Egenvektor

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk

I matematikk er en egenvektor til en lineær transformasjon T: VV et element i vektorrommet V som ikke endrer retning når den avbildes av transformasjonen. Egenverdien er et uttrykk for hvor mye egenvektoren strekkes av den lineære transformasjonen. En egenverdi og en egenvektor opptrer i samhørende par, og en gitt lineær transformasjon kan ha ingen eller mange slike par av egenverdier/egenvektorer.

Begrepet egenløsning blir brukt til å referere til både egenverdi og egenvektor. Dersom vektorrommet V er et rom av funksjoner brukes også navnet egenfunksjon synonymt med egenvektor. Retninger bestemt av egenvektorer kalles av og til egenretninger. Å finne sammenhørende verdier for egenverdi og egenvektor kalles å løse et egenverdiproblem.

Egenverdier og egenvektorer spiller en svært viktig rolle i studiet av lineære transformasjoner, blant annet for å kartlegge hvilke egenskaper til transformasjonen som er uavhengig av valg av basis i definisjonsområdet og verdimengden. Mange problemstillinger i anvendt matematikk og fysikk kan formuleres som egenverdiproblem, for eksempel beskrivelse av svingninger i en membran.

Formell definisjon[rediger | rediger kilde]

Egenverdi og egenvektor[rediger | rediger kilde]

En egenverdi og egenvektor til en lineær transformasjon T: VV er et samhørende par av en skalar verdi \lambda og et ikkenull-element x i vektorrommet V som oppfyller ligningen

T(x) = \lambda x \,

Dersom x er en egenvektor, så vil også kx være det, der k er en skalar. Egenvektoren med lengde 1 er en enhetsegenvektor.

Absoluttverdien til den største egenverdien, dersom en slik verdi eksisterer, kalles spektralradien til transformasjonen.

Egenrom[rediger | rediger kilde]

Til en og samme egenverdi \lambda kan det eksisterer flere egenvektorer. Rommet utspent av egenvektorene til en gitt egenverdi kalles for egenrommet svarende til egenverdien. Dimensjonen til dette rommet kalles for den geometriske multiplisiteten til egenverdien.

Egenrommet svarende til egenverdien \lambda er lik nullrommet til transformasjonen (T\lambdaI).

Lineære transformasjoner på endeligdimensjonale rom[rediger | rediger kilde]

Dersom vektorrommet V har endelig dimensjon, så har den lineære transformasjonen en matriserepresentasjon, og definisjonen av egenløsning for en lineær transformasjon og for en matrise er sammenfallende.

For en kvadratisk matrise A er egenverdiene en løsning av det såkalte karakteristiske polynomet, definert ved

p_A(\lambda) = det( \lambda I - A ) \, .

Her er I enhetsmatrisen med samme dimensjon n som A. Polynomet i \lambda har grad n, og tar en multiplisiteten med i betraktning vil alltid matrisen ha n komplekse egenverdier. Faktorisert kan det karakteristiske polynomet skrives som

p_A(\lambda) = ( \lambda - \lambda_1)^{d_1}  ( \lambda - \lambda_2)^{d_2} \dots ( \lambda - \lambda_k)^{d_k}    \, .

Her er \lambda_i en egenverdi, og di kalles den algebraiske multiplisiteten til denne. Sammenhengen mellom den algebraiske om den geometriske multiplisiteten til en egenverdi er komplisert, men den geometriske multiplisiteten er alltid mindre eller lik den algebraiske.

Eksempel på egenløsninger[rediger | rediger kilde]

Eksempel for endelig-dimensjonale rom[rediger | rediger kilde]

Gitt en transformasjon T: R2R2 definert ved den følgende matrisen


A =   \begin{bmatrix}    
    1 & 2 \\
    3 & 0  
 \end{bmatrix}

Transformasjonen har egenverdier lik 3 og -2, med tilhørende egenvektorer (1,1) og (2,-3). For det første paret gjelder altså at


\begin{bmatrix}    
    1 & 2 \\
    3 & 0  
 \end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}    
    1 \\
    1  
 \end{bmatrix} = 
3  
\begin{bmatrix}    
    1 \\
    1  
 \end{bmatrix}

Eksempel for uendelig-dimensjonale rom[rediger | rediger kilde]

Gitt en transformasjon T definert på mengden av reelle funksjoner på intervallet [0,2π] som er to ganger deriverbare, og som har egenskapen f(0) = f(2π) = 0. La T avbilde enhver funksjon på den andrederiverte av seg selv, det vil si

T(f) = f'' \,

Transformasjonen har egenverdier lik k = 1/n (n = 1,2,...) og egenfunksjoner f(x) = sin kx.

Eksempel på ikke-eksistens av egenløsninger[rediger | rediger kilde]

Det er ikke gitt at en lineær transformasjon har egenløsninger. Et eksempel på en transformasjon som ikke har egenløsning er gitt ved den følgende:

La V være vektorrommet av alle polynomfunksjoner. Definer transformasjonen T på dette rommet ved

T(p) = \int p(t) dt \,

Siden integrasjon av et polynom øker graden til polynomet med én eksisterer det ingen egenløsninger til denne transformasjonen.

