Eksponentialfunksjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til navigering Hopp til søk
Ekponentialfunksjonen er nesten flat når er negativ, men stiger raskt når er positiv. Funksjonen går gjennom punktene (0,1) og (1,e).

Eksponentialfunksjonen er, i matematikken, den inverse funksjon til logaritmefunksjonen. Det er en av matematikkens viktigste funksjoner. Funksjonens grunnform skrives som eller , hvor e er den matematiske konstanten som forkortet er 2,71828... Den generelle formen skrives , der grunntallet . Altså:

Grunnform:

Generell form:

  • Om (i grunnformen) er høyere enn 1 (), vil kurven stige (i retningen når eksponenten stiger).
  • Om er 1 (), vil vi ikke ha en kurve, men en vannrett (liggende) linje med verdi C.
  • Om er mellom 0 og 1 (), vil kurven flate ut langs x-aksen, og sluttverdien vil aldri bli negativ.


For enklest mulig å forstå eksponentialfunksjoner, kan vi si at multipliseres ganger.

.

Eksponentialfunksjonen i sammenheng med kalkulus[rediger | rediger kilde]

En spesiell egenskap ved eksponentialfunksjonen (altså ) er at den er sin egen deriverte. Vi har altså at:

Som en konsekvens av dette vil det ubestemte integralet av ekspoentialfunksjonen tilsvare følgende;

Denne egenskapen til eksponentialfunksjonen gjør den viktig i sammenheng med differensiallikninger, da den tilfredsstiller den grunnleggende differensiallikningen .

Bevis på [rediger | rediger kilde]

Vi definerer eksponentialfunksjonen ved en uendelig rekke: .

Deretter skriver vi ut de første leddene i summen og får;

Da grenseverdien sier at h går mot 0, vil alle ledd med h i teller bli 0. Vi står da igjen med;

Q.E.D

Eksempel[rediger | rediger kilde]

Vi setter til å ha verdien 3. Da kan vi sette opp denne tabellen for funksjonen :

X-verdi Funksjonsuttrykk Forenklet uttrykk Y-verdi
1 3
2 9
3 27
4 81
matematikkstubbDenne matematikkrelaterte artikkelen er foreløpig kort eller mangelfull, og du kan hjelpe Wikipedia ved å utvide den. (Se stilmanual)