Delmengde

Venndiagram som viser A som en ekte delmengde av B.

En delmengde av en mengde $B$ er i mengdelære en mengde $A$ som er inneholdt fullt og helt i mengden $B.$ Alle elementene i $A$ er altså også elementer i $B$. Dette skrives $A\subseteq B$ og $A\subset B$.

Enhver mengde er en delmengde av seg selv. $B$ er en ekte delmengde dersom $A$ inneholder elementer som ikke er i $B$.

Når $A$ er en delmengde i $B$, så er $B$ en overmengde. Mengden av alle mulige delmengder til en mengde $B$ kalles potensmengden til $B$.

Formell definisjon

$A$ er en delmengde til $B$ hvis og bare hvis

$(\forall x\in B)(x\in A)$.

Siden alle elementer i $A$ er inneholdt i $A$, så er $A$ en delmengde av seg selv. $A$ er en ekte delmengde til $B$ hvis og bare hvis

$(\forall x\in B)(x\in A){\text{ og }}(\exists z\in A)(z\notin B)$.

Notasjon

Inklusjonsoperatoren er en binær relasjon som brukes for å vise en delmengde:

$A\subset B$.

I noen framstillinger brukes denne notasjonen både ved mengdelikhet $A=B$ og for ekte delmengder. En ekte delmengde kan da vises med følgende notasjon, om enn lite brukt:

$A\varsubsetneq B$

I andre framstillinger er notasjonen $\subset$ reservert for ekte delmengder, og det generelle tilfellet skrives slik:

$A\subseteq B$.

Denne siste skrivemåten er brukt i de videre eksemplene.

For å vise at en mengde $A$ ikke er en delmengde av $B$, kan en skrive

$A\nsubseteq B$,

med eller uten likhetstegnet inkludert.

Eksempler

Mengden $A=\{a,b,c\}$ er en ekte delmengde av $A=\{a,b,c,d,e,f\}$.

Mengden av naturlige tall er en ekte delmengde av de rasjonale tallene, som igjen er en ekte delmengde av de reelle tallene.

Mengden av menn født i Oslo er en delmengde av mengden av alle som er født i Oslo.

Egenskaper

For en vilkårlig mengde $A$ gjelder grunnleggende egenskaper:

${\begin{alignedat}{2}A&\subseteq A\\\neg (A&\subset A)\\\varnothing &\subseteq A\end{alignedat}}$.

Her er $\varnothing$ den tomme mengden. Siden en mengde er en delmengde av seg selv, så er inklusjonoperatoren $\subseteq$ en refleksiv binær relasjon. Dersom $B$ er en delmengde til $A$, så gjelder

${\begin{alignedat}{2}A\cup B&=A\\A\cap B&=B\end{alignedat}}$.

Inklusjonsoperatoren $\subseteq$ er antisymmetrisk, en egenskap som ofte brukes for å vise at to mengder er like:

$A=B\ \Leftrightarrow \ (A\subseteq B{\text{ og }}B\subseteq A)$.

Operatoren er også transitiv:

$A\subseteq B{\text{ og }}B\subseteq C\ \Rightarrow A\subseteq C$.

Relaterte mengder

Når $A$ er en delmengde i $B$, så er $B$ en overmengde, men dette siste begrepet brukes ikke så ofte som delmengde. Notasjon for en overmengde er tilsvarende som for en delmengde:

${\begin{alignedat}{2}B&\supset A\\B&\supseteq A\end{alignedat}}$.

Mengden av alle mulige delmengder i en mengde $B$ kalles potensmengden. Hvis $B=\lbrace a,b\rbrace$, så er potensmengden gitt ved

${\mathcal {P}}(B)=\lbrace \varnothing ,\lbrace a\rbrace ,\lbrace b\rbrace ,\lbrace a,b\rbrace \rbrace$.

En partisjon er en inndeling av en mengde i disjunkte delmengder.

Litteratur

• Patrick Suppes (1972). Axiomatic set theory. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-61630-4. 

• Paul R. Halmos (2025). Naive set theory. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-81487-4.