Gruppe (matematikk)

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Områder i algebra
Abstrakt algebra

Grupper
Ringer
Kropper

Algebraisk geometri
Elementær algebra

Ligninger
Funksjoner

Kombinatorikk
Lineær algebra

Vektorrom
Matriser

Tallteori

I matematikk er en gruppe en mengde elementer sammen med en binæroperasjon, slik at fire aksiomer er oppfylt: operasjonen må være lukket og assosiativ, det må finnes et identitetselement, og hvert element må ha en invers. Et av de mest velkjente eksemplene på en gruppe er mengden av heltall med addisjonsoperasjonen. Ved å gi en abstrakt formulering av gruppeaksiomene, uavhengig av konkrete grupper og deres operasjoner, kan en på en fleksibel måte behandle objekter med svært ulikt matematisk opphav, samtidig som man beholder deres vesentlige strukturelle egenskaper. Studiet av grupper kalles gruppeteori.

Grupper har et fundamentalt slektskap med begrepet symmetri. For eksempel, symmetrigruppen til et geometrisk objekt danner en gruppe, bestående av mengden alle transformasjoner som ikke endrer objektet og operasjonen som kombinerer to slike transformasjoner ved å foreta den ene etter den andre.

Definisjon[rediger | rediger kilde]

Grupper er definert på en slik måte at den gjelder for en vid klasse av objekter som deler en del strukturelle egenskaper. Man har en mengde G, og en binæroperasjon \times. Denne operasjonen er slik at man kan kombinere hvilke som helst to elementer a og b fra G og få et annet element a\times b. Symbolet \times representerer her en generell operasjon, og kan for eksempel stå for addisjon eller multiplikasjon. Andre muligheter er beskrevet i eksemplene nedenfor.

For at mengden G og binæroperasjonen \times skal være en gruppe må følgende fire aksiomer være oppfylt:

  1. Lukkethet. Hvis a og b er elementer i G, er også a \times b et element i G.
  2. Assosiativitet. Hvis a, b og c er elementer i G så gjelder ligningen (a\times b) \times c = a\times(b\times c).
  3. Identitetselement. Det finnes et element e i G slik at for ethvert element a i G, så holder ligningen e\times a = a \times e = a.
  4. Invers. For enhver a i G finnes et element b i G slik at a\times b = b \times a = e, hvor e er identitetslementet.

Det er ikke et krav at operasjonen er kommutativ, det vil si at a\times b = b\times a. Hvis gruppen i tillegg til de ovennevnte aksiomene også oppfyller denne ligningen, kalles gruppen abelsk. Dette adjektivet kommer av den norske matematikeren Niels Henrik Abel.

Funksjoner mellom to grupper som bevarer gruppestrukturen kalles for gruppehomomorfier. Dette betyr at hvis G og H er to grupper, så er en gruppehomomorfi mellom dem en funksjon \varphi:G \to H slik at \varphi(gg^\prime)=\varphi(g)\cdot \varphi(g^\prime) for alle g,g^\prime \in G. Hvis funksjonen er både injektiv og surjektiv, så er den en isomorfi. Det betyr at gruppene er essensielt "like".

Eksempler[rediger | rediger kilde]

De mulige permutasjonene til Rubiks kube utgjør en gruppe.

Heltall[rediger | rediger kilde]

En gruppe de fleste har et forhold til er mengden av heltallene \boldsymbol Z sammen med addisjon, som vi skriver +. Denne gruppen inneholder tallene

\ldots, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots.

Det første aksiomet er tilfredsstilt siden summen av to heltall også er et heltall. At addisjon er assosiativ er også velkjent. Gruppen har et identitetselement, nemlig 0, siden a+0=a for alle heltall a. Til sist vet vi at ethvert heltall a har en invers, nemlig tallet -a, siden a+(-a) = 0.

Klokkearitmetikk[rediger | rediger kilde]

Et beslektet eksempel får man hvis man begrenser seg til en endelig mengde heltall, for eksempel mengden

\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}.

