Euklidsk rom

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Ethvert punkt i et tredimensjonalt euklidsk rom kan uttrykes ved tre koordinater.

Et euklidsk rom eller et kartesisk rom er i matematikk et reelt endeligdimensjonalt vektorrom der det er definert et såkalt euklidsk indreprodukt og en tilhørende norm.[1][2] Definisjonen av indreproduktet medfører at euklidske rom har egenskaper som svarer til de vi er fortrolig med fra Euklidsk geometri. Blant annet gjelder generaliseringer av Pythagoras’ læresetning og parallellogramloven.

Definisjonen av et Euklidske rom kan variere, og noen forfattere utvider definisjonen til også å omfatte komplekse tallmengder.[1] Alternativt defineres også euklidske rom mer generelt som et endelig- eller uendeligdimensjonalt (reelt) indreproduktrom, det vil si som et vektorrom utstyrt med et vilkårlig indreprodukt.[1][3] Denne alternative definisjonen er ikke så utbredt.[1]

Den reelle tallinjen R er et endimensjonalt euklidsk rom. Tilsvarende er planet R2 og rommet R3 henholdsvis et todimensjonalt og et tredimensjonalt euklidsk rom. Definisjonen av et euklidsk rom abstraherer egenskaper kjent fra disse rommene og gjør det også mulig å generalisere egenskapene til rom av høyere dimensjon. Et vilkårlig n-dimensjonalt euklidsk rom er isomorft med Rn, det vil si har samme struktur som Rn. Notasjonen En er vanlig brukt for et n-dimensjonalt euklidsk rom, sammen med Rn.

Løst kan en beskrive euklidske rom som mengder eller rom der de euklidske geometriske postulatene er oppfylt. Euklid av Alexandria var en gresk matematiker som levde rundt 300 f.Kr. Navnet kartesiske rom er oppkalt etter den franske matematikeren René Descartes.

Formell definisjon[rediger | rediger kilde]

En vektor x i et endelig n-dimensjonalt vektorrom kan alltid skrives på formen

\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i . \,

der ei i = 1,...n er et sett av basisvektorer, og xi i = 1,...n er koordinater med hensyn på basisvektorene.

Et euklidsk vektorrom er definert som et reelt endeligdimensjonalt vektorrom V der det følgende indreproduktet er definert[2]:

\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n.

Her er både x og y vektorer i V. Koordinatene til x er skrevet som xi og tilsvarende for y. Indreproduktet eller skalarproduktet kalles det euklidske skalarproduktet.

Fra indreproduktet følger definisjonen av den euklidske normen:

\|\mathbf{x}\| = \sqrt{\mathbf{x}\cdot\mathbf{x}} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}.

Definisjonen av normen generaliserer lengdebegrepet, slik vi er vant til å kjenne det. Definisjonen av indreproduktet gjør at egenskaper til vinkler mellom vektorer generaliseres.

Reelle koordinatrom[rediger | rediger kilde]

Vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon i planet

Et vilkårlig euklidsk vektorrom med dimensjon n er isomorft med et reelt koordinatrom med samme dimensjon n.[4] At rommene er isomorfe vil si at de har samme struktur, og en kan dermed studere strukturen i et vilkårlig euklidske rom ved å studere det tilsvarende koordinatrommet.

Et reelt n-dimensjonalt koordinatrom er definert som samlingen av alle koordinatvektorer på formen

\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n).

Koordinatvektorer kalles ofte også for n-tupler. Vektoren kan også oppfattes som et punkt. Rommet av n-tupler har dimensjonen n og betegnes vanligvis som Rn.

Vektorromsoperasjonene i Rn defineres ved


\begin{alignat}{2}
\mathbf{x} + \mathbf{y} &= (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n + y_n), \\

a\,\mathbf{x} &= (a x_1, a x_2, \ldots, a x_n).
\end{alignat}

Vektorrommet Rn har en standardbasis definert ved vektorene

\mathbf{e}_1 = (1, 0, \ldots, 0),
\mathbf{e}_2 = (0, 1, \ldots, 0),
\vdots
\mathbf{e}_n = (0, 0, \ldots, 1).

Matriseeksempel[rediger | rediger kilde]

Mengden av reelle 2 × 2 matriser utgjør et vektorrom, med den vanlige matriseoperasjonene for addisjon og skalarmultiplikasjon. Med passende definisjon av indreprodukt og norm kan dette bli et euklidsk vektorrom. En matrise A i dette vektorrommet kan skrives på formen


A =   \begin{bmatrix}    
    a_{11}& a_{12}  \\
    a_{21} & a_{22} 
 \end{bmatrix}.

