denne intuisjonen til geometrien ser vi at funksjonsgrafen til en kontinuerlig funksjon kan skisseres uten å løfte pennen. For en presis matematisk definisjon av kontinuitet, se under. En funksjon som ikke er kontinuerlig kalles diskontinuerlig. De viktigste resultatene for kontinuerlige relle funksjoner er skjæringssetningen og ekstremalverdisetningen.

Kontinuitet for reelle funksjoner av en reell variabel[rediger | rediger kilde]

Se på funksjoner hvor definisjonsmengden og verdimengden er delmengder av de reelle tall. Ofte er slike funksjoner gitt ved formeluttrykk. Vi har følgende tre ekvivalente definisjoner:

Epsilon-delta definisjon[rediger | rediger kilde]

La være et punkt i definisjonsmengden til . Vi sier at er kontinuerlig i dersom det for hver finnes en slik at

når og ligger i definisjonsmengden til .

Funksjonen kalles kontinuerlig dersom er kontinuerlig i alle punkt i definisjonsmengden.

Ved grenseverdier[rediger | rediger kilde]

La være et punkt i definisjonsmengden til . Vi sier at er kontinuerlig i dersom er et isolert punkt i definisjonsmengden eller grenseverdien eksisterer og er lik . Funksjonen kalles kontinuerlig dersom er kontinuerlig i alle punkt i definisjonsmengden.

Ved sekvensielle grenseverdier[rediger | rediger kilde]

La være et punkt i definisjonsmengden til . Vi sier at er kontinuerlig i dersom for hver følge av punkt i definisjonsmengden med , så eksisterer grenseverdien og er lik . Funksjonen kalles kontinuerlig dersom er kontinuerlig i alle punkt i definisjonsmengden.

Eksempler[rediger | rediger kilde]

Følgende funksjoner er kontinuerlige:

  • , hvor er en konstant.
  • Absoluttverdien
  • n-te potenser
  • n-te røtter
  • De trigonometriske funksjonene , og
  • Eksponentialfunksjonen
  • Logaritmefunksjonen
  • Arcusfunksjonene , og
  • De hyperbolske funksjonenen , , og

Funksjonen er ikke kontinuerlig i .

Funksjonen er ikke kontinuerlig i noe punkt.

Å avgjøre kontinuitet[rediger | rediger kilde]

Dersom en reell funksjon er gitt ved en formel, så er det upraktisk å bruke definisjonen til å avgjøre om er kontinuerlig. I stedet bruker man teoremet som sier at dersom funksjonen er bygget opp av kontinuerlige funksjoner ved operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og sammensetning, så er også kontinuerlig i hele sin definisjonsmengde.

Eksempler:

  • kontinuerlig siden er summen av de kontinuerlige funksjonene og .
  • er kontinuerlig siden er sammensetningen av med produktet .
  • er kontinuerlig siden er den kontinuerlige funksjonen delt på den kontinuerlige funksjonen . Merk at ikke er diskontinuelig i , men kun udefinert i dette punktet. Videre er det umulig å utvide definisjonsområdet til slik at blir kontinuerlig i .

Viktige resultater[rediger | rediger kilde]

Skjæringssetningen: Anta at er en kontinuerlig funksjon hvor og har motsatte fortegn. Da finnes et tall mellom og slik at .

Ekstremalverdisetningen: La være en kontinuerlig funksjon definert på et lukket, begrenset intervall. Da eksisterer både maksimumspunkt og minimumspunkt for .

Kontinuitet for komplekse funksjoner av en kompleks variabel[rediger | rediger kilde]

Kontinuitet for en kompleks funksjon av en kompleks variabel defineres på samme måte som kontinuitet for reelle funksjoner av en reell variabel.

Kontinuitet for funksjoner av flere variable[rediger | rediger kilde]

Kontinuitet for en funksjon av flere variable defineres på samme måte som kontinuitet for reelle funksjoner av en reell variabel.

Følgende eksempel viser at man må være litt forsiktig når man ser på kontinuitet til funksjoner av flere variable: La Selv om og begge er kontinuerlige i , så er ikke kontinuerlig i .

Kontinuerlige funksjoner mellom metriske rom[rediger | rediger kilde]

Epsilon-delta definisjon[rediger | rediger kilde]

La og være metriske rom med metrikker og henholdsvis. En funksjon er kontinuerlig i punktet dersom det for alle finnes en slik at

for alle med .

En funksjon er kontinuerlig dersom funksjonen er kontinuerlig i alle punkt i .

Ved grenseverdier[rediger | rediger kilde]

La være en funksjon mellom metriske rom og la være et punkt i . Vi sier at er kontinuerlig i dersom er et isolert punkt i eller grenseverdien eksisterer og er lik . Funksjonen kalles kontinuerlig dersom er kontinuerlig i alle punkt i .

Ved sekvensielle grenseverdier[rediger | rediger kilde]

La være en funksjon mellom metriske rom og la være et punkt i definisjonsmengden til . Vi sier at er kontinuerlig i dersom for hver følge av punkt i med , så eksisterer grenseverdien og er lik . Funksjonen kalles kontinuerlig dersom er kontinuerlig i alle punkt i .

Kontinuerlige funksjoner mellom topologiske rom[rediger | rediger kilde]

Definisjon[rediger | rediger kilde]

En funksjon mellom topologiske rom er kontinuerlig dersom er en åpen mengde i for hver åpen mengde i .

En kan også gi en ekvivalent definisjon ved bruk av omegnsstrukturer. En slik definisjon viser at kontinuitet er en lokal egenskap.

Merk at sammensetningnen av to kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig.

Viktige resultater[rediger | rediger kilde]

Følgende to resultater generaliserer skjæringssetningen og ekstremalverdisetningen:

  • Bildet av en sammenhengende mengde under en kontinuerlig funksjon er sammenhengende.
  • Bildet av en kompakt mengde under en kontinuerlig funksjon er kompakt.