Lineærkombinasjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

En lineærkombinasjon er i matematikk en endelig sum av ledd der hvert ledd er lik en konstant koeffisient multiplisert med en vektor. Uttrykket (3u + v - 2w) vil for eksempel være en lineærkombinasjon av de tre vektorene u, v og w. Lineærkombinasjoner er svært viktige i fagfeltet lineær algebra.

Formell definisjon[rediger | rediger kilde]

La V være et vektorrom med en tilhørende kropp K av skalarer. Dersom v1,...,vn er vektorer i V og a1,...,an er skalarer i K, så er en lineærkombinasjon i V et uttrykk på formen

a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 + \cdots + a_n v_n. \,

Fra definisjonen av et vektorrom følger det at lineærkombinasjonen er inneholdt i vektorrommet.

Det eksisterer en viss tvetydighet i om begrepet lineærkombinasjon refererer til sum-uttrykket eller til resultatet av summasjonen. Vanligvis vil bruken referere til resultatet, slik som i utsagnet Alle lineærkombinasjoner av u, v og w utgjør et underrom. I visse tilfeller kan en også referere til formen på uttrykket, som i formuleringen Vektoren u kan uttrykkes med to ulike lineærkombinasjoner.

Lineær utspenning[rediger | rediger kilde]

Den lineære utspenningen av en mengde vektorer S = {v1,...,vn } i vektorrommet V er definert som mengden av alle lineærkombinasjoner av vektorene i mengden. Adjektivet «lineær» er ofte underforstått, slik at en bare bruker begrepet «utspenning» alene. Den lineære utspenningen er et underrom i V.

Som notasjon for utspenningen til mengden S brukes både span S, sp S og [S].

Et endelig-dimensjonalt vektorrom V er selv utspent av en mengde av basisvektorer i rommet. Det vil si at alle vektorer i V kan skrives som en lineærkombinasjon av basisvektorer.

Eksempler[rediger | rediger kilde]

Koordinatvektorer[rediger | rediger kilde]

La V være det euklidske vektorrommet R3, definert over mengden av reelle tall. Som basisvektorer for dette rommet kan en velge e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) og e3 = (0,0,1). En vilkårlig vektor i R3 kan uttrykkes som en lineærkombinasjon av disse basisvektorene. Som eksempel kan vektoren (3,-1,2) skrives som lineærkombinasjonen (3e1 - e2 + 2e3).

Funksjoner[rediger | rediger kilde]

La V være vektorrommet av alle relle kontinuerlige funksjoner. De to funksjonen f(x) = sin x og g(x) = cos x er begge elementer i dette vektorrommet. Den tredje funksjonen h(x) = sin (x + π) + sin(x + π/2) er en lineærkombinasjon av funksjonen f og g, noe som følger av kjente trigonometriske identiteter:

h(x) = \sin (x + \pi) + \sin( x + \frac{\pi}{2}) = - \sin x + \cos x = - f(x) + g(x)

Den konstante funksjonen j(x) = 3 er derimot ikke en lineærkombinasjon av f og g.

Spesialtilfeller av lineærkombinasjoner[rediger | rediger kilde]

Ved å legge ytterlige føringer på koeffisientene i lineærkombinasjonene kan en definere spesialtilfeller eller undermengder av lineærkombinasjonene. I en affin lineærkombinasjon er summen av alle koeffisientene ai lik 1. I en konveks lineærkombinasjon er alle koeffisientene ikke-negative.

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • Fr. Fabricius-Bjerre (1949, 1969, 1977). Lærebog i geometri. Del 1: Analytisk geometri. Lineær algebra. Lyngby,: Polyteknisk forlag. ISBN 87-502-0440-8. 
  • Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6.