Vektorrom

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon i planet: En vektor v (blå) er addert til en annen vektor w (rød, øvre figur). I figuren under er w strukket med en faktor 2, slik at summen blir v + 2w.

Et vektorrom eller et lineært rom er i matematikk en struktur med en mengde av elementer kalt vektorer og en tilhørende mengde av skalarer, sammen med operasjoner som gjør at vektorene kan skaleres og adderes. Operasjonene er ikke definert eksplisitt, men gjennom et sett av aksiomer som beskriver egenskaper til operasjonene. Skalarene er vanligvis reelle eller komplekse tall, men kan mer generelt være elementer i en kropp. Vektorrom er basert på en abstraksjon av egenskaper fra geometri, og gjør at vektoregenskapene kan generaliseres til høyere dimensjoner og mange typer elementer. Mange viktige matematiske resultater kan utledes for samtlige vektorrom ved å basere utledningen kun på de definerte aksiomene.

Fra plangeometri og romlig geometri er det kjent at to geometriske vektorer kan skaleres og adderes, slik som vist i planet på figuren til høyre. Vektorrommet har to operasjoner, kalt vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon, som generaliserer egenskapene til romlige vektorer. Elementene i et vektorrom kan adderes og skaleres, og resultatet vil også være inneholdt i vektorrommet. Denne egenskapene omtales som at rommet er lukket under vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon. Linearitetsegenskapene til vektoraddisjonen er også svært viktige, og vektorrom er sentrale i studiet av lineær algebra og i funksjonalanalyse.

Ut fra definisjonen av vektorrom kan ett og samme matematiske resultat vise seg å være gyldig for tilsynelatende ulike objekter som funksjoner og matriser, fordi begge disse typene objekter er elementer av vektorrom. Vektorrom er dermed en abstraksjon som gjør en i stand til å studere mange ulike matematiske objekter ut fra et sett av felles egenskaper.

Et vektorrom inneholder generelt ingen definisjon av nærhet, lengde eller vinkel, og vektorrommet kan dermed brukes til å studere egenskaper som ikke avhenger disse begrepene. Det er imidlertid mulig å utvide definisjonen av vektorrom til også å inneholde et lengdemål, kalt en norm, og et vinkelmål, kalt et indreprodukt.

Dimensjonen til et vektorrom er løst sagt lik antall uavhengige «retninger» i rommet. Dimensjonen kan være endelig eller uendelig. Dimensjonen er lik antall basisvektorer i rommet. For eksempel vil mengden av alle vektorer med tre reelle koordinater (x,y,z) kunne defineres som et tredimensjonalt vektorrom, med en passende definisjon av addisjon og skalarmultiplikasjon. Mengden av alle kontinuerlige funksjoner kan defineres som et uendeligdimensjonalt vektorrom.

Formell definisjon[rediger | rediger kilde]

Et vektorrom er en mengde V av vektorer sammen med en tilhørende kropp K med skalarer.[1][2] I vektorrommet er det definert to operasjoner kalt vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon, slik at for alle vektorer u og v og skalarer a og b, så er også lineærkombinasjonen (au + bv) et element i V. For vektoraddisjonen gjelder de følgende aksiomene:

Kommutativitet u + v = v + u for alle u, vV
Assosiativitet u + (v + w) = (u + v) + w for alle u, v, wV
Nullelement Det finnes et element 0V (kalt nullelement, enhetselement eller identitetselement) som tilfredsstiller u + 0 = u for alle uV
Invers For hvert element uV finnes det et element (-u) ∈ V slik at u + (-u) = 0

For skalarmultiplikasjonen gjelder følgende aksiomer:

Distributivitet 1 α (u + v) = α u + α v for alle αK og u, vV
Distributivitet 2 (α + β) u = α u + β u for alle α, βK og uV.
Multiplikasjon α(β u) = (αβ) u for alle α, βK og uV.
Enhetselement 1 u = u for alle uV.

Aksiomet kalt Multiplikasjon gir en sammenheng mellom skalarmultiplikasjon og multiplikasjon i K, og dette må ikke forveksles med assosiativitet.

Notasjon[rediger | rediger kilde]

Vektorer skrives ofte i fet skrift, slik som vist over. Dersom typen objekt går fram av sammenhengen vil en ofte skrive både skalarer og vektorer med same typesetting, som i skalarproduktet (ku). I håndskrift brukes ofte en strek under eller over bokstaven for å markere en vektor. Formen der en vektor skrives som en bokstav med pil over \vec v er kanskje mest vanlig i fysikk.

