Grenseverdi

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Områder i analyse
Differensialligninger
Funksjonalanalyse
Funksjoner av flere variable
Matematisk analyse

Kontinuitet
Grenseverdier
Følger
Rekker
Derivasjon
Integrasjon

Komplekse funksjoner

I matematikk brukes begrepet grenseverdi til å betegne en verdi som en følge eller funksjon nærmer seg, når dens argument nærmer seg et bestemt punkt, eller uendelig.

Grenseverdien til en reell funksjon[rediger | rediger kilde]

Symbolet \lim_{x \to a} f(x) betegner grenseverdien til funksjonen f når variabelen x nærmer seg a. Her kan a enten være et reelt tall eller +\infty eller -\infty. Grenseverdien selv kan også være et reelt tall, eller +\infty eller -\infty.

Den matematiske definisjonen er som følger: For en funksjon f, og reelle tall a og b, så er

\lim_{x \to a} f(x) = b

hvis det for ethvert reelt tall ε > 0 finnes et reelt tall δ > 0, slik at hvis x er et tall i definisjonsmengden til f, gjelder det at

 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-b| < \epsilon.

Denne definisjonen kan uttrykkes slik: Forskjellen mellom f(x) og b kan gjøres så liten man vil, ved å velge x tilstrekkelig nær a.

Grenseverdier kan for eksempel brukes for å studere oppførselen til en funksjon i nærheten av punkter hvor den ikke er definert. Funksjonen

f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}

er ikke definert i punktet x = 1, siden nevneren her er lik 0. Men hvis man lar x være et tall i nærheten av 1, ser man at f(x) vil være nær 2, og desto nærmere man lar x være 1, jo nærmere vil funksjonsverdien være 2. Derfor er

\lim_{x\to 1} f(x) = 2.