Kommutativ lov

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

En kommutative lov i matematikk er et teorem eller et aksiom som sier at en binær operasjon er kommutativ.[1] En kommutativ operasjon tillater at rekkefølgen på de to argumentene kan endres uten å endre resultatet. Addisjon av reelle tall er for eksempel kommutativ, slik at 2 + 3 = 3 + 2. Divisjon er derimot ikke kommutativ, fordi a/b generelt ikke er lik b/a. Utsagnet «faktorenes orden er likegyldig» er et uttrykk for at multiplikasjon av reelle tall er kommutativ.

En algebraisk struktur som inneholder en kommutativ operasjon blir ofte omtalt som en kommutativ struktur.[1] En abelsk gruppe er for eksempel en kommutativ gruppe.

Kommutativitet er en fundamental egenskap til mange operasjoner, og egenskapen blir ofte postulert i aksiomer som definerer operasjonen. Dette gjelder for eksempel for kroppsaksiomene for addisjon og multiplikasjon.[2] Dersom en operasjon ikke kommuterer, så er den ikke-kommutativ. Også en matematisk struktur kan være ikke-kommutativ.

Formell definisjon[rediger | rediger kilde]

En binær operasjon * på en mengde S er kommutativ dersom

x * y = y * x \qquad \mbox{for all } x,y \in S.

Dette kan også uttrykkes som at x og y kommuterer i operasjonen.

Dersom en binære operasjonen uttrykkes som en funksjon f(x,y), så vil operasjonen være kommutativ hvis og bare hvis funksjonen er symmetrisk slik at f(x,y) = f(y,x). Operasjonen multiplikasjon kan for eksempel skrives som funksjonen f(x,y) = xy.

Eksempler[rediger | rediger kilde]

Fra hverdagslivet[rediger | rediger kilde]

  • Å ta på seg strømper kan betraktes som en kommutativ operasjon: uansett om en starter med venstre eller høyre fot, så blir resultatet det samme.
  • Dusjing og tørking er utført sammen, «addert», er ikke en kommutativ operasjon. Rekkefølgen av de to leddene er avgjørende for sluttresultatet.

Aritmetikk[rediger | rediger kilde]

  • Divisjon og subtraksjon er ikke kommutative operasjoner.

Matematikk generelt[rediger | rediger kilde]

  • Operasjonen å ta unionen av to mengder er kommutativ. Det samme gjelder for snittet:
A \cap B = B \cap A \qquad \qquad  A \cup B = B \cup A
  • Multiplikasjon av to matriser er ikke kommutativ. Dette er vist ved det følgende eksempelet:

\begin{bmatrix}
0 & 2 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\neq
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
  • Operasjonen å sette to reelle funksjoner sammen er ikke kommutativ. Generelt vil
f(g(x)) \ne g(f(x)). \,

Kommutativitet i matematiske strukturer[rediger | rediger kilde]

  • En abelsk gruppe eller kommutativ gruppe er en gruppe der gruppeoperasjonen kommuterer.
  • En kommutativ ring er en ring der multiplikasjonen kommuterer. En ring har også definert addisjon, og denne vil alltid være kommutativ.
  • I en kropp er både addisjon og multiplikasjon kommutative.
  • Kvaternioner er en ikke-kommutativ utvidelse av de komplekse tallene.
  • Både vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon i et vektorrom er kommutative.

Se også[rediger | rediger kilde]

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ a b , E.J.Borowski, J.M.Borwein,1989, Commutative, s.92
  2. ^ W.Rudin, 1976, s.5

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. ISBN 0-00-434347-6. 
  • Walter Rudin (1953, 1964, 1976). Principles of mathematical analysis. Singapore: McGraw-Hill International Book Co. ISBN 0-07-085613-3.