Cauchyfølge

En Cauchyfølge eller en fundamentalfølge er en følge av elementer i et metrisk rom der avstanden mellom to vilkårlige elementer gradvis blir mindre og mindre jo lenger ut i følgen de to elementene befinner seg. Velger en et vilkårlig positivt tall kan en alltid finne to elementer i følgen slik av avstanden mellom disse elementene er mindre enn det valgte tallet. Navnet har følgene fått etter matematikeren Augustin Louis Cauchy.

Cauchyfølger spiller en svært viktig rolle i studiet av konvergens for følger, blant annet fordi de gjør det mulig å studere konvergens uten å ha kjennskap til grenseverdien som følgene konvergerer mot. I et komplett metrisk rom vil en Cauchyfølge alltid være konvergent, og omvendt. Dette gjelder for eksempel for Cauchyfølger av reelle tall, såkalte tallfølger.

Formell definisjon

La S være et metrisk rom utstyrt med metrikken d. En følge $\{x_n\}$ av elementer i S er en Cauchyfølge dersom det for enhver $\epsilon > 0$ eksisterer et naturlig tall N slik at

$d(x_n,x_m) < \epsilon \ \ \forall \, n,m \geq N$.

For et metrisk rom som består av reelle tal bruker en vanligvis metrikken

$d(x_n,x_m) = | x_n - x_m | \,$

Egenskaper

• I et vilkårlig metrisk rom vil en konvergent følge alltid være en Cauchyfølge. Det motsatte er ikke generelt tilfelle: en følge kan være en Cauchyfølge uten å være konvergent.
• I et kompakt metrisk rom vil en Cauchyfølge alltid være konvergent og ha en grenseverdi i rommet.

Komplette metriske rom

Et metrisk rom S sies å være komplett dersom en hver Cauchyfølge konvergerer mot et element som også ligger i S.

Mengden av reelle tall R er et eksempel på et komplett metrisk rom. Det er derimot ikke mengden av rasjonale tall Q, dvs tall som kan skrives som en brøk. I Q er det muleg å konstruere Cauchyfølger som konvergerer mot et grense som selv ikke er et rasjonalt tall. Ett eksempel er gitt i det følgende:

$\begin{array}{lll} x_1 &= 1 \\ x_n &= {1 \over 2}(x_{n-1} + {2 \over x_{n-1}} ) &n > 1 \\ \end{array}$

Alle elementene er rasjonale, men følgen konvergerer mot kvadratroten av to, som er et irrasjonalt tall.

Cauchy-kriteriet

Cauchy-kriteriet for en følge av reelle tall sier at følgen er konvergent hvis og bare hvis følgen er en Cauchyfølge.

Litteratur

• Walter Rudin (1953, 1964, 1976). Principles of mathematical analysis. McGraw-Hill International Book Co., Singapore. ISBN 0-07-085613-3.