Som basis kan en velge matrisene


\begin{alignat}{2}
E_1 &=   \begin{bmatrix}    
    1 & 0  \\
    0 & 0 
 \end{bmatrix} \qquad

E_2 =   \begin{bmatrix}    
    0 & 1  \\
    0 & 0 
 \end{bmatrix}  \\

E_3 &=   \begin{bmatrix}    
    0 & 0  \\
    1 & 0 
 \end{bmatrix} \qquad

E_4 =   \begin{bmatrix}    
    0 & 0  \\
    0 & 1 
 \end{bmatrix}  \\

\end{alignat}

Vektorrommet vil være et euklidsk vektorrom dersom det utstyres med det såkalte Froebenius-skalarproduktet, definert ved[5]


A \cdot B = a_{11} b_{11} + a_{12} b_{12} + a_{21}b_{21} + a_{22}b_{22}.

Den tilhørende Froebeniusnormen er definert ved


\| A \| = \sqrt {a_{11}^2 + a_{12}^2 + a_{21}^2 + a_{22}^2}.

Vektorrommet har dimensjon 4 og er altså isomorft med R4. Merk at matriserommet ikke er identisk med R4.

Egenskaper til euklidske rom[rediger | rediger kilde]

Vinkelen mellom vektorer definert fra indreproduktet

Vinkel[rediger | rediger kilde]

Fra indreproduktet kan en generalisere definisjonen av vinkelen mellom to vektorer, kjent fra klassisk geometri. Vinkelen θ mellom de to vektorene x og y kan defineres ved


\theta = \arccos \left(\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|}\right)
.

Her er arccos den trigonometriske funksjonen arcuscosinus. De to vektorene sies å være ortogonale dersom indreproduktet av de to er lik null, slik at vinkelen mellom de to er π/2 eller nitti grader.

Vinkelbegrepet er ikke særlig anvendelig i dimensjoner høyere enn 3. Derimot er begrepet ortogonalitet fundamentalt for alle indreproduktrom, inkludert de euklidske.

Metrikk[rediger | rediger kilde]

Fra definisjonen av den euklidske normen følger også definisjonen av den euklidske metrikken, det vil si avstandsmålet mellom to vektorer:


d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}.

Pythagoras' læresetning[rediger | rediger kilde]

For to ortogonal vektorer gjelder i alle euklidske rom Pythagoras' læresetning:

\left\| \mathbf{v} + \mathbf{w} \right\|^2 = \left\| \mathbf{v}  \right\|^2 +  \left\| \mathbf{w} \right\|^2  .

Parallellogramloven[rediger | rediger kilde]

For to vilkårlige vektorer i et euklidsk vektorrom gjelder parallellogramloven:

2\|\mathbf v\|^2 +2 \|\mathbf w\|^2 = \|\mathbf {v + w} \|^2 +\| \mathbf{v-w}\|^2 .

Euklidsk og ikke-euklidsk geometri[rediger | rediger kilde]

På kuleoverflaten vil vinklene i en trekant summeres til mer enn 180 grader, men lokalt oppfører kulen seg som et euklidsk rom.

Rundt 300 f.Kr. studerte den greske matematikeren Euklid forholdene mellom avstander og vinkler, først i planet (en idealisert flat overflate) og deretter i rommet. Et eksempel på et slikt forhold er at summen av vinklene i en trekant alltid er lik 180 grader. I dag er denne samlingen av forhold kjent som to- eller tredimensjonal euklidisk geometri.

I klassisk gresk geometri ble det euklidske planet og de tredimensjonale rommene definert ved bruk av en rekke aksiomer, og rommenes andre egenskaper ble utledet som teoremer. I moderne matematikk er det mer vanlig å definere euklidsk rom ved bruk av kartesiske koordinater og prinsippene for analytisk geometri. Dette gjør at man kan bruke verktøyene i algebra og matematisk analyse til å løse geometriske problemer, og har den fordelen at den enkelt generaliserer til euklidske rom med mer enn tre dimensjoner.

En avgjørende egenskap ved euklidsk rom er dets «flathet». Det eksisterer vektorrom som ikke er euklidske, for eksempel knyttet til geometri på en kuleoverflate. En trekant på en kule vil (når den er passende definert) ha vinkler som til sammen kan summeres til mer enn 180 grader.

