Kropp (matematikk)

Områder i algebra

Abstrakt algebra

Grupper Ringer Kropper

Algebraisk geometri

Elementær algebra

Ligninger Funksjoner

Kombinatorikk

Lineær algebra

Vektorrom Matriser

Tallære

I matematikken betegner en kropp (på engelsk field) en mengde av «tall» hvor man kan utføre operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon.

Definisjon

En kropp er en mengde K med to operasjoner: Addisjon + : K x K → K og multiplikasjon · : K x K → K. Notasjonsmessig skriver man ofte ab i stedet for a·b. Disse to operasjonene tilfredsstiller

Kommutativitet	α + β = β + α og αβ = βα for alle α, β ∈ K
Assosiativitet	α + (β + γ) = (α + β) + γ og α(βγ) = (αβ)γ' for alle α, β, γ ∈ K
Identiteter	Det finnes elementer 0, 1 ∈ K, 0 ≠ 1, slik at 0 + α = α og 1α = α for alle α ∈ K
Invers	For hvert element α ∈ K finnes det et element (-α) ∈ K slik at α + (-α) = 0. For alle β ≠ 0 ∈ K, finnes det et element β-1 ∈ K slik at β β-1 = 1.
Distributivitet	α(β + γ) = αβ + αγ for alle α, β, γ ∈ K

Med andre ord, en kropp er en kommutativ ring der alle elementene er inverterbare.

Eksempler

• De rasjonale tallene $\mathbb {Q}$$\mathbb {Q}$, de reelle tallene $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ og de komplekse tallene $\mathbb {C}$$\mathbb {C}$ er kropper.
• De hele tallene $\mathbb {Z}$$\mathbb {Z}$ er ikke en kropp siden ingen tall unntatt -1 og 1 har en invers.
• For hvert primtall $p$$p$ er heltallene modulo $p$$p$ en kropp $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\{0,1,2,\ldots ,p-1\}$$\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\{0,1,2,\ldots ,p-1\}$. Dette er en endelig kropp.
• For hvert primtall $p$$p$ gir $p$$p$-adisk komplettering av de rasjonale tallene kroppen $\mathbb {Q} _{p}$$\mathbb {Q} _{p}$ av $p$$p$-adiske tall.