Matrise

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
n × m-matrise med elementer a_{ij}

En matrise i matematikk er et rektangulært sett av elementer ordnet i rader og kolonner. Elementene vil vanligvis være reelle eller komplekse tall, men kan også være mer generelle objekter i en kropp eller en ring. Et eksempel på en matrise er vist i figuren til høyre.

En (n × m)-matrise har n rader eller rekker og m kolonner eller søyler, og dimensjonen til matrisen sies å være n × m. En matrise med like mange rader som kolonner kalles en kvadratisk matrise. Rangen til en matrise er det største antallet lineært uavhengige rader eller kolonner i matrisen.

Matriser har et stort anvendelsesområde i ulike deler av matematikk og også i andre fagfelt som fysikk og kjemi. En viktig grunn for dette er at en lineær transformasjon fra et n-dimensjonalt vektorrom inn i et m-dimensjonalt vektorrom kan representeres ved en (n × m)-matrise . Også lineære ligningssystemer er nært knyttet til matriser. Ulike praktiske problemstillinger kan lede til svært store matriser, der millionvis av elementer ikke er uvanlig. På grunn av det store bruksområdet er det lagt ned en betydelig innsats i å utvikle effektive beregningsmetoder for matriser.

I matematikk er grunnleggende teori for matriser en del av fagfeltet lineær algebra, men de studeres også i andre spesialområder, som i numerisk matematikk. Matriser som består av kun én kolonne eller én rad kalles vektorer, mens en tensor kan betraktes som en generalisering av en matrise fra to dimensjoner (rader, kolonner) til tre eller flere dimensjoner.


Notasjon[rediger | rediger kilde]

Matriser betegnes vanligvis med en stor bokstav A, ofte også med fet skrift A. En markering av dimensjonen til matrisen gjøres ved hjelp av suffiks Anm eller An × m.

Flere alternative skrivemåter for å spesifisere matriser er i vanlig bruk. Dersom alle elementene skal skrives ut bruker en vanligvis en eller annen form for parenteser til å omslutte elementene, slik som i de følgende eksemplene for matrisen A:


A =   \begin{bmatrix}    
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 
 \end{bmatrix}

\qquad

A = \begin{pmatrix}    
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 
  \end{pmatrix}

\qquad

A = \begin{Bmatrix}    
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 
  \end{Bmatrix}

En generell n × m-matrise med n rader og m kolonner skrives ofte på formen

 A=
  \begin{bmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nm}
  \end{bmatrix}

Her er aij elementet i den rad nummer i og søyle nummer j. I en kvadratisk matrise kalles elementene aii diagonalelementene.

Alternative kompakt skriveformer der en ikke oppgir hvert element er gitt i de følgende eksemplene


A = 
\begin{bmatrix}
a_{ij}
\end{bmatrix}_{n,m}

\qquad

A = 
\begin{bmatrix}
a_{ij}
\end{bmatrix}_{nm}

\qquad

A = 
\begin{bmatrix}
a_{ij}
\end{bmatrix}_{n \times m}

De enkelte elementene kan spesifiseres ved hjelp av en regel, som i det følgende eksempelet:


A = 
\begin{bmatrix}
i-j
\end{bmatrix}_{3,3}
= 
\begin{bmatrix}
0 & -1 & -2 \\
1 & 0 & -1 \\
2 & 1 & 0
\end{bmatrix}

En diagonalmatrise skrives av og til som diag(a1,a2,...,an), der ai er element nummer i på diagonalen. Alle elementer utenfor diagonalen er lik null.

Operasjoner[rediger | rediger kilde]

Addisjon og subtraksjon[rediger | rediger kilde]

To matriser A og B med samme dimensjon kan adderes ved å summere de enkelte elementene:


\begin{alignat}{2}
A &= \begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}_{nm} \\
B &= \begin{bmatrix}b_{ij}\end{bmatrix}_{nm}
\end{alignat} \qquad C = A + B = \begin{bmatrix}a_{ij} + b_{ij}\end{bmatrix}_{nm}

Subtraksjon defineres tilsvarende.