Vanlig addisjonssymbol brukes både for vektoraddisjon og addisjonen av skalarer, selv om dette er to ulike operasjoner, definert i to forskjellige mengder. For likhet mellom vektorer brukes i dag det vanlige likhetstegnet = , men historisk har en rekke ulike symboler vært brukt, blant annet #, \equiv og \bumpeq.[3]

Et vektorrom V med en mengde skalarer K uttrykkes gjerne i kortform som vektorrommet «V over K». Skalarene er vanligvis reelle eller komplekse tall. Et vektorrom med reelle skalarer kalles et reelt vektorrom. Likedan har et komplekst vektorrom komplekse skalarer og et rasjonalt vektromrom har rasjonale tall. Dersom en ønsker å presisere at skalarobjektene er i en kropp K, kan en bruke skriveformen K-vektorrom.

Grunnleggende egenskaper[rediger | rediger kilde]

Definisjonen av vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon medfører at rommet er lukket med hensyn på disse operasjonene.

Subtraksjon av to vektorer defineres umiddelbart fra vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon, ved

\mathbf{u}-\mathbf{v}=\mathbf{u} + (-1)\mathbf{v} \,

Et vektorrom er en abelsk gruppe med hensyn på vektoraddisjon. I en slik gruppe er den definerte operasjonen kommutativ.

Det første distributivitetsaksiomet betyr at multiplikasjon med elementer i kroppen K opererer som en gruppeendomorfi, og de resterende aksiomene impliserer at kroppstrukturen til K og ringstrukturen til endomorfisme-ringen End(V) er kompatible.[Trenger forklaring og referanse]

Alternative definisjoner[rediger | rediger kilde]

I litteraturen blir definisjonen av vektorrom presentert på flere ulike måter, der grunnleggende konsekvenser blir tatt som forutsetninger, og omvendt. For eksempel kan operasjonene i K presiseres med aksiomer, med egenskapen at disse utgjør en kropp som en avledet konsekvens.[Trenger referanse]

Aksiomene for vektoraddisjon om eksistens av nullelement og av invers kan erstattes av ett enkelt aksiom:[4] For alle vektorer u og v i mengden eksisterer det en entydig bestemt vektor w slik at u + w = v. Dette aksiomet inneholder de to andre som spesialtilfeller.

Med terminologi fra abstrakt algebra kan vektorrom defineres som en matematisk struktur sammensatt av en abelsk gruppe V, en kropp K og en ringhomomorfi K → End(V). Gitt en skalarmultiplikasjon som over, så eksisterer det en ringhomomorfi ξ : K→ End(V) gitt ved ξ(α)(u) := αu. En ringhomomorfi ξ : K→ End(V) definerer en skalarmultiplikasjon ved αu := ξ(α)(u).

Eksempler og moteksempler[rediger | rediger kilde]

Koordinatrom[rediger | rediger kilde]

Et koordinatrom er et endeligdimensjonalt vektorrom der vektorene er n-tupler eller koordinatvektorer på formen (u1,u2,... ,un). Addisjon er definert ved å summere koordinat for koordinat:

(u_1,u_2,\ldots,u_n)+(v_1,v_2,\ldots,v_n)=(u_1+v_1,u_2+v_2,\ldots,u_n+v_n) \, .

Skalarmultiplikasjon er definert ved å multiplisere hver koordinat med skalaren:

k(u_1,u_2,\ldots,u_n)=(ku_1,ku_2,\ldots,ku_n).

Koordinatrom kan være definert både som reelle eller komplekse rom. I det enkleste tilfellet har en bare én koordinat, slik at kroppen K er et vektorrom over seg selv. Mengden av reelle tall R og mengden av komplekse tall C er begge slike vektorrom.

Matriser[rediger | rediger kilde]

Mengden av alle (n × m)-matriser utgjør et vektorrom ved å bruke definisjonen av matriseoperasjonene addisjon og skalarmultiplikasjon. Dimensjonen til vektorrommet er lik produktet nm.

Nullvektorrommet[rediger | rediger kilde]

Nullvektorrommet er et vektorrom som består av bare ett element, kalt 0, sammen med operasjonene

\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}
k\mathbf{0}=\mathbf{0}.

