Kropp (matematikk)

Områder i algebra

Abstrakt algebra

Grupper Ringer Kropper

Algebraisk geometri

Elementær algebra

Ligninger Funksjoner

Kombinatorikk

Lineær algebra

Vektorrom Matriser

Tallære

Kropp er i matematikk en mengde elementer der det er definert operasjoner addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon, og der disse operasjonene oppfører seg tilsvarende som for de rasjonale tallene. En kropp er en fundamental algebraisk struktur med mange anvendelser i algebra, tallteori og andre deler av matematikk.

De vanligste kroppene er mengden av rasjonale tall $\mathbb {Q}$, mengden av reelle tall $\mathbb {R}$ og mengden av komplekse tall $\mathbb {C}$.

Det finnes flere typer kropper. En endelig kropp, også kalt en Galois-kropp, er en kropp med et endelig antall elementer.

En tallkropp kan defineres både som en kropp av tall og som en algebraisk utvidelse av mengden av rasjonale tall. Med den første definisjonen er $\mathbb {R}$ en tallkropp, med ikke med den andre definisjonen.

Definisjon

En kropp kan defineres på flere alternative, ekvivalente måter. Generelt innebærer definisjonene en abstrahering av egenskaper til mengden av rasjonale tall.

En vanlig definisjon er at en kropp er en mengde $K$ der det er definert to binære operasjoner addisjon og multiplikasjon, som sammen oppfyller de følgende kroppsaksiomene for alle elementer $a,b$ og $c$ i $K$:

• Addisjon og multiplikasjon er assosiative:

${\begin{alignedat}{2}a+(b+c)&=(a+b)+c\\a\cdot (b\cdot c)&=(a\cdot b)\cdot c\end{alignedat}}$

• Addisjon og multiplikasjon er kommutative:

${\begin{alignedat}{2}a+b&=b+a\\a\cdot b&=b\cdot a\end{alignedat}}$

• Det eksisterer et enhetselement for både addisjon og multiplikasjon:

${\begin{alignedat}{2}a+0&=a\\a\cdot 1&=a\end{alignedat}}$

• Det eksisterer inverse elementer både for addisjon og multiplikasjon:

${\begin{alignedat}{2}a+(-a)&=0\\a\cdot a^{-1}&=1\end{alignedat}}$

• Addisjon og multiplikasjon oppfyller en distributiv lov:

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

Samlet gjør aksiomene kroppen til en kommutativ ring $(K,+,\cdot )$, der enhetselementene 0 og 1 er ulike og der alle ikke-null elementer er invertible under multiplikasjon.

Kroppen er også en abelsk gruppe under addisjon.

Eksempler

De rasjonale tallene $\mathbb {Q}$, de reelle tallene $\mathbb {R}$ og de komplekse tallene $\mathbb {C}$ er kropper.

For hvert primtall $p$ er heltallene modulo $p$ en kropp $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\{0,1,2,\ldots ,p-1\}$. Dette er en endelig kropp.

For hvert primtall $p$ gir $p$-adisk komplettering av de rasjonale tallene kroppen $\mathbb {Q} _{p}$ av p-adiske tall.

De hele tallene $\mathbb {Z}$ er ikke en kropp, siden disse tallene generelt ikke har en multiplikativ invers.

En kropp inngår som en viktig del av definisjonen av et vektorrom.

Kroppsutvidelser

En kropp $K$ er en utvidelse av en annen kropp $L$ dersom $L\subseteq K$.^{[trenger referanse]} En slik utvidelse skrives $K/L$ og leses «K over L». Utvidelsen gjør $K$ til et vektorrom over $L$.

Dimensjonen til dette vektorrommet kalles graden til utvidelsen og skrives $\lbrack K:L\rbrack$. Utvidelsen fra $\mathbb {R}$ til $\mathbb {C}$

En algebraisk kroppsutvidelse av en (algebraisk) tallkropp er en utvidelse der også tallene i $K$ er algebraiske.

Endelige kropper

En endelig kropp er en kropp med et endelig antall elementer.

Tallkropper

En tallkropp kan defineres som en kropp der elementene er tall, rasjonale, reelle eller komplekse.

Alternativ brukes begrepet også synonymt med en algebraisk tallkropp, det vil si en vilkårlig algebraisk utvidelse av mengden av de rasjonale tallene.

Med den første definisjonen er $\mathbb {R}$ en tallkropp. Med den andre definisjonen er denne mengden ikke en tallkropp, siden $\mathbb {R}$ også inneholder transcendentale tall.

Se også

• Struktur (matematikk)