Indreprodukt

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Et indreprodukt (eller skalarprodukt eller prikkprodukt) er en funksjon som avbilder to vektorer i et vektorrom inn på en skalar. Funksjonen er definert slik at den gir et mål for et forhold mellom de to vektorene og gir en generalisering av intuitive geometriske begrep som avstand og vinkel også i mer abstrakte vektorrom. Begrepet ortogonalitet får en naturlig generalisering ved hjelp av indreproduktet.

Ved å la indreproduktet generalisere vinkelbegrepet kan en i matematikk elegant utlede mange grunnleggende resultater for tilsynelatende helt ulike matematiske objekter, basert på de grunnleggende egenskapene til «vinkelmålet». Indreproduktet spiller en viktig rolle i mange deler av matematikk, for eksempel i Fourieranalyse og i approksimasjonsteori.

Et vektorrom utstyrt med et indreprodukt kalles et indreproduktrom. Et komplett indreproduktrom kalles et Hilbertrom. Navnet pre-Hilbertrom brukes av og til for et indreproduktrom som ikke er komplett.

I en del litteratur finner en betegnelsen «prikkprodukt» avgrenset til å gjelde det Euklidske indreproduktet.


Definisjon[rediger | rediger kilde]

Et indreprodukt på et vektorrom V er en funksjon som for ehvert par av vektorer \mathbf{u} og \mathbf{v} definerer en skalar \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle, slik at funksjonen oppfyller de følgende egenskapene for alle vektorer \mathbf{u}, \mathbf{v} og \mathbf{w} i V og alle skalarer k:

  • Kompleks-konjungert symmetri: \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=  \overline{{\langle\mathbf{v},\mathbf{u}\rangle}}
  • Additivitet: \langle\mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{u},\mathbf{w}\rangle+\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle
  • Homogenitet: \langle k\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=k\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle
  • Positivitet: \langle\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle\geq0, og \langle\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle=0 hvis og bare hvis \mathbf{u}=\mathbf{0}.

Definisjonen gjelder for både reelle og komplekse vektorrom. I symmetriegenskapen inngår definisjonen av kompleks konjugasjon.

Merk at indroproduktet av en vektor med seg selv \langle\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle alltid er reell, slik at bruken av ulikheten i positivitetsegenskapen gir mening.

Ett og samme vektorrom kan utstyres med ulike indreprodukt, og dermed definere et flere uavhengige indreproduktrom med ulik struktur. Det Euklidske indreproduktet og det vektede Euklidske indreproduktet, omtalt i den påfølgende eksempelsamlingen, er eksempel på dette.

Egenskaper[rediger | rediger kilde]

Grunnleggende regneregler[rediger | rediger kilde]

Direkte avledet fra aksiomene fremkommer følgende regneregler. La \mathbf{u}, \mathbf{v} og \mathbf{w} være vektorer i V og k være en skalar. Da er:

  • \langle\mathbf{0},\mathbf{u}\rangle=\langle\mathbf{u},\mathbf{0}\rangle=0
  • \langle\mathbf{u},\mathbf{v}+\mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle+\langle\mathbf{u},\mathbf{w}\rangle
  • \langle \mathbf{u},k\mathbf{v}\rangle=k\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle
  • \langle\mathbf{u}-\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{u},\mathbf{w}\rangle-\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle
  • \langle\mathbf{u},\mathbf{v}-\mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle-\langle\mathbf{u},\mathbf{w}\rangle

Norm, avstand og vinkler[rediger | rediger kilde]

Gitt et indreproduktrom V, så definerer vi normen til en vektor \mathbf{u} ved

\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\langle\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle}.

Avstanden d(\mathbf{u},\mathbf{v}) mellom to vektorer \mathbf{u} og \mathbf{v} settes lik

d(\mathbf{u},\mathbf{v})=\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\|.

Vinkelen \theta mellom to vektorer \mathbf{u} og \mathbf{v} begge ulik \mathbf{0} defineres ved

\cos\theta=\frac{\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|},

og denne vinkelen er veldefinert på grunn av Cauchy–Schwarz' ulikhet. Videre kalles to vektorer \mathbf{u} og \mathbf{v} ortogonale dersom \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=0. Synomyner til ortogonal er normal og vinkelrett.

Relasjon til ytreprodukt[rediger | rediger kilde]

Hvis u og v er kolonnevektorer:

\mathbf{u} = \begin{bmatrix}u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix},~\mathbf{v} = \begin{bmatrix}v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}

Da er indre- og ytreproduktene av u og v:

Indreprodukt[rediger | rediger kilde]

\mathbf{u}^T\mathbf{v}=\begin{bmatrix}u_1 & \dots & u_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix}v_1 \\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix} = u_1 v_1 + \dots + u_n v_n (skalar)

Ytreprodukt[rediger | rediger kilde]

\mathbf{u}\mathbf{v}^T=\begin{bmatrix}u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix}v_1 & \cdots & v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}u_1 v_1 & \dots & u_1 v_n \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ u_n v_1 & \dots & u_n v_n \end{bmatrix} (matrise)

Ytreproduktet er også definert hvis u og v har forskjellig antall elementer. Da blir ytreproduktet en ikke-rektangulær matrise.

Eksempler[rediger | rediger kilde]

Euklidske indreprodukt[rediger | rediger kilde]

For vektorer \mathbf{u}=(u_1,u_2,\ldots,u_n) og \mathbf{v}=(v_1,v_2,\ldots,v_n) i det Euklidske n-rommet kan man definere det Euklidske indreproduktet, gitt ved

\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+\cdots+u_nv_n.

Dersom man tenker på \mathbf{u} og \mathbf{v} som kolonnevektorer, så har man også notasjonen

\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=\mathbf{u}^T\mathbf{v}=\begin{bmatrix}u_1&u_2&\cdots&u_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{bmatrix}.

Vektet Euklidsk indreprodukt[rediger | rediger kilde]

Dersom A er en positivt definitt symmetrisk n\times n matrise får man et vektet Euklidsk indreprodukt for vektorer \mathbf{u} og \mathbf{v} i det Euklidske n-rommet, gitt ved:

\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle_A=\mathbf{u}^T A\mathbf{v}.

Indreprodukt på funksjonsrom[rediger | rediger kilde]

På vektorrommet av kontinuerlige funksjoner definert på et lukket begrenset intervall \left[a,b\right] kan man definere indreproduktet mellom \mathbf{f}=f(x) og \mathbf{g}=g(x) til å være

\langle \mathbf{f},\mathbf{g}\rangle=\int_a^bf(x)g(x)\;dx

Se også[rediger | rediger kilde]