Dimensjonen til vektorrommet er lik 0.

Kontinuerlige funksjoner[rediger | rediger kilde]

Vektorrommet C1 er definert som mengden av alle kontinuerlige reelle funksjoner definert på hele R. Vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon er definert som

(f+g)(x)=f(x)+g(x)\,
(\alpha f)(x)=\alpha f(x)\, .

Dette vektorrommet har uendelig dimensjon.

Polynom[rediger | rediger kilde]

Mengden Pn av polynom av grad mindre eller lik (n-1), definert på et lukket intervall [a,b], er et vektorrom med dimensjon n. Et element i dette vektorrommet kan skrives på formen

p(x) = a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 \qquad  x \in [a,b]\,

Vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon er definert som i det forrige eksempelet.

Naturlige tall[rediger | rediger kilde]

Mengden av naturlige tall er ikke et vektorrom, da mengden ikke inneholde inverselement. Alle naturlige tall er positive.

Lineær uavhengighet[rediger | rediger kilde]

Utdypende artikkel Lineær uavhengighet

En mengde av vektorer er lineært uavhengige dersom det ikke er mulig å uttrykke en vilkårlig vektor i mengden som en lineærkombinasjon av de andre. Dersom vi er en vektor i mengden kan en alternativt uttrykke dette som at ligningen

\alpha_1 \mathbf{v}_1 + \alpha_2 \mathbf{v}_2 + \cdots  \alpha_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}

medfører at alle skalarverdiene αi er lik null.

Basis og dimensjon[rediger | rediger kilde]

Utdypende artikkel: Basis (matematikk)

En mengde av lineært uavhengige vektorer i et vektorrom er en algebraisk basis eller en Hamelbasis for vektorrommet, dersom en vilkårlig vektor i rommet kan uttrykkes som en lineærkombinasjon av disse.[5][6][7] Ofte brukes bare kortversjonen basis.

Dersom et endeligdimensjonalt vektorrom har basisvektorene e1, e2, .... en, så kan en vilkårlig vektor v i rommet skrives på formen

\mathbf{v} = 
v_1 \mathbf{e}_1 + v_2 \mathbf{e}_2 + \cdots  v_n \mathbf{e}_n,  \,

der v1, v2,... vn er et sett av skalarer. Disse skalarene kalles koordinatene til vektoren v med hensyn på den valgte basisen.[8]

En snevrere definisjon av begrepet «Hamelbasis» er også i bruk, da definert som en basis i det rasjonale vektorrommet R.[6]

Det vil alltid eksistere mange alternative basiser for et vektorrom. Dersom antallet vektorer i en basis er endelig, så vil alle alternative basiser ha samme antall vektorer, og antallet vektorer i en basis kalles dimensjonen til rommet.

Vektorene (1,0,0), (0,1,0) og (0,0,1) er en basis for vektorrommet R3. Dimensjonen i rommet er tre. Denne basisen kalles ofte standardbasisen for R3.

Underrom og undermengder[rediger | rediger kilde]

I et vektorrom kan en definere en rekke undermengder eller delmengder:

Underrom[rediger | rediger kilde]

Et underrom er et vektorrom som er en delmengde av et annet vektorrom, og der operasjonene vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon er felles. En nødvendig forutsetning for at en mengde W skal være et underrom av et vektorrom V er at W inneholder nullelementet i V. I tillegg må W være lukket under vektoraddisjonen og skalarmultiplikasjonen.

Alle underrom vil ha minst to underrom, nemmelig nullvektorrommet og vektorrommet selv. Alle andre underrom enn disse to kalles ekte underrom.

I vektorrommet R3 vil ethvert plan gjennom origo være et underrom. Vektorer i planet kan skaleres og adderes, men vil fortsatt ligge i planet.

Definerer en vektorrommet Pn som mengden av alle polynom av grad mindre eller lik n-1, så vil Pi være et underrom av Pj når i < j.

For en lineær transformasjon T(x) mellom to vektorrom V og W vil nullrommet til transformasjonen være et underrom i V. Nullrommet er mengden av alle vektorer i V som avbildes inn på nullelementet i W. Dette må ikke forveksles med nullvektorrommet.

