Proporsjonalitet

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

I matematikk er proporsjonalitet når to størrelser varierer slik at forholdet mellom størrelsene er konstant.

Definisjon[rediger | rediger kilde]

Når y og x er proporsjonale størrelser, kan vi skrive

y=k \cdot x\,

Der k er proporsjonalitetsfaktoren.

Man kan videre finne k slik

k=y/x\,

Eksempler[rediger | rediger kilde]

  • Praktisk kan vi si at to størrelser er proporsjonale om en dobling av den ene størrelsen fører til en dobling av den andre størrelsen.
  • Om du kjører med konstant fart, er distansen du tilbakelegger, proporsjonal med tiden du bruker. Det ser vi av formelen for konstant fart s=v*t, hvor farten v er proporsjonalitetsfaktoren.
  • Omkretsen av en sirkel er proporsjonal med radius i sirkelen, og 2*\pi er proporsjonalitetsfaktoren etter formelen O=2*\pi*r.
  • Kraften man må bruke for å løfte et legeme fra bakken, er proporsjonal med massen av legemet, hvor tyngdeakselerasjonen (9,81m/s^2) er proporsjonalitetsfaktoren.

Egenskaper[rediger | rediger kilde]

Siden

y=k \cdot x\,

er også

x=(1/k) \cdot y\,

Dette betyr at om y er proporsjonal med x med proporsjonalitetsfaktor k, så er x proporsjonal med y med proporsjonalitetsfaktor 1/k.

Om y er proporsjonal med x, vil grafen med y som funksjon av x være en rett linje, og den vil gå gjennom origo. Stigningstallet vil være lik proporsjonalitetsfaktoren.

Omvendt proporsjonalitet[rediger | rediger kilde]

To størrelser er omvendt proporsjonale om den ene variablen er proporsjonal med den inverse av den andre, eller sagt på en annen måte: produktet av variablene er konstant. Når to størrelser x og y er omvendt proporsjonale, kan vi skrive

y=k/x\,

Hvor k er forskjellig fra null. Det vil si at om den ene variablen dobles, vil den andre halveres, slik at produktet av dem alltid er konstant.

Eksempelvis er tiden det tar å kjøre en distanse omvendt proporsjonal med farten man reiser med.

Uttrykt grafisk vil en graf med to variable som varierer inverst, bli en hyperbel-linje. Produktet av x- og y-verdiene vil alltid være lik proporsjonalitetsfaktoren k. Av dette følger at siden k ikke kan være null, vil grafen heller ikke krysse noen av aksene.