Her definerer vi binæroperasjonen som addisjon modulo 12. Med enklere ord bruker vi addisjon som på en klokke: hvis klokken er 10 og vi venter 4 timer, vil klokken bli 2; altså er 10 \oplus 4 = 2, hvor vi lar \oplus betegne operasjonen å «addere på en klokke». Mer nøyaktig sier vi at a\oplus b = c hvis 1\leq c \leq 12 og enten a + b = c eller  a+b = c+12, hvor + representerer vanlig addisjon. I dette tilfellet er identitetselementet tallet 12.

Symmetrigrupper[rediger | rediger kilde]

En viktig type grupper er symmetrigrupper til geometriske figurer og andre matematiske objekter. Som et eksempel kan vi se på symmetrigruppen til et kvadrat: denne gruppen er en dihedral gruppe, og kalles D_4. Den består av symmetriene til kvadratet: det vil si alle måtene man kan vri og vende kvadratet på slik at det også etter vridningen er i samme posisjon som før. De mulige operasjonene er:

  • Man kan vri kvadratet 90°, 180° eller 270° til høyre.
  • Man kan speile det om den vertikale eller horisontale midtlinjen eller om en av diagonalene.
  • Man kan gjøre ingenting. (Dette kalles identitetsoperatoren.)

Tilsammen er det altså åtte forskjellige operasjoner, som er illustrert i denne figuren:

Group D8 id.svg
id (gjøre ingenting)
Group D8 90.svg
r1 (rotasjon 90° til høyre)
Group D8 180.svg
r2 (rotasjon 180° til høyre)
Group D8 270.svg
r3 (rotasjon 270° til høyre)
Group D8 fv.svg
fv (vertikal speiling)
Group D8 fh.svg
fh (horisontal speiling)
Group D8 f13.svg
fd (diagonal speiling)
Group D8 f24.svg
fc (omvendt diagonal speiling)
Elementene i symmetrigruppen til kvadratet (D_4). Hjørnene er bare fargelagt og nummerert for å visualisere operasjonene.

Elementene i symmetrigruppen er disse åtte operasjonene. Hvis man velger to operasjoner og utfører dem i rekkefølge, vil man få en annen av de åtte operasjonene. Når man setter sammen operasjoner på denne måten, skriver man symbolene fra høyre til venstre. Hvis man skal utføre operasjonene a og b i den rekkefølgen, skriver man dette altså som b\times a.

For eksempel hvis man først roterer kvadratet 90° til høyre (r_1) og deretter speiler det om dens horisontale akse (f_h), blir dette det samme som å speile kvadratet om diagonalen som går fra nederste venstre hjørne til øverste høyre hjørne. Dette skriver vi da som

f_d = f_h \times r_1.
Gruppetabellen til D4
id r1 r2 r3 fv fh fd fc
id id r1 r2 r3 fv fh fd fc
r1 r1 r2 r3 id fc fd fv fh
r2 r2 r3 id r1 fh fv fc fd
r3 r3 id r1 r2 fd fc fh fv
fv fv fd fh fc id r2 r1 r3
fh fh fc fv fd r2 id r3 r1
fd fd fh fc fv r3 r1 id r2
fc fc fv fd fh r1 r3 r2 id
Elementene id, r1, r2, and r3 utgjør en undergruppe, og er merket med rødt. Et høyre og venstre kosett er markert med henholdsvist grønt og gult.

