Binær operasjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

En binær operasjon eller en binæroperasjon er i matematikk en operasjon som har to argumenter fra samme mengde og der også resultatet tilhører samme mengde. De grunnleggende aritmetiske regneartene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon for reelle tall er alle binære.

Den vanligste definisjonen av en binæroperasjon krever at resultatet ligger i samme mengde som argumentene. En del forfattere vil likevel bruke begrepet mer generelt om operasjoner som involverer to argument, uten hensyn til resultatet.[1] Ifølge den første definisjonen vil indreproduktet mellom to vektorer ikke være en binær operasjon, mens den vil være det ifølge den mer generelle definisjonen.

Formell definisjon[rediger | rediger kilde]

Formelt kan en definere en binær operasjon som en funksjon f: M × MM. Denne funksjonen har aritet lik 2, det vil si at den tar to argument.

Mengden M kalles definisjonsmengden.

Notasjon[rediger | rediger kilde]

Dersom (a,b) er et ordnet par i det kartesiske produktet M × M kan en skrive en generell binær operasjon \ast på formen

a \ast b = \ast (a,b) \in M  \quad \forall a,b \in M. \,

Når operatorsymbolet \ast i en binær operasjon plasseres mellom argumentene kalles notasjonen for infiks, og dette er den vanligste skriveformen. En prefiks- og en postfiks notasjon er også mulig, med operatorsymbolet plassert henholdsvis før eller etter det ordnede paret. Polsk notasjon bruker prefiks notasjon, mens omvendt polsk notasjon er basert på postfiks.

Veldefinerte binære operasjoner[rediger | rediger kilde]

En binær operasjon \ast er veldefinert dersom a = b og c = d medfører at \ast(a,c) = \ast(b,d). All vanlige binære operasjoner er veldefinerte.

Et eksempel på en binær operasjon som ikke er veldefinert er gitt ved det følgende definisjonen av en addisjonsoperasjon i mengden av rasjonale tall:

\frac{x}{y} + \frac{a}{b} = \frac {x + a}{y + b}. \,

At definisjonen ikke er veldefinert ser en ved å bruke x/y = 1/3 = 2/6 og a/b = 1/2 = 7/14.

Egenskaper til binære operasjoner[rediger | rediger kilde]

Kommutativitet[rediger | rediger kilde]

En binær operasjon \ast er kommutativ i M dersom den følgende relasjonen er oppfylt:

\ast (a,b) = \ast (b,a)   \quad \forall a,b \in M. \,

Addisjon av reelle tall er kommutativ, mens divisjon ikke er det.

Assosiativitet[rediger | rediger kilde]

En binær operasjon \ast er assosiativ i M dersom

\ast  (a, \ast(b,c)) = \ast(\ast(a,b),c)   \quad \forall a,b,c \in M. \,

Addisjon av reelle tall er assosiativ, mens subtraksjon ikke er assosiativ.

Enhetselement[rediger | rediger kilde]

En binær operasjon \ast har et enhetselement dersom det eksisterer et element e i M, slik at

\ast (a,e) = \ast (e,a) = a  \quad \forall a \in M. \,

Addisjon av reelle tall har enhetselementet 0. Subtraksjon har ikke noe enhetselement. Enhetselement kalles også for nøytralelement.

Invers[rediger | rediger kilde]

Dersom en binær operasjon \ast har enhetselement e, så kan et element a i M ha en invers betegnet med a-1, dersom

\ast (a,a^{-1}) = \ast (a^{-1},a) = e.

Det er mulig at enkelte element i M har en invers, mens andre ikke har det.

Idempotens[rediger | rediger kilde]

En binær operasjon \ast er idempotent dersom

\ast (a,a) = a  \quad \forall a \in M. \,

Operasjonen som tar maksimumsverdien av to reelle tall er idempotent, da max(a,a) = a.

Regnearter i aritmetikk[rediger | rediger kilde]

I aritmetikk regner man med fire grunnleggende regnearter, som alle er binære operasjoner:

Addisjon
  • Addend + addend = sum

Addisjon i mengden av reelle tall R er kommutativ, assosiativ og har enhetselementet 0.

Subtraksjon
  • Minuend − subtrahend = differanse

Subtraksjon i R er hverken kommutativ eller assosiativ, og operasjonen har ikke enhetselement.

Multiplikasjon
  • Faktor × faktor = produkt

Multiplikasjon i R er kommutativ og assosiativ, med enhetselement 1.

Divisjon
  • Dividend / divisor = kvotient

Divisjon i R er hverken kommutativ eller assosiativ, og operasjonen har ikke enhetselement.

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. s. 53. ISBN 0-00-434347-6.  [Binary operations]