Skalarmultiplikasjon[rediger | rediger kilde]

Multiplikasjon med en skalar k er definert ved å multiplisere alle elementene i matrisen:


k A = \begin{bmatrix}k a_{ij}\end{bmatrix}_{nm}

De to operasjonene matriseaddisjon og skalarmultiplikasjon gjør at mengden av (n×m)-matriser definerer et vektorrom.

Matrisemultiplikasjon[rediger | rediger kilde]

Dersom A er en n×m-matrise og B er en l-matrise, så kan produktmatrisen C = A B defineres ved at matriseelementene til C er gitt ved summen:

c_{ik} = \Sigma_{j=1}^m a_{ij} b_{jk}.

Her er aij og bjk matriseelementene til A og B. Produktmatrisen C er en (n×l)-matrise.

Matrisemultiplikasjon er assosiativ, slik at (AB)C = A(BC), når matrisene A, B og C er slik at multiplikasjonene er definert. Videre er multiplikasjon distributiv med hensyn på addisjon, slik at (A + B)C = AC + BC og A(B+ C) = AB + AC. Derimot er multiplikasjonen ikke kommutativ, slik at AB generelt ikke er lik BA. Produktene AB og BA vil bare være definert samtidig dersom A har dimensjonen n × m og B har dimensjonen m × n. Dette er tilfelle dersom begge matrisene er kvadratiske.

Med matrisemultiplikasjon er mengden av matriser en gruppe. Med både addisjon og multiplikasjon er mengden også en algebraisk struktur.

Kronecker-produkt[rediger | rediger kilde]

Dersom A er en n×m-matrise og B er en q-matrise, så er Kronecker-produktet definert ved


A \otimes B =  \begin{bmatrix}
    a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1m} B\\
    a_{21} B& a_{22} B& \cdots & a_{2m} B\\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{n1}B & a_{n2} B& \dots & a_{nm}B
  \end{bmatrix}

Resultatmatrisen har dimensjon (np)x(mq). Produktet kalles også tensorprodukt og direkte produkt.

Hadamard-produkt[rediger | rediger kilde]

Hadamard-produktet eller Schur-produktet for matriser er et elementvis produkt av to matriser med samme dimensjon n×m:


A \odot B = \begin{bmatrix}a_{ij} b_{ij} \end{bmatrix}_{nm}

Direkte sum[rediger | rediger kilde]

Den direkte summen av to kvadratiske matriser er definert ved


A \oplus B = \begin{bmatrix} A  & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix}

Transponering[rediger | rediger kilde]

Den transponerte matrisen AT er definert ved en ombytting av rader og kolonner i den opprinnelige matrisen A:


A = 
\begin{bmatrix}
a_{ij}
\end{bmatrix}_{n,m}

\qquad

A^T  = 
\begin{bmatrix}
a_{ji}
\end{bmatrix}_{m,n}.

For den transponerte er notasjonen Atr også brukt.

Konjungert transponering[rediger | rediger kilde]

Den konjugert-transponerte matrisen AH er definert ved en ombytting av rader og kolonner i den opprinnelige matrisen A, samt kompleks konjugasjon av matrise-elementene:


A = 
\begin{bmatrix}
a_{ij}
\end{bmatrix}_{n,m}

\qquad

A^H  = 
\begin{bmatrix}
\overline{a}_{ji}
\end{bmatrix}_{m,n}

AH kalles også den Hermitske-adjungerte til A. Notasjon A* er også vanlig brukt.

Invers[rediger | rediger kilde]

En invers til en kvadratisk matrise A er definert som den entydig bestemte matrisen A-1 som oppfyller ligningene

A A^{-1} = A^{-1}A = I  \,

der I er identitetsmatrisen.

Matrisen A er invertibel hvis determinanten til A' er ulik null: det A ≠ 0. I motsatt fall er matrisen singulær.

Invers av 2×2-matrise[rediger | rediger kilde]

Å invertere en 2×2-matrise er trivielt med denne formelen: A^{-1}={1\over \det A}  \begin{bmatrix}a_{22}&-a_{12} \\ -a_{21}&a_{11}\end{bmatrix}

Generalisert invers[rediger | rediger kilde]

En generalisert invers A- til en generell matrise A er en matrise som oppfyller ligningen

A A^- A = A \,

Dersom A er en kvadratisk (n×n)-matrise med rang n, så er A- = A-1 . Den generaliserte inversen er generelt ikke entydig.