Eksempel på eksistens / ikke-eksistens[rediger | rediger kilde]

Gitt en transformasjon T definert ved matrisen


A =   \begin{bmatrix}    
    0 & -1 \\
    1 & 0  
 \end{bmatrix}

Dersom T er definert som en transformasjon på mengden av reelle vektorer R2, så eksisterer det ingen egenløsninger. Definert som en transformasjon på mengden av komplekse vektorer C2 så eksisterer egenverdiene i og (-i) med de tilhørende egenvektorene (-1,i) og (1,i). Her er i den imaginære enheten.

Egenskaper[rediger | rediger kilde]

I det følgende, la \lambda og x være samhørende egenverdi og egenvektor til transformasjonen T: VV.

  • Egenverdiene er uavhengige av valg av basis i vektorrommet V.
  • Dersom inversen T -1 eksisterer, så har denne en egenvektor lik x og egenverdien (1/\lambda).
  • Transformasjonen T 2 har en egenvektor lik x og egenverdien \lambda2.
  • En Hermitsk matrise har kun reelle egenverdier. Det samme gjelder for en reell symmetrisk matrise. Egenvektorene er parvis ortogonale.
  • En idempotent matrise er en kvadratisk matrise der A^2 = A, og for en slik matrise er alle egenverdiene lik 0 eller 1.
  • En nilpotent matrise er en kvadratisk matrise der A^k = 0 for et heltall k, og en slik matrise har alle egenverdier lik 0.
  • For en reell ortogonal matrise er alle egenverdiene lik -1 eller 1.
  • For en n × n matrise er determinanten lik produktet av de n egenverdiene, og sporet er lik summen av egenverdiene.

Egenverdier til similære matriser[rediger | rediger kilde]

To matriser A og B er similære dersom de representerer den samme lineære transformasjon T: VV med hensyn på to ulike basis-sett for V. Det eksisterer da en ikke-singulær matrise M slik at

A = M^{-1}BM \,

Similære matriser har same sett av egenverdier.

Dersom egenvektorene utspenner rommet V, så eksisterer det en diagonalmatrise D med diagonalelementer lik egenverdiene til T, som er similær med A. Matrisen M er da definert med søyler lik egenvektorene, og D har forma diag(\lambda1,\lambda1,\lambda1,...\lambda2,\lambda2, .....\lambdak) . Hver egenverdi \lambdai opptrer gi ganger, der gi er den geometriske multiplisiteten til egenverdien. Dette blir ofte uttrykt som at matrisen kan diagonaliseres.

En reell symmetrisk matrise vil alltid kunne diagonaliseres, og alle egenverdiene på diagonalen er ulike. Matrisen M av egenvektorer er i tillegg ortogonal.

Generaliseringer[rediger | rediger kilde]

Singulærverdier[rediger | rediger kilde]

For ikke-rektangulære matriser representerer singulærverdiene en generalisering av egenverdi-konseptet. For en vilkårlig matrise kan en vise at det alltid vil eksistere to unitære matriser U = Unn og V = Vmm slik at

U^TAV = diag(\sigma_1, \sigma_2, .....,\sigma_p) \,

der p er lik den minste av verdiene m og n. Diagonalelementene \sigmai kalles singulærverdiene til matrisen. Singulærverdiene er alltid ikke-negative.

Singulærverdiene for en matrise A = Anm er lik kvadratrøttene til egenverdiene til matriseproduktet (AHA) dersom m er større eller lik n og ellers lik egenverdiene til (AAH). Her er bokstaven H brukt for å markere konjungert transponering av en matrise.

Spektralteori[rediger | rediger kilde]

Spekteret til en lineær transformasjon er mengden av skalarer \lambda som gjør at inversen

(T - \lambda I)^{-1} \,

ikke eksisterer eller ikke er begrenset. Skalarene inneholdt i spekteret kalles spektralverdier . Mengden av egenverdier til T er inneholdt i spekteret til T og blir i denne sammenhengen kalt for punktspekteret til T.

Studiet av spektralverdiene til en lineær transformasjon og egenskapene til disse blir kalt spektralteori.

Generelt kan en transformasjon ha spektralverdier som ikke er egenverdier. For en matrise er spekteret identisk med mengden av egenverdier.

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]

  • EISPACK – Fortran-bibliotek for løsning av egenverdiproblem. Besøkt 24. april 2010.
  • LAPACK – Fortran90-bibliotek med rutiner for løsning av egenverdiproblem. Besøkt 24. april 2010.

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • Fr Fabricius-Bjerre (1949, 1968, 1977). Lærebog i geometri. I: Analytisk geometri, lineær algebra. Lyngby: Polyteknisk forlag. ISBN 97-502-0440-8 . 
  • Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6. 
  • Helmut Lütkepohl (1996). Handbook of Matrices. Chichester: John Wiley and Sons. ISBN 0-471-97015-8. 
  • Gene Golub, Charles van Loan (1996). Matrix computations. Baltimore: Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5414-8.