Kontinuerlig funksjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Områder i analyse
Differensialligninger
Funksjonalanalyse
Funksjoner av flere variable
Matematisk analyse

Kontinuitet
Grenseverdier
Følger
Rekker
Derivasjon
Integrasjon

Komplekse funksjoner

En kontinuerlig funksjon f er intuitivt sett en funksjon som har den egenskapen at små endringer i x medfører små endringer i funksjonsverdien f(x). Overfører vi denne intuisjonen til geometrien ser vi at funksjonsgrafen til en kontinuerlig funksjon kan skisseres uten å løfte pennen. For en presis matematisk definisjon av kontinuitet, se under. En funksjon som ikke er kontinuerlig kalles diskontinuerlig. De viktigste resultatene for kontinuerlige relle funksjoner er skjæringssetningen og ekstremalverdisetningen.

Kontinuitet for reelle funksjoner av en reell variabel[rediger | rediger kilde]

Se på funksjoner f hvor definisjonsmengden og verdimengden er delmengder av de reelle tall. Ofte er slike funksjoner gitt ved formeluttrykk. Vi har følgende tre ekvivalente definisjoner:

Epsilon-delta definisjon[rediger | rediger kilde]

La a være et punkt i definisjonsmengden til f. Vi sier at f er kontinuerlig i a dersom det for hver \epsilon>0 finnes en \delta>0 slik at

|f(x)-f(a)|<\epsilon når |x-a|<\delta og x ligger i definisjonsmengden til f.

Funksjonen f kalles kontinuerlig dersom f er kontinuerlig i alle punkt i definisjonsmengden.

Ved grenseverdier[rediger | rediger kilde]

La a være et punkt i definisjonsmengden til f. Vi sier at f er kontinuerlig i a dersom a er et isolert punkt i definisjonsmengden eller grenseverdien \lim_{x\rightarrow a}f(x) eksisterer og er lik f(a). Funksjonen f kalles kontinuerlig dersom f er kontinuerlig i alle punkt i definisjonsmengden.

Ved sekvensielle grenseverdier[rediger | rediger kilde]

La a være et punkt i definisjonsmengden til f. Vi sier at f er kontinuerlig i a dersom for hver følge x_1,x_2,\ldots av punkt i definisjonsmengden med \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a, så eksisterer grenseverdien \lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n) og er lik f(a). Funksjonen f kalles kontinuerlig dersom f er kontinuerlig i alle punkt i definisjonsmengden.

Eksempler[rediger | rediger kilde]

Følgende funksjoner er kontinuerlige:

  • f(x)=c, hvor c er en konstant.
  • f(x)=x
  • Absoluttverdien f(x)=|x|
  • n-te potenser f(x)=x^n
  • n-te røtter f(x)=\sqrt[n]{x}
  • De trigonometriske funksjonene \sin(x), \cos(x) og \cot(x)
  • Eksponentialfunksjonen f(x)=e^x
  • Logaritmefunksjonen f(x)=\ln(x)
  • Arcusfunksjonene \arcsin(x), \arccos(x) og \arctan(x)
  • De hyperbolske funksjonenen \sinh(x), \cosh(x), \tanh(x) og \coth(x)

Funksjonen f(x)=\begin{cases}0&\operatorname{hvis}\quad x\neq0,\\ 1&\operatorname{hvis}\quad x=0\end{cases} er ikke kontinuerlig i 0.

Funksjonen f(x)=\begin{cases}0&\operatorname{hvis}\quad x\quad \operatorname{rasjonal},\\ 1&\operatorname{hvis}\quad x\quad \operatorname{irrasjonal}\end{cases} er ikke kontinuerlig i noe punkt.

Å avgjøre kontinuitet[rediger | rediger kilde]

Dersom en reell funksjon f er gitt ved en formel, så er det upraktisk å bruke definisjonen til å avgjøre om f er kontinuerlig. I stedet bruker man teoremet som sier at dersom funksjonen f er bygget opp av kontinuerlige funksjoner ved operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og sammensetning, så er også f kontinuerlig i hele sin definisjonsmengde.

