Gradient

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til: navigasjon, søk
Gradienten er illustrert med piler for to forskjellige, skalare felt som begge øker i retningene hvor pilene peker.

I matematikk er gradienten til et skalarfelt et vektorfelt der vektoren i et hvert punkt peker i retningen til den største økningen i skalarfeltet. Lengden av vektoren er et uttrykk for endringen til skalarfeltet i retning av vektoren.

Gradienten til en funksjon skrives vanligvis eller , der er nabla-operatoren.

I figurene til høyre er to forskjellige skalarfelt tegnet i svart/hvitt, der svart symboliserer høyere verdier. Den tilhørende gradienten er vist med blå piler.

Ordet gradient brukes også ofte i en løsere betydning for å betegne variasjon i en eller annen størrelse.

Formell definisjon[rediger | rediger kilde]

Gradienten til et generelt skalarfelt definert i et kartesisk koordinatsystem er definert ved

der den i-te vektorkomponenten er lik den partiellderiverte av funksjonen f med hensyn på den i-te koordinaten.

Definisjonen av gradienten vil avhenge av koordinatsystemet brukt. I sylinderkoordinater er definisjonen

I kulekoordinater er definisjonen

Eksempel[rediger | rediger kilde]

Gradienten til den følgende funksjonen, definert i kartesiske koordinater,

,

er gitt ved

Taylorutvikling av skalarfelt[rediger | rediger kilde]

For et punkt der gradienten er definert vil variasjonen i et skalarfelt til første orden kunne uttrykkes ved hjelp av gradienten som

der restleddet E går mot null når går mot null.

Se også[rediger | rediger kilde]