Konvekse mengder[rediger | rediger kilde]

I en konveks mengde i et reelt vektorrom er enhver vektor på linjesegmentet mellom to vektorer i mengden også inneholdt i mengden.[9] Dersom u og v er to vektorer i mengden S, så er S er konveks dersom

a \mathbf{u} + (1-a)\mathbf{v} \in S \qquad \forall a \in [0,1]

Ethvert underrom er konveks, men en konveks mengde trenger ikke være et vektorrom. Mengden av alle vektorer i R3 med positive koordinater er konveks, men er ikke et vektorrom.

Kjegler[rediger | rediger kilde]

En kjegle i et vektorrom er en undermengde S som har egenskapen at dersom vektoren u ligger i S, så ligger også skalarproduktet ku i S for all k ≥ 0. En kjegle som også er en konveks mengde kalles en konveks kjegle.[10][7]

Affine underrom[rediger | rediger kilde]

La W være et underrom av vektorrommet V og la v0 være en vektor i V. Mengden av vektorer

A = \lbrace \mathbf{u} = \mathbf{v}_0 + \mathbf{w} | \mathbf{w} \in W \rbrace \,

er da et affint underrom i V.[11] Begrepene affin manifold og lineær manifold blir også brukt.[7] Et affint underrom vil generelt ikke være et vektorrom, da det ikke inneholder nullelement.

Planet { (x,y,z) | x + y + z = 3 } er et eksempel på et affint underrom i R3. Det følger definisjonen over ved å velge v0 = (1,1,1) og W = { (x,y,z) | x + y + z = 0 }. I dette tilfellet er det affine underrommet ikke et vektorrom.

Isomorfe vektorrom[rediger | rediger kilde]

To vektorrom er isomorfe dersom det eksisterer en bijektiv lineær transformasjon mellom de to vektorrommene.[12] To isomorfe vektorrom har samme struktur: Elementene i de to vektorrommene kan være forskjellige, men egenskapene til vektorrommene er ellers like.

Reelle endeligdimensjonale vektorrom er isomorfe dersom de har samme dimensjon. Det vil si at alle n-dimensjonale reelle vektorrom er isomorfe med Rn. Tilsvarende gjelder for komplekse vektorrom. For eksempel vil vektorrommet Rn være isomorft med vektorrommet av polynom Pn.

Vektorrommet av komplekse tall C = { x + iy } er isomorft med mengden av reelle ordnede par (x,y). Vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon er de samme i de to rommene.

Vektorrom med tilleggsstruktur[rediger | rediger kilde]

Normerte vektorrom[rediger | rediger kilde]

Vektorrom som er definert med en norm kalles et normert vektorrom. Normen er et lengdemål for vektorer, som gjør at det er mulig å snakke om lengder og avstander i vektorrommet. Normen innfører både en metrikk og en topologi i vektorrommet. Med et definert avstandsmål er det også mulig å introdusere begreper som kontinuitet og konvergens i rommet.

Et normert vektorrom er komplett dersom en hver Cauchyfølge av vektorer har en grenseverdi som også er en vektor i rommet. Et komplett normert vektorrom kalles et Banachrom, oppkalt etter den polske matematikeren Stefan Banach (1892-1945).

Indreproduktrom[rediger | rediger kilde]

Et indreproduktrom er et vektorrom definert med et indreprodukt. Til hvert par av vektorer (u,v) vil indreprodukt definerer en tilhørende skalarverdi, og dette gjør det mulig å generalisere vinkelegenskaper slik de er kjente fra romlig geometri. To vektorer defineres som ortogonale dersom indreproduktet mellom dem er lik null.

Fra indreproduktet følger det en naturlig definert norm, slik at indreproduktrom også er normerte vektorrom. Et komplett indreproduktrom kalles et Hilbertrom, oppkalt etter en tysk matematiker David Hilbert (1862-1943). Fra definisjonen følger det umiddelbart at alle Hilbertrom også er Bannachrom. Dersom indreproduktrommet ikke er komplett kalles det et pre-Hilbertrom.

Et Euklidsk vektorrom er et reelt vektorrom der det er definert et spesielt indreprodukt, det såkalte Euklidske indreproduktet.[13] Et n-dimensjonalt Euklidske vektorrom er isomorf med Rn.