Denne gruppen tilfredsstiller aksiomene ovenfor:

  1. Lukkethet: Hvis vi setter sammen to vilkårlige operasjoner, vil vi få en av de andre operasjonene i gruppen.
  2. Assosiativitet: Dette aksiomet krever at hvis a, b og c, så skal vi ha (a\times b)\times c = a\times (b\times c). Dette betyr at resultatet blir det samme uavhengig av hvilken sammensetting av operasjoner vi prioriterer høyest. At dette stemmer kan man fastslå ved å studere «multiplikasjonstabellen» til høyre. For eksempel ser vi at (f_d\times f_v) \times r_2 = r_c \times r_2 = r_1, og at f_d\times(f_v\times r_2) = f_d \times f_h = r_1, så (f_d\times f_v) \times r_2 = f_d\times(f_v\times r_2).
  3. Identitetselement: Gruppens identitetselement er den operasjonen som ikke gjør noen endringer.
  4. Invers: Hver operasjon har en invers, det vil si en operasjon som gjør at kvadratet kommer tilbake til utgangsstillingen. Hvis vi roterer kvadratet 90° til høyre, kan vi komme tilbake til den opprinnelige posisjonen ved å rotere det enda 270°. Disse to operasjonene er derfor hverandres inverser. Alle de andre operasjonene er sine egne inverser: Roterer vi kvadratet 180°, kommer vi tilbake ved å rotere det 180° en gang til. Speiler vi kvadratet om dens vertikale akse, kommer vi tilbake ved å speile det om igjen om den vertikale aksen.

Historie[rediger | rediger kilde]

Det tidligste studiet av grupper går antagelig tilbake til Lagrange på slutten av 1700-tallet. Men dette arbeidet var nokså isolert, og publikasjonene til Cauchy og Galois fra 1846 regnes ofte som begynnelsen av gruppeteori.

Den opprinnelige motivasjonen for gruppeteori var å finne løsninger av polynomligninger av grad høyere enn 4. Galois utvidet tidligere resultater av Ruffini og Lagrange og fant et kriterium for løsbarheten til en gitt polynomisk ligning ved hjelp av symmetrigruppen til ligningens røtter. Elementene i en slik Galoisgruppe tilsvarer visse permutasjoner av røttene. Ideene til Galois ble først avvist av hans samtidige, og de ble publisert etter hans død. Mer generelle permutasjonsgrupper ble undersøkt av Cauchy spesielt. Cayley ga i 1854 den første abstrakte definisjonen av en endelig gruppe.

Geometri var det andre feltet hvor grupper ble brukt systematisk, spesielt symmetrigrupper som del av Kleins Erlangenprogram fra 1872. Etter som nye geometrier som hyperbolsk og projektiv geometri hadde blitt oppdaget, brukte Klein gruppeteori til å organisere dem. Lie videreførte disse ideene da han begynte å studere liegrupper i 1884.

Det tredje feltet som bidro til gruppeteori var tallteori. Visse abelske grupper hadde blitt brukt implisitt i Gauss’ tallteoretiske arbeid Disquisitiones Arithmeticae fra 1798, og mer eksplisitt av Kronecker. I 1847 ledet noen tidlige forsøk av Kummer på å bevise Fermats siste teorem til utviklingen av grupper som beskriver primtallsfaktorisering.

Med Jordans verk Traité des substitutions et des équations algébriques fra 1870 begynte arbeidet med å samle disse forskjellige angrepsvinklene til én teori. von Dyck ga i 1882 den første moderne definisjonen av en abstrakt gruppe. På 1900-tallet ble gruppeteori vidt anerkjent gjennom arbeidet til Frobenius og Burnside, som arbeidet på representasjonsteori til endelige grupper, samt gjennom Brauers modulære representasjonsteori og artiklene til Schur. Teorien om liegrupper, og mer generelt lokale kompakte grupper, ble studert av Weyl, Cartan og mange andre. Dens algebraiske motstykke, teorien om algebraiske grupper, ble først formet av Chevalley og senere gjennom arbeidene til Borel og Tits.

University of Chicago arrangerte et gruppeteoriår i 1960–61, noe som brakte sammen gruppeteoretikere som Gorenstein, Thompson og Feit. Dette la grunnlaget for et samarbeid mellom en lang rekke matematikere, som kulminerte med klassifikasjonen av alle endelige simple grupper i 1982.