Topologien til euklidsk rom[rediger | rediger kilde]

Ettersom et euklidsk rom er et metrisk rom, er det også et topologisk rom, med den naturlige topologien som følger av metrikken. Metrikktopologien på Rn kalles den euklidske topologien.[6]

En mengde er åpen i den euklidske topologien hvis og bare hvis mengden inneholder en åpen kule om ethvert av punktene. Den euklidske topologien er ekvivalent med produkttopologien for det kartesiske produktet (R × R × ... × R) , med n faktorer.

Et viktig resultat om topologien til Rn er Brouwers teorem for domeneinvarians: Enhver delmengde av Rn (med deltopologien) som er homeomorft med en annen åpen delmengde av Rn, er selv åpen. En umiddelbar følge av dette er at Rm ikke er homeomorft med Rn hvis mn – et intuitivt resultat som ikke så lett lar seg bevise.

Generaliseringer[rediger | rediger kilde]

Et Hilbertrom kan betraktes som en generalisering av et euklidsk rom til å omfatte også uendeligdimensjonale rom. Et Hilbertrom er et komplett indreproduktrom, det vil si at alle Cauchyfølger konvergerer i rommet.[7] Et Hilbertrom kan være definert med reelle eller komplekse vektorer. Dersom et euklidske rom defineres som et vilkårlig (reelt) indreproduktrom, så er dette sammenfallende med et (reelt) pre-Hilbertrom. Forskjellen med et Hilbertrom er kravet om kompletthet.

I moderne matematikk er euklidsk rom prototypen for andre mer kompliserte geometriske objekter. Eksempelvis er en glatt mangfoldighet et Hausdorffrom, som er lokalt diffeomorft med euklidsk rom. Diffeomorfier bevarer ikke avstand og indreprodukt, så disse begrepene går tapt på en glatt mangfoldighet. Tilføyer man imidlertid mangfoldigheten et glatt indreprodukt på mangfoldighetens tangentrom, får en det som kalles en riemannsk mangfoldighet. Med andre ord er en riemannsk mangfoldighet et rom og resultat av å deformere og sammenlappe euklidske rom. Et slikt rom har også begreper som avstander og vinkler, men oppfører seg på en krum ikke-euklidsk måte. Den enkleste riemannske mangfoldigheten består av Rn med et konstant indreprodukt, og det er i seg selv stort sett identisk med det euklidske rom.

Illustrasjon av hvordan masse endrer romtidens krumning.

Endrer man det euklidske rommet slik at dets indreprodukt blir negativt i en eller flere retninger, får en frem det som kalles pseudoeuklidsk rom. Glatte mangfoldigheter basert på disse rommene kalles pseudoriemannske mangfoldigheter. Deres kanskje mest kjente anvendelse er i relativitetsteorien, hvor materieløst romtid representeres ved et flatt pseudoeuklidsk rom kalt Minkowskirommet, og hvor romtider med materie representeres ved andre pseudoriemannske mangfoldigheter og tyngdekraften svarer til krumningen av en slik mangfoldighet.

Vårt univers, som er underlagt relativitetsteorien, er ikke euklidsk. Dette er avgjørende i teoretiske betraktninger i astronomi og kosmologi, samt i praktiske problemstillinger som global posisjonering og navigasjon av fly. Ikke desto mindre kan en euklidsk modell brukes i løsningen av mange andre problemer med tilstrekkelig presisjon.

Se også[rediger | rediger kilde]

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ a b c d E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. s. 200. ISBN 0-00-434347-6.  [Euclidean space]
  2. ^ a b W.Rudin: Principles of mathematical analysis, s.16
  3. ^ R.D.Milne: Applied functional analysis..., s.181
  4. ^ R.D.Milne: Applied functional analysis..., s.34
  5. ^ Gene Golub, Charles van Loan (1996). Matrix computations. Baltimore: Johns Hopkins University Press. s. 14. ISBN 0-8018-5414-8. 
  6. ^ John G. Hocking, Gail S. Young (1961). Topology. Mineola, N.Y.: Dover Publications. s. 10. ISBN 0-486-65676-4. 
  7. ^ R.D.Milne: Applied functional analysis..., s.184

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • Walter Rudin (1953, 1964, 1976). Principles of mathematical analysis. Singapore: McGraw-Hill International Book Co. ISBN 0-07-085613-3. 
  • Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6.