Norm (matematikk)

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

En norm er i matematikk en funksjon som tilordner en lengde til enhver vektor i et vektorrom. Lengden er en reell skalar og vil være positiv for alle vektorer, bortsett fra for nullvektoren, som har lengde lik null.

Et vektorrom er en spesiell type metrisk rom, der en i tillegg til avstandsmålet i et metrisk rom også har formalisert begrepet lengde av individuelle elementer i rommet. I og med at normen introduserer et avstandsmål i rommet, vil normen også introdusere en topologi i rommet.

Et vektorrom der det er definert en norm kalles et normert rom eller et normert vektorrom. Et gitt vektorrom kan være utgangspunkt for en rekke forskjellige normerte rom, alt etter hvilken norm som defineres i rommet.

Dersom alle Cauchyfølger i rommet konvergerer mot en grense som også ligger i rommet sies vektorrommet å være komplett. Et komplett normert vektorrom kalles et Banachrom.

Formell definisjon[rediger | rediger kilde]

En norm definert i et vektorrom V er en funksjon f: VR+, der R+ er mengden av reelle ikke-negative tall. For alle vektorer x og y i vektrorrommet og for alle skalarer \alpha skal funksjonen oppfylle de følgende egenskapene:

f(x) \ge 0
f(x) = 0   \iff  x = 0
f(\alpha x)=|\alpha| f(x) \,
f(x + y) \le f(x)+ f(y)

Den siste ulikheten kalles trekantulikheten.

Normen til en vektor x skrives vanligvis ||x|| istedenfor funksjonforma f(x).

Egenskaper[rediger | rediger kilde]

En vilkårlig norm vil alltid oppfylle relasjonen

||x-y|| \ge | \; ||x|| - ||y||\; | \,

To normer || ||1 og || ||2 definert i samme vektorrom sies å være ekvivalente dersom det eksisterer konstanter m og M slik at

m||x||_2 \le ||x||_1 \le M ||x||_2 \,

Den euklidske normen[rediger | rediger kilde]

En velkjent norm for vektorrommene R2 og R3 er den såkalte euklidske normen. Definisjonen av denne normen samsvarer med det man normalt vil forbinde med lengden av en vektor eller et linjestykke.

For en vektor v = (x, y) i planet R2 er den euklidske normen definert ved

||v|| = \sqrt{x^2 + y^2}.

For en vektor v = (x, y, z) i det tre-dimensjonale rommet R3 er den euklidske normen definert ved

||v|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.

Mer generelt kan en definere en euklidsk norm som en norm avledet fra et indreprodukt:

||v|| = <v,v>^{1/2} \, .

Det euklidske rommet er utstyrt med en euklidsk norm, sammen med et indreprodukt.

p-normer i koordinatrom[rediger | rediger kilde]

Enhetssirkler i R² mht. forskjellige normer.

For vektorrommet Rk, der k er et vilkårlig positivt heltall, vil en vektor kunne skrives på forma

x = (x_1, x_2, ....., x_k)  \, ,

der xi er koordinatene i rommet. For et slikt koordinatrom kan en definere en familie av normer kalt p-normer eller også Hölder-normer:

||x||_p = \sqrt[p]{\sum_{i=1}^k |x_i|^p}    \qquad  p \ge 1 .

Den euklidske normen er identisk med 2-normen. Den følgende normen regnes som et spesilatilfelle i familien, ved å la p gå mot uendelig:

||x||_\infty = \max\{x_i\,|\,1\leq i\leq k\}

Figuren til høyre viser området i R2 definert av enhetssirkelen ||x||n < 1 for ulike verdier av n.

Trekantulikheten for disse normene er et spesialtilfelle av Minkowskis ulikhet:

\left( \sum_{i=1}^k |x_i + y_i|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{i=1}^k |x_i|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{i=1}^k |y_i|^p \right)^{1/p}

p-normer i funksjonsrom[rediger | rediger kilde]

Vektorrommet av funksjoner f (t ) definert på intervallet mellom 0 og 1, og med egenskapen

\int_0^1 | f(t) |^p dt < \infty  \qquad 1 \le p <  \infty

kan utstyres med normen

|| f(t) ||_p = \left [ \int_0^1 | f(t) |^p dt \right ]^{1/p}

Det normerte rommet som defineres på denne måten betegnes ofte med Lp[0,1].

Normen til en lineær transformasjon[rediger | rediger kilde]

En lineær transformasjon fra et normert vektorrom V inn i et normert vektorrom U sies å være begrenset dersom det eksisterer konstanter K slik at

||Tv|| \le K ||v|| \,

Den minste verdien for K definerer en norm for operatoren T. Fra definisjonen følger det at

||Tv|| \le ||T|| \ ||v|| \, .

Formelt kan begge de to følgende ekvivalente definisjonene brukes for normen:

||T|| = \sup_{v \ne 0} \frac{|| Tv|| }{||v||} \qquad \qquad  ||T|| = \sup_{||v|| = 1} || Tv||

Matrisenormer[rediger | rediger kilde]

Siden en matrise representerer en linær transformasjon mellom endelig-dimensjonale rom, gjelder definisjonen av en norm for generelle lineære transformasjoner også for en matrise. Basert på denne generelle definisjonen kan en lage en rekke ulike normer for matriser, og noen av disse opptrer under flere alternative navn. Et velkjent eksempel er 2-normen, også kalt euklidsk norm, Froebenius-norm, Hilbert-Schmidt-norm og Schur-norm:

||A||_2 = \sqrt{tr(A^H A)} \,

Se også[rediger | rediger kilde]