Lineære ligninger og transformasjoner[rediger | rediger kilde]

Matriser er nært knyttet til lineære ligninger og lineære transformasjoner.

Lineære ligninger[rediger | rediger kilde]

Lineære algebraiske ligninger er ligninger på formen

A x + b = 0, \,

der A er en matrise og b en kjent vektor. Den ukjente x er også en vektor. For et system med like mange ligninger som ukjente kan en formelt skrive løsningen som

x = A^{-1}b. \,

Løsningen eksisterer dersom den inverse matrisen A-1 er definert, dvs dersom matrisen er ikke-singulær. Lineære ligninger kan løses ved hjelp av Cramers regel eller ved Gausseliminasjon.

Lineære transformasjoner[rediger | rediger kilde]

En lineær transformasjon fra et vektorrom til et annet kan skrives på formen

f(x) = A x \,

der A er en matrise. Slike transformasjoner er blant annet viktige i geometri for å beskrive operasjoner som translasjon, rotasjon, speilvending, projeksjon og skalering av objekter i rommet.

Varianter[rediger | rediger kilde]

  • En båndmatrise er en kvadratisk matrise dersom det eksisterer to positive heltall r og s slik at elementene er lik null for ( i - j )s og for ( j - i )r. Båndbredden til matrisen er (r + s + 1).
  • En diagonalmatrise er en kvadratisk matrise der alle elementene utenom diagonalen er lik null.
  • En diagonaldominant matrise er en kvadratisk matrise der absoluttverdien av et diagonalelement er større eller lik summen av de andre elementene i en rad.
  • En glissen matrise er en matrise der de fleste elementene er lik null
  • En Hermitisk matrise er en kvadratisk matrise der AH = A.
  • En Hessenberg-matrise er en kvadratisk matrise der elementene i matrisen eller i den transponerte matrisen er lik null for i > j + 1.
  • En Hilbert-matrise er en kvadratisk matrise der aij = 1/(i + j - 1).
  • En idempotent matrise er en kvadratisk matrise der A2 = A.
  • En identitetsmatrise er en diagonalmatrise der alle diagonalelementene er lik 1. Vanlig notasjon for en identitetsmatrise er I.
  • En M-matrise eller en Minkowski-matrise er en kvadratisk ikke-singulær matrise der aij ≤ 0 for ij, og der også A-1 ≥ 0.
  • En nilpotent matrise er en kvadratisk matrise der Ak = 0 for et heltall k.
  • En normalmatrise er en kvadratisk matrise der AH A = A AH.
  • En nullmatrise er en matrise der alle elementene lik null.
  • En positiv-definit matrise er en kvadratisk matrise der produktet (xH A x) alltid er ikke-negativt. Tilsvarende er en negativt-definit matrise er en kvadratisk matrise der produktet (xH A x) alltid er ikke-positivt.
  • En ortogonal matrise er en ikke-singulær matrise der AT = A-1.
  • En positiv matrise er en reell matrise der alle elementene er positive.
  • En singulær matrise er en kvadratisk matrise med determinant lik null. Tilsvarende er en ikke-singulær matrise er en kvadratisk matrise med determinant ulik null.
  • En symmetrisk matrise er en kvadratisk matrise der AT = A.
  • En skjevsymmetrisk matrise er en kvadratisk matrise der AT = - A.
  • En Toeplitz-matrise er en kvadratisk matrise der elementene på en vilkårlig diagonal er reelle og like, det vil si at a_{ij} = \lambda_{j-i} og \lbrace \lambda_{j-i} \rbrace er reelle tall.
  • En triangulærmatrise er en kvadratisk matrise der elementene over eller under diagonalen er lik null.
  • En tridiagonal matrise er en kvadratisk matrise der elementene er lik null dersom |i-j| > 1 .
  • En unitær matrise er en ikke-singulær kvadratisk matrise der AH = A-1.
  • En Vandermonde-matrise er en kvadratisk matrise der a_{ij} = \lambda_j^{i-1} og \lbrace \lambda_j \, \rbrace er reelle eller komplekse tall.

