Distributiv lov

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

En distributiv lov er i matematikk et teorem eller et aksiom som sier at en gitt binær operasjon A i en mengde M er distributiv med hensyn på en annen binær operasjon B. Dette er tilfelle dersom de to operasjonene oppfyller relasjonen

  u A (v B w) = (u A v) B (u A w).  \,

for all u, v og w i mengden M.[1]

I mengden av reelle tall er multiplikasjon distributiv med hensyn på addisjon:

3 \times (7 + 4) = (3 \times 7) + (3 \times 4). \,

En distributive lov gir en relasjon mellom to operasjonene når de opptrer sammen i et matematisk uttrykk. Relasjonen blir ofte postulert i aksiomer som definerer operasjonene. Dette gjelder for eksempel for kroppsaksiomene for addisjon og multiplikasjon av reelle tall.[2]

En algebraisk struktur er distributiv dersom den har to binære operasjoner som oppfyller en distributiv lov.

Formell definisjon[rediger | rediger kilde]

Gitt en mengde S og to binære operasjoner \otimes og \oplus.

Operasjonen \otimes er venstresidig distributiv med hensyn på \oplus dersom

x \otimes (y \oplus z) = (x \otimes y) \oplus (x \otimes z) \qquad \mbox{for alle } x,y,z \in S.

Operasjonen \otimes er høyresidig distributiv med hensyn på \oplus dersom

(y \oplus z) \otimes x = (y \otimes x) \oplus (z \otimes x) \qquad \mbox{for alle } x,y,z \in S.

Operasjonen \otimes er distributiv med hensyn på \oplus dersom den er både venstresidig og høyresidig distributiv. Egenskapen kan også uttrykkes som at \otimes distribuerer over \oplus.

Eksempler[rediger | rediger kilde]

  • I mengden av reelle og komplekse tall er multiplikasjon distributiv med hensyn addisjon og subtraksjon. Det motsatte er ikke tilfelle.
  • I mengden av reelle tall er maksimumsoperasjonen distributiv over minimumsoperasjonen - og også omvendt:
max(a,min(b,c)) = min( max(a,b),max(a,c) ) \,
min(a,max(b,c)) = max( min(a,b),min(a,c) ) \,
  • I mengden av reelle tall er addisjon distributiv over både maksimum- og minimumsoperasjonen:
a + max(b,c)) = max(a + b,a + c) \,
a + min(b,c)) = min(a + b,a + c) \,

\left.
\begin{matrix}
A\cap ( B\cup C) = (A\cap B) \cup ( A \cap C )
\\
A\cup ( B\cap C ) = (A\cup B) \cap ( A \cup C)
\end{matrix}
\quad \right\}\mbox{for alle mengder }A,B,C.

\left.
\begin{matrix}
(\mathbf{u} \times \mathbf{v} ) \times \mathbf{w}  
\neq \mathbf{u} \times ( \mathbf{v} \times \mathbf{w} )  
\end{matrix}
\right \} \mbox{for alle } \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbf{R}

Distributivitet i matematiske strukturer[rediger | rediger kilde]

  • I en kropp er både multiplikasjonen distributiv med hensyn på addisjonen. Det samme gjelder for en ring.
  • I en algebra er produktet distributivt med hensyn på vektoraddisjonen.
  • I et vektorrom er skalarmultiplikasjon distributiv med hensyn på vektoraddisjon.

Se også[rediger | rediger kilde]

Referanser[rediger | rediger kilde]

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. ISBN 0-00-434347-6. 
  • Walter Rudin (1953, 1964, 1976). Principles of mathematical analysis. Singapore: McGraw-Hill International Book Co. ISBN 0-07-085613-3.