Metrisk rom

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Et metrisk rom i matematikk er en mengde der det er definert en metrikk eller et avstandsmål mellom to vilkårlige elementer i mengden.

Et metrisk rom har en struktur kun bygd opp omkring avstanden mellom to objekter, og definisjonen gjør det mulig å studere matematiske sammenhenger basert på de formelle egenskaper til avstandsmålet. Et matematisk resultat der beviset bygger ene og alene på de generelle egenskapene til en metrikk, vil være gyldig i alle metriske rom.

Formell definisjon[rediger | rediger kilde]

Et metrisk rom (V,d) er en mengde V der det er definert en metrikk d, det vil si en funksjon som for to elementer i mengden returnerer et ikke-negativ reelt tall:

d : V \times V \to \mathbb{R}^+

Funksjonen må oppfylle følgende krav for alle elementer x, y i V:

\begin{array}{lll}
d(x,y) & \ge 0   & \mbox{Ikke-negativ} \\
d(x,y) & = 0 \iff x = y  \\
d(x,y) & = d(y,x) & \mbox{Symmetri} \\
d(x,y)  & \le d(x,z) + d(z,y) \qquad &\mbox{Trekantulikheten} \\
\end{array}

Komplette metriske rom[rediger | rediger kilde]

Et metrisk rom V sies å være komplett dersom en hver Cauchyfølge konvergerer mot et element som også ligger i V.

Mengden av reelle tall R er et eksempel på et komplett metrisk rom. Det er derimot ikke mengden av rasjonale tall Q, dvs tall som kan skrives som en brøk. I Q er det mulig å konstruere Cauchyfølger som konvergerer mot et grense som selv ikke er et rasjonalt tall.

Epsilon-omegn[rediger | rediger kilde]

En \epsilon-omegn til et element a i et metrisk rom (V,d) er definert som en mengde

\{ x \in V | \ d(x,a) < \epsilon \} \,

En punktert \epsilon-omegn er definert tilsvarende ved å ekskludere elementet a :

\{ x \in V | \ 0 < d(x,a) < \epsilon \} \,

Begrenset mengde i et metrisk rom[rediger | rediger kilde]

En undermengde S i et metrisk rom (V,d) er begrenset dersom det eksisterer et objekt x i S og en positiv konstant M slik at

d(x,y) < M \ \ \forall y \in S

Eksempler på metriske rom[rediger | rediger kilde]

  • Mengden av reelle tall definert med metrikken d(x,y) = | xy | er et metrisk rom. Mer generelt er alle de euklidske rommene Rn metrisk rom.
  • Et hvert normert vektorrom er også et metrisk rom definert med metrikken d(x,y) = || xy ||.