Hopp til innhold

Elementær funksjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

En elementær funksjon er en matematisk funksjon av en enkelt variabel, laget ved algebraiske kombinasjoner av en liten gruppe grunnfunksjoner: rasjonale funksjoner, eksponetialfunksjoner, logaritmefunksjoner, trigonometriske funksjoner og den generelle potensfunksjonen.[1][2]

Grunnfunksjonene kan settes sammen ved et endelig antall aritmetiske operasjoner addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. I tillegg regner også sammensatte funksjoner av elementære funksjoner som elementære.[1] Noen definisjoner utvider klassen ved også å inkludere alle inverse funksjoner av elementære funksjoner som elementære.[3]

Elementære funksjoner kan være definert for en reell variabel eller for et komplekst argument.

Elementære grunnfunksjoner

[rediger | rediger kilde]

Til de elementære grunnfunksjonene av en reell eller kompleks variabel regnes[1]

Polynomfunksjoner

[rediger | rediger kilde]
Polynomfunksjoner

Polynomfunksjoner av en variabel er funksjoner på formen

hvor er konstanter, og er graden til polynomet, forutsatt at er ulik null. Polynomfunksjoner er kontinuerlige, glatte og hele.

Rasjonale funksjoner

[rediger | rediger kilde]

En rasjonal funksjon er en funksjon definert som forholdet mellom to polynomfunksjoner:

Her er og polynomfunksjoner. Definisjonsmengden til en rasjonal funksjon er alle reelle eller komplekse verdier av som ikke gjør nevneren lik null.

Siden en konstant i nevneren også er et polynom, regnes polynomfunksjonene som en delmengde av de rasjonale funksjonene.

Eksponentialfunksjonen

[rediger | rediger kilde]
Eksponentialfunksjoner

Eksponentialfunksjonen med grunntall er en funksjon på formen

der er et positivt reelt tall.

Grunnformen for denne typen funksjoner er definert med grunntallet e = 2,718...

Funksjonen er vanligvis formelt definert som en uendelig potensrekke:

Logaritmefunksjoner

[rediger | rediger kilde]
Logaritmefunksjon

Logaritmefunksjonen med grunntall kan defineres som den inverse funksjonen til eksponentialfunksjonen:

Spesielt viktig er funksjonen med grunntall :

Trigonometriske funksjoner

[rediger | rediger kilde]

De trigonometriske funksjonene er funksjoner som kan uttrykkes som et forhold mellom sidene i en rettvinklet trekant, når en vinkel i trekanten brukes som funksjonsargument. Grunnleggende funksjoner er sinus, cosinus og tangens. De inverse funksjonene betegnes med arcus sinus, arcus cosinus og arcus tangens.

Potensfunksjoner

[rediger | rediger kilde]

Den generelle potensfunksjonen har formen

der er en konstant. Funksjonen kan uttrykkes ved hjelp av logaritmer, som

Eksempler på elementære funksjoner

[rediger | rediger kilde]

Til de elementære funksjonene hører

  • Konstante funksjoner, som
  • Funksjoner sammensatt av potens- og rot-uttrykk, som
  • Hyperbolske funksjoner, som
  • Inverse hyperbolske funksjoner, som
  • Sammensetninger som

Den siste funksjonen er lik i hele det komplekse planet.

Som et eksempel på en funksjon som ikke er elementær kan nevnes gammafunksjonen:

Egenskaper til elementære funksjoner

[rediger | rediger kilde]

Ved ikke å inkludere generelle inverse funksjoner oppnår en direkte fra definisjonen at mengden av elementære funksjoner er lukket under de aritmetiske operasjonene, samt sammensetning.

Refereanser

[rediger | rediger kilde]
  1. ^ a b c Hans Fredrik Aas (1974). Forelesningsnotater i matematisk analyse. I. Bergen: Matematisk institutt, Universitetet i Bergen. s. 62. 
  2. ^ G. Thomas, R. Finney (1995). Calculus and Analytic Geometry (9th edition utg.). Reading, USA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-53174-7.  s.573
  3. ^ E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. ISBN 0-00-434347-6.  [Elementary function]