Konvergens (matematikk)

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

Konvergens er i matematikk en egenskap knyttet til uendelige følger, rekker og produkt, og også til uekte integral, dersom disse har en endelig grenseverdi. Dersom en uendelig følge har en endelig grenseverdi sies følgen å være konvergent, og tilsvarende kan en definerer en konvergent rekke, et konvergent produkt eller et konvergent uekte integral.

Det komplementære antonymet til konvergens er divergens.

Begrep som «grenseverdi» og «nærmer seg» er naturlig knyttet til et avstandsmål, og konvergens kan defineres i et metrisk rom, der et slikt avstandsmål er gitt ved metrikken. En kan også definere konvergens i et topologisk rom.

Et konvergenskriterium er en regel som brukes for å avgjøre om en følge, rekke eller integral er konvergent.

Konvergens av uendelige følger i et metrisk rom[rediger | rediger kilde]

En følge \{ x_n \} i et metrisk rom konverger mot en grenseverdi x dersom det for en hver verdi av epsilon \epsilon eksisterer et heltall N slik at

n > N  \Rightarrow d(x_n,x) < \epsilon  \,

der d er metrikken. Eksistensen av en grenseverdi kan skrives som

\lim_{n \to \infty} x_n = x \, .

Definisjonen kan kompakt skrives som

\lim_{n \to \infty} x_n = x \iff ( \forall \epsilon > 0 )( \exists N \in \mathbb{N})( n > N \Rightarrow d(x_n,x) < \epsilon )

Et eksempel på en konvergent følge er gitt ved

\lim_{n\to\infty} ( 1 + {1 \over n})^n  = e

der grenseverdien er Eulertallet e.

Konvergens av følger i et normert vektorrom[rediger | rediger kilde]

I et normert vektorrom er metrikken definert ut fra normen. Konvergens i norm kalles for sterk konvergens.

Dersom V er et normert vektorrom og V^* er mengden av lineært begrensede funksjonalerV, så sier en at en følge \{ x_n \} konvergerer svakt mot en grense x dersom

\lim_{n\to \infty} l(x^n) = l(x)  \quad \forall l \in V^*

Konvergens av følger i et topologisk rom[rediger | rediger kilde]

I et topologisk rom V vil følgen  \{x_n\} konvergere mot grenseverdien x, hvis det for hver omegn U til x gjelder at  V \setminus U bare inneholder endelig mange elementer fra følgen.

Punktvis konvergens[rediger | rediger kilde]

En følge av funksjoner \{ f_n(x)\} med samme definisjonsmengde og verdiområde er punktvis konvergent dersom det for hvert argument x eksisterer en grenseverdi for følgen, dvs at

\lim_{n \to \infty}f_n(x)=f(x)  \forall x

Punktvis konvergens er en svakere form for konvergens enn uniform konvergens. Uniform konvergens vil alltid medføre punktvis konvergens, men ikke omvendt.

I det følgende eksempelet konvergerer følgen punktvis i intervallet [0,1), men ikke uniformt:

\lim_{n\to\infty} x^n=0

Uniform konvergens[rediger | rediger kilde]

En følge av funksjoner \{f_n(x)\} med samme definisjonsmengde og verdiområde er uniform konvergent med grense f(x) dersom det for en hver verdi av epsilon \epsilon eksisterer et heltall N, uavhengig av argumentet x, slik at

n > N  \Rightarrow d(f_n,f) < \epsilon  \,

Uniform konvergens medfører at konvergenshastigheten er uavhengig av argumentet x.

Konvergenshastighet for følger[rediger | rediger kilde]

Generelt kan konvergenshastighet for en konvergent følge være et vilkårlig mål for hastigheten som følgen konvergerer med, for eksempel antall ledd som kreves for å oppnå en viss nøyaktighet. Det eksisterer en rekke definisjoner av konvergenshastighet.

En følge  \{x_n\} i et metrisk rom som konverger mot x sies å ha lineær konvergens med konvergenshastighet v dersom

 \lim_{k\to \infty} \frac{d(x_{k+1},x)}{d(x_k,x)} = v \mbox{ der } v  \in (0,1).

Følgen sies å konvergere superlineært dersom v = 0 og sublineært dersom den er konvergent, men v = 1.

En rekke som konvergerer superlineært sies å ha konvergere med orden q dersom det eksisterer en q > 1 slik at

 \lim_{k\to \infty} \frac{d(x_{k+1},x)}{(d(x_k,x))^q} = v \mbox{ med } v > 0.

For q = 2 sier en at følgen har kvadratisk konvergens.

Konvergens av uendelige rekker[rediger | rediger kilde]

En uendelig rekke definert ved

\sum_{n=1}^\infty a_n

er konvergent dersom følgen av partialsummer er konvergent. Den m-te partialsummen er definert ved

s_m = \sum_{n=1}^m a_n \,

Rekken konvergerer dersom følgen \{ s_m \} konvergerer.

Rekken konverger absolutt dersom også den følgende rekken konvergerer:

\sum_{n=1}^\infty | a_n |

En rekke konvergerer betinget dersom den konvergerer, men ikke konvergerer absolutt.

Konvergensradius for potensrekker[rediger | rediger kilde]

En potensrekker på forma

\sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n

er uniformt konvergent dersom argumentet x ligger innenfor en sirkel med senter i c og radius lik den såkalte konvergensradiusen.

Rekken i det følgende eksempelet har konvergensradius lik 1:

\sum_{n=1}^\infty (-1)^n {x^n \over n}

Konvergens av uendelige produkt[rediger | rediger kilde]

En uendelig produkt definert ved

\prod_{n=1}^\infty a_n

er konvergent dersom følgen av partialprodukt er konvergent. Den m-te partialproduktet er definert ved

p_m = \prod_{n=1}^m a_n \,

Produktet konvergerer dersom følgen \{ p_m \} konvergerer.

Et kjent eksempel på produkt-konvergens er Wallis' produkt:

\prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{ 4 \cdot n^2 }{ 4 \cdot n^2 - 1 } \right) = \frac{\pi}{2}

Konvergens av uekte integral[rediger | rediger kilde]

Et uekte integral er et bestemt integral der en eller flere av integrasjonegrensene er uendelig, eller der integranden har en singularitet i integrasjonsområdet. Et uekte integral er konvergent dersom det eksisterer en endelig grenseverdi:

\int_a^\infty f(x) dx = \lim_{b\to\infty} \int_a^b f(x) dx
\int_{-\infty}^\infty f(x) dx = \lim_{a\to{-\infty}} \int_a^b f(x) dx + \lim_{c\to\infty} \int_b^c f(x) dx