Eksempler:

  • f(x)=x^2+4 kontinuerlig siden f er summen av de kontinuerlige funksjonene x^2 og 4.
  • f(x)=\sin(2x) er kontinuerlig siden f er sammensetningen av \sin(x) med produktet 2x.
  • f(x)=\frac{1}{x} er kontinuerlig siden f er den kontinuerlige funksjonen 1 delt på den kontinuerlige funksjonen x. Merk at f ikke er diskontinuelig i x=0, men kun udefinert i dette punktet. Videre er det umulig å utvide definisjonsområdet til f(x)=\frac{1}{x} slik at f blir kontinuerlig i 0.

Viktige resultater[rediger | rediger kilde]

Skjæringssetningen: Anta at f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R} er en kontinuerlig funksjon hvor f(a) og f(b) har motsatte fortegn. Da finnes et tall c mellom a og b slik at f(c)=0.

Ekstremalverdisetningen: La f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R} være en kontinuerlig funksjon definert på et lukket, begrenset intervall. Da eksisterer både maksimumspunkt og minimumspunkt for f.

Kontinuitet for komplekse funksjoner av en kompleks variabel[rediger | rediger kilde]

Kontinuitet for en kompleks funksjon f av en kompleks variabel z defineres på samme måte som kontinuitet for reelle funksjoner av en reell variabel.

Kontinuitet for funksjoner av flere variable[rediger | rediger kilde]

Kontinuitet for en funksjon f av flere variable (x_1,x_2,\ldots,x_n) defineres på samme måte som kontinuitet for reelle funksjoner av en reell variabel.

Følgende eksempel viser at man må være litt forsiktig når man ser på kontinuitet til funksjoner av flere variable: La f(x,y)=\begin{cases}1&\operatorname{hvis}\quad x=0\quad\operatorname{eller}\quad y=0,\\ 0 &\operatorname{ellers}.\end{cases} Selv om x\mapsto f(x,0) og y\mapsto f(0,y) begge er kontinuerlige i 0, så er ikke (x,y)\mapsto f(x,y) kontinuerlig i (0,0).

Kontinuerlige funksjoner mellom metriske rom[rediger | rediger kilde]

Epsilon-delta definisjon[rediger | rediger kilde]

La X og Y være metriske rom med metrikker d og \rho henholdsvis. En funksjon f:X\rightarrow Y er kontinuerlig i punktet a\in X dersom det for alle \epsilon>0 finnes en \delta>0 slik at

\rho(f(x),f(a))<\epsilon for alle x\in X med d(x,a)<\delta.

En funksjon er kontinuerlig dersom funksjonen er kontinuerlig i alle punkt a i X.

Ved grenseverdier[rediger | rediger kilde]

La f:X\rightarrow Y være en funksjon mellom metriske rom og la a være et punkt i X. Vi sier at f er kontinuerlig i a dersom a er et isolert punkt i X eller grenseverdien \lim_{x\rightarrow a}f(x) eksisterer og er lik f(a). Funksjonen f kalles kontinuerlig dersom f er kontinuerlig i alle punkt i X.

Ved sekvensielle grenseverdier[rediger | rediger kilde]

La f:X\rightarrow Y være en funksjon mellom metriske rom og la a være et punkt i definisjonsmengden til f. Vi sier at f er kontinuerlig i a dersom for hver følge x_1,x_2,\ldots av punkt i X med \lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a, så eksisterer grenseverdien \lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n) og er lik f(a). Funksjonen f kalles kontinuerlig dersom f er kontinuerlig i alle punkt i X.

Kontinuerlige funksjoner mellom topologiske rom[rediger | rediger kilde]

Definisjon[rediger | rediger kilde]

En funksjon f:X\rightarrow Y mellom topologiske rom er kontinuerlig dersom f^{-1}(U) er en åpen mengde i X for hver åpen mengde U i Y.

En kan også gi en ekvivalent definisjon ved bruk av omegnsstrukturer. En slik definisjon viser at kontinuitet er en lokal egenskap.

Merk at sammensetningnen av to kontinuerlige funksjoner er kontinuerlig.

Viktige resultater[rediger | rediger kilde]

Følgende to resultater generaliserer skjæringssetningen og ekstremalverdisetningen:

  • Bildet av en sammenhengende mengde under en kontinuerlig funksjon er sammenhengende.
  • Bildet av en kompakt mengde under en kontinuerlig funksjon er kompakt.