Basis (matematikk)

En basis for et rom i matematikk er en mengde objekter som kan brukes til å generere alle objekter i rommet. Måten objektene genereres på fra objekter i basisen vil avhenge av strukturen i rommet, det vil si hvilke regler som gjelder for å kombinere objekter og på den måten danne nye objekter.

En basis er komplett i den forstand at alle objekter i rommet kan genereres ut fra basisen. En basis er også minimal i den forstand at den er en minste mengde som trengst for å generere alle andre objekter i rommet. Et objekt i basisen kan ikke genereres fra de andre objektene i basisen.

Et eksempel på en basis finner en i bruken av de tre primærfargene rød, grønn, blå i RGB-fargemodellen. I denne fargemodellen kombineres primærfargene ved additiv fargesyntese til å beskrive andre farger i fargespekteret. Alle tre primærfargene er nødvendige for å kunne generere hele fargespekteret. En basisfarge som rød kan ikke beskrives ved hjelp av de to andre fargene grønn og blå.

En basis for et vektorrom er er grunnlaget for definisjonen av dimensjon og koordinater. Ulike basis-definisjoner inngår i mange deler av matematikk, for eksempel i algebra, i funksjonalanalyse, i geometri og i topologi.

Algebraisk basis for et vektorrom

En algebraisk basis i et vektorrom er et sett av vektorer med egenskapen at alle andre vektorer i rommet kan uttrykkes som en lineærkombinasjon av vektorene i basisen. En slik basis kalles også en Hamel-basis. En vilkårlig vektor v i vektorrommet kan for eksemel skrives som lineærkombinasjonen

$v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \dots \,$

Vektorene v_i i basisen er kalt basisvektorer. Skalarene $\alpha_i$ kalles koordinater til vektoren med hensyn på den valgte basisen. En gitt basis sies å utspenne vektorrommet.

Det er ikke mulig å uttrykke en basisvektor som en lineærkombinasjon av andre basisvektorer. Ligningen

$0 = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \dots \,$

er mulig viss og bare viss alle koordinatene er lik null. Dette er det samme som å si at basisvektorene er lineært uavhengige.

En basis for vektorrommet R² er for eksempel gitt ved de to vektorene (1,0) og (0,1). En alternativ basis er gitt ved vektorene (1,0) og (1,1). Et vektorrom kan altså ha uendelig mange basiser, men alle basiser inneholder like mange vektorer. Den såkalte standardbasisen for det tre-dimensjonale eukliske rommet er gitt ved de tre vektorene

$i = (1,0,0) \qquad j = (0,1,0) \qquad k = (0,0,1) \,$

Dimensjonen til et vektorrom er lik antall vektorer i den algebraiske basisen. Dimensjonen kan være endelig eller uendelig.

Schauder-basis for et Banachrom

En Schauder-basis for et Banachrom er en tellbar mengde vektorer v_i med egenskapen at for enhver vektor v i vektorrommet, så eksisterer det en følge av skalarer $\beta_i$ slik at

$\lim_{i \to \infty} \begin{Vmatrix}v - \sum_{i=1}^n \beta_i v_i \end{Vmatrix} = 0$

Ikke alle Banachrom har en Schauder-basis.

Basis i en topologi

En basis i en topologi er et sett av åpne mengder slik at en hver annen åpen mengde i topologien kan uttrykkes som en union av mengdene i basisen. Basen er sagt å generere topologien. En og samme topoplogi kan ha flere alternative basiser.