Generalisering[rediger | rediger kilde]

En modul er en matematisk struktur der vektoraddisjonen og skalarmultiplikasjonen oppfyller samme aksiomer som i et vektorrom, men der skalarene er elementer i en ring.[14] Siden enhver kropp er en ring, så vil ethvert vektorrom være en modul. Det eksisterer imidlertid moduler som ikke er vektorrom.

Historie[rediger | rediger kilde]

Teori for vektorrom vokste ut fra studiet av analytisk geometri og introduksjonen av koordinater i planet og det tredimensjonale rommet. Den franske matematikeren René Descartes (1596-1650) regnes som opphavsmannen til analytisk geometri, sammen med landsmannen Pierre de Fermat (1601-1665). I 1636 publiserte Descartes verket La Geométrie, der han drøfter koblingen mellom geometri og algebra. Fermat sirkulerte samme år et manuskript som også drøfter emner i analytisk geometri, men dette manuskriptet ble først publisert etter Fermats død.

Den analytiske geometrien ble generaliserte til høyere dimensjoner av engelskmannen Arthur Caley (1821-1895). Ved hjelp av determinanter generaliserte han ligninger for linjer og plan til n dimensjoner.

Ett år etter at Caley hadde publisert det første arbeidet på geometri i høyere dimensjon, i 1844, ga den tyske matematikeren Hermann Grassmann (1809-1877) ut verket Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, der han forsøker å bygge en vektoranalyse for høyere dimensjoner. Grassmann hevdet at når geometri var gitt en algebraisk form, så er det ikke noe spesielt ved det tredimensjonale rommet, sammenlignet med et vilkårlig n-dimensjonalt rom. Antall dimensjoner kan også være uendelig. Arbeidet til Grassmann møtte imidlertid ikke særlig forståelse i samtiden.

Den første formuleringen av aksiomene for et vektorrom ble gitt av italieneren Giuseppe Peano (1858-1932), som i 1888 i prinsippet definerte et reelt vektorrom.[15]

David Hilbert (1862-1943) var professor i matematikk i Göttingen og arbeidet mye med å gjøre matematikk aksiomatisk, det vil si bygge opp teori fra et grunnleggende sett av aksiomer. Under arbeid med differensial- og intergralligninger rundt 1909 innførte han begrepet «Euklidsk rom» for det som senere ble omdøpt til Hilbertrom. Ytterligere formalisering av vektorrom ble innført av Stefan Banach (1892-1945), en av grunnleggerne av moderne funksjonalanalyse.

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ P.R.Hamos, 1974, s.19
  2. ^ R.D.Milne, 1980, s.18
  3. ^ Florian Cajori (2007). A history of mathematical notations, bind 2, s. 131. Cosimo Classics, New York. ISBN 978-1-60206-713-4.
  4. ^ T.L.Saaty, 1981, s.8
  5. ^ R.D.Milne, 1980, s.30
  6. ^ a b E.J.Borowski, J.M.Borwein, 1989, Hamel basis, s.257
  7. ^ a b c T.L.Saaty, 1981, s.10
  8. ^ Fr. Fabricius-Bjerre, 1977, s.152
  9. ^ R.D.Milne, 1980, s.26
  10. ^ R.D.Milne, 1980, s.27
  11. ^ Fr. Fabricius-Bjerre, 1977, s.211
  12. ^ R.D.Milne, 1980, s.48
  13. ^ E.J.Borowski, J.M.Borwein, 1989, Euclidean space, s.200
  14. ^ mathworld.wolfram.com Module (Engelsk). Besøkt 22. november 2012
  15. ^ Carl B. Boyer, 1968, s.659

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • P.R.Halmos (1974). Finite-dimensional vector spaces. Springer, Heidelberg. ISBN 0-387-90093-4.
  • Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. Pitman Publishing Limited, London. ISBN 0-273-08404-6.
  • Fr. Fabricius-Bjerre (1949, 1969, 1977). Lærebog i geometri. Del 1: Analytisk geometri. Lineær algebra.. Polyteknisk forlag, Lyngby. ISBN 87-502-0440-8.
  • E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Collins, Glasgow. ISBN 0-00-434347-6.
  • Thomas L. Saaty (1967,1981). Moder nonlinear equations.. Dover Publications, New York. ISBN 0-486-64232-1.
  • C.B.Boyer (1968). A history of mathematics. John Wiley & Sons, Inc, Princeton, USA. ISBN 0-691-02391-3.