Eksponentialfunksjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Hopp til: navigasjon, søk
Ekponentialfunksjonen er nesten flat når x er negativ, men stiger raskt når x er positiv. Funksjonen går gjennom punktene (0,1) og (1,e).

Eksponentialfunksjonen er, i matematikken, den inverse funksjon til logaritmefunksjonen. Det er en av matematikkens viktigste funksjoner. Funksjonens grunnform skrives som ex, hvor e er den matematiske konstanten som forkortet er 2,71828... Den generelle formen skrives C*ax, der grunntallet a > 0. Altså:

Grunnform:


Generell form:



  • Om a (i grunnformen) er høyere enn 1 (a > 1), vil kurven stige (i retningen når eksponenten stiger).
  • Om a er 1 (a = 1), vil vi ikke ha en kurve, men en vannrett (liggende) linje med verdi C.
  • Om a er mellom 0 og 1 (0 < a < 1), vil kurven flate ut langs x-aksen, og sluttverdien vil aldri bli negativ.


For enklest mulig å forstå eksponentialfunksjoner, kan vi si at a multipliseres x ganger.

Eksponentialfunksjonen i sammenheng med kalkulus[rediger | rediger kilde]

En spesiell egenskap ved eksponentialfunksjonen (altså ex) er at den er sin egen deriverte. Vi har altså at:

Som en konsekvens av dette vil det ubestemte integralet av ekspoentialfunksjonen tilsvare følgende;

Denne egenskapen til eksponentialfunksjonen gjør den viktig i sammenheng med differensiallikninger, da den tilfredstiller den grunnleggende differensiallikningen .

Bevis på [rediger | rediger kilde]

Vi definerer eksponentialfunksjonen ved en uendelig rekke: .

Deretter skriver vi ut de første leddene i summen og får;

Da grenseverdien sier at h går mot 0, vil alle ledd der h er i nevner bli 0. Vi står da igjen med;

Q.E.D

Eksempel[rediger | rediger kilde]

Vi setter a til å ha verdien 3. Da kan vi sette opp denne tabellen for funksjonen f(x)=3x:

X-verdi Funksjonsuttrykk Forenklet uttrykk Y-verdi
1 3
2 9
3 27
4 81
matematikkstubbDenne matematikkrelaterte artikkelen er foreløpig kort eller mangelfull, og du kan hjelpe Wikipedia ved å utvide den. (Se stilmanual)