Metrisk rom

Et metrisk rom i matematikk er en mengde der det er definert en metrikk eller et avstandsmål mellom to vilkårlige elementer i mengden.

Et metrisk rom har en struktur kun bygd opp omkring avstanden mellom to objekter, og definisjonen gjør det mulig å studere matematiske sammenhenger basert på de formelle egenskaper til avstandsmålet. Et matematisk resultat der beviset bygger ene og alene på de generelle egenskapene til en metrikk, vil være gyldig i alle metriske rom.

Formell definisjon

Et metrisk rom (V,d) er en mengde V der det er definert en metrikk d, det vil si en funksjon som for to elementer i mengden returnerer et ikke-negativ reelt tall:

$d : V \times V \to \mathbb{R}^+$

Funksjonen må oppfylle følgende krav for alle elementer x, y i V:

$\begin{array}{lll} d(x,y) & \ge 0 & \mbox{Ikke-negativ} \\ d(x,y) & = 0 \iff x = y \\ d(x,y) & = d(y,x) & \mbox{Symmetri} \\ d(x,y) & \le d(x,z) + d(z,y) \qquad &\mbox{Trekantulikheten} \\ \end{array}$

Komplette metriske rom

Et metrisk rom V sies å være komplett dersom en hver Cauchyfølge konvergerer mot et element som også ligger i V.

Mengden av reelle tall R er et eksempel på et komplett metrisk rom. Det er derimot ikke mengden av rasjonale tall Q, dvs tall som kan skrives som en brøk. I Q er det mulig å konstruere Cauchyfølger som konvergerer mot et grense som selv ikke er et rasjonalt tall.

Epsilon-omegn

En $\epsilon$-omegn til et element a i et metrisk rom (V,d) er definert som en mengde

$\{ x \in V | \ d(x,a) < \epsilon \} \,$

En punktert $\epsilon$-omegn er definert tilsvarende ved å ekskludere elementet a :

$\{ x \in V | \ 0 < d(x,a) < \epsilon \} \,$

Begrenset mengde i et metrisk rom

En undermengde S i et metrisk rom (V,d) er begrenset dersom det eksisterer et objekt x i S og en positiv konstant M slik at

$d(x,y) < M \ \ \forall y \in S$

Eksempler på metriske rom

• Mengden av reelle tall definert med metrikken d(x,y) = | x – y | er et metrisk rom. Mer generelt er alle de euklidske rommene Rⁿ metrisk rom.
• Et hvert normert vektorrom er også et metrisk rom definert med metrikken d(x,y) = || x – y ||.