Ring (matematikk)

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Områder i algebra
Abstrakt algebra

Grupper
Ringer
Kropper

Algebraisk geometri
Elementær algebra

Ligninger
Funksjoner

Kombinatorikk
Lineær algebra

Vektorrom
Matriser

Tallteori

En ring er i matematikk en algebraisk struktur definert med to binæroperasjoner, addisjon og multiplikasjon, som har mange av de samme egenskapene som vi finner hos heltallene. Mengden av hele tall, Z, sammen med den vanlige definisjonen av addisjon og multiplikasjon, er et eksempel på en ring. Mengden av alle matriser er et eksempel på en ikke-kommutativ ring.

Definisjon[rediger | rediger kilde]

En mengde M sammen med to binæroperasjoner + og × er en ring hvis følgende aksiomer er oppfylt:

For alle a, b og c i M er (a + b) + c = a + (b + c) og (a × b) × c = a × (b × c). (Assosiativitet)
For alle a og b i M er a + b = b + a. (Kommutativitet)
Det finnes et element 0 i M slik at a + 0 = a for alle a i M. (Additiv identitet)
Det finnes et element 1 i M slik at a × 1 = 1 × a = a for alle a i M. (Multiplikativ identitet)
For enhver a i M, finnes et element b slik at a + b = 0 (Additiv invers)
For alle a, b og c i M er a × (b + c) = a × b + a × c og (a + b) × c = a × c + b × c. (Distributivitet)

Mengden M sammen med binæroperasjonen + er med andre ord en abelsk gruppe.

Dersom binæroperasjonen × også kommuterer kalles mengden en kommutativ ring. Operasjonen er kommutativ dersom det for alle a og b i M gjelder at a × b = b × a.