Affin transformasjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Bilde av en bregne som viser selv-likhet.

En affin transformasjon (også kalt affin avbildning eller affin funksjon) er i matematikk en sammensetning av en lineær transformasjon og en translasjon. Geometrisk utgjør de affine transformasjonene alle operasjoner som opprettholder rette linjer.

Førstegradspolynomen på formen

f\,(x) = ax + b

utgjør et grunnleggende eksempel. Om b =0, har vi spesialtilfellet homoteti, som i sin tur er et spesialtilfelle av lineære transformasjoner. (Det faktum at grafen alltid er en linje gjør altså ikke at vilkårene for lineæaritet oppfylles bortsett fra når b = 0\,.)

For en vektor x i det n-dimensjonale euklidske rommet \mathbb{R}^n kan en affin transformasjon y uttrykkes på formen

y(x) = Ax + b

der A er n×n-matrisen for en lineær transformasjon og b er en translasjonsvektor. Også sammensetningen av to affine transformasjoner er én affin transformasjon, ettersom

C(Ax+b) + d = (CA)x + (Cb+d)

har samme form.

Gjennom å legge til en virtuell dimensjon kan en affin transformasjon utføres gjennom bare matrisemultiplikasjon. Dette utnyttes ofte i datamaskiner, f.eks. i OpenGL og Postscript.

Se også[rediger | rediger kilde]