En kvadratisk matrises determinant[rediger | rediger kilde]

Utdypende artikkel: Determinant

Determinanten til en kvadratisk matrise er et reelt eller komplekst tall entydig bestemt av elementene i matrisen. Mer presist kan en si at determinanten er en funksjon med definisjonsmengde lik mengden av alle kvadratiske matriser og med verdimengde lik mengden av reelle eller komplekse tall.

Determinanten til matrisen A betegnes ofte det A eller det(A). Notasjonen |A| brukes også for determinanten, men det er lett å forveksle denne med absoluttverdien av matrisen. For absoluttverdien av en matrise brukes både |A| og |A|abs.

Ønsker en å presisere elementene i matrisen skrives determinanten vanligvis ved å omgi elementene med loddrette streker:

 det A=
  \begin{vmatrix}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nm}
  \end{vmatrix}

Determinanten defineres ved hjelp av Laplaces formel eller ved Leibniz’ formel.

En kvadratisk matrises spor[rediger | rediger kilde]

Sporet til en kvadratisk matrise A skrives trA og er lik summen av elementene på diagonalen:

trA = \sum_{i=1}^n a_{ii} \,

Notasjonen er avledet av det engelske begrepet «trace», som betyr spor.

Sporet er også lik summen av egenverdiene.

Egenverdiene av en kvadratisk matrise[rediger | rediger kilde]

Utdypende artikkel: Egenvektor

Egenverdiene til en kvadratisk matrise er definert som nullpunktene til det karakteristiske polynomet, definert ved

p_A(\lambda) = det( \lambda I - A ) \, .

Her er I enhetsmatrisen med samme dimensjon n som A. Polynomet i λ har grad n, og tar en multiplisiteten med i betraktning vil matrisen ha n egenverdier.

Alternativt kan en definere en egenverdi som et tall λ som gjør at ligningen

Av = \lambda v  \, .

har en løsning ulik nullvektoren. Løsningsvektoren v kalles en egenvektor til A.

Ifølge Caley-Hamiltons teorem tilfredsstiller matrisen A sitt eget karakteristiske polynom, det vil si

p_A(A) = 0  \, ,

der høyre side nå er nullmatrisen.

Singulærverdier[rediger | rediger kilde]

Singulærverdiene til en matrise A med dimensjon ( n × m ) er kvadratrøttene til egenverdiene til produktet AAH dersom nm og til produktet AHA dersom mn.

En matrise A kan alltid skrives som et matriseprodukt

A = UDV^H,  \,

der D er en diagonalmatrise av singulærverdiene, og U og V er unitære matriser. Matriseproduktet UDVH kalles singulærverdi-dekomponeringa til matrisen .

Matrisenorm[rediger | rediger kilde]

Utdypende artikkel: Norm (matematikk)

Normen til en kvadratisk matrise A er et ikke-negativ reelt tall ||A|| definert med de følgende egenskapene

  • \|A\|> 0 hvis A \ne 0 og \|A\| =  0 hvis og bare hvis A=0 \, .
  • \|\alpha A\|=|\alpha| \|A\| for alle skalarer \alpha \,.
  • \|A+B\| \le \|A\|+\|B\| for alle matriser A og B.

Historie og etymologi[rediger | rediger kilde]

Matrisekonseptet har en lang historie, men selve begrepet matrise ble innført av James Joseph Silvester i 1848.

Stammen i det latinske ordet «matrix» er «mater» med betydning «mor». Ordet matrix ble i latin brukt som betegnelse på et avlsdyr av hunnkjønn, men gikk etter hvert over til å bety «livmor» og også «gravid kvinne». Gradvis fikk ordet også metaforisk betydning, brukt for å betegne «noe som er opphav til noe annet». En matrise i matematikk er opphav til geometriske og algebraiske transformasjoner.

Se også[rediger | rediger kilde]

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • Helmut Lütkepohl (1996). Handbook of Matrices. Chichester: John Wiley and Sons. ISBN 0-471-97015-8. 
  • Gene Golub, Charles van Loan (1996). Matrix computations. Baltimore: Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5414-8. 
  • Steven Schwartzman (1994). The words of mathematics. An etymological dictionary of mathematical terms used in English. Washington, DC: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-511-9.