Pythagoras’ læresetning

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
En rettvinklet trekant med katetene a og b, og hypotenusen c

Pythagoras’ læresetning er en av de mest grunnleggende læresetninger innen euklidsk geometri og kan uttrykkes som:

«I en rettvinklet trekant er summen av kvadratene på katetene lik kvadratet på hypotenusen

De to katetene er de korteste sidene i trekanten, og hypotenusen er den lengste. Kaller en lengdene av katetene henholdsvis a og b, samt lengden av hypotenusen for c, så kan Pythagoras' læresetning uttrykkes som ligningen:

a^2 + b^2 = c^2\!\,

Pythagoras’ læresetning har sitt navn etter den greske matematikeren Pythagoras som ansees å være den som oppdaget og beviste setningen.[1] Blant matematikere trekkes dette i tvil. Lenge før Pythagoras’ tid synes sammenhengen i Pythagoras’ læresetning å være kjent både i Babylon, Kina og India, men uten at en har kunnet påvise at de beviste teoremet.

Bevis[rediger | rediger kilde]

Figur fra Euklids Elementer
Illustrajon med hjelpelinjer
Animasjon av Euklids bevis

Pythagoras’ læresetning antas å være et av de teorem innen matematikken som er bevist på flest måter. Boken Pythagorean Proposition av Elisha Scott Loomis inneholder hele 367 bevis.

Euklids bevis[rediger | rediger kilde]

I Euklids Elementer, teorem 47 i bok 1 finner en det mest klassiske bevis for Pythagoras’ teorem.

La A, B, C være hjørnene i en rettvinklet trekant med den rette vinkel ved A som vist på figuren. Vi tegner en linje fra A vinkelrett på den motstående side, hypotenusen BC, og videre til motstående side av hypotenusens kvadrat. Denne linjen deler kvadratet på hypotenusen i to rektangler. Vi skal vise at hver av rektanglene har et areal tilsvarende hver av kvadratene på katetene AB og AC.

Før vi går videre, trengs tre kjente lemma:

  1. Hvis to trekanter er slik at to sider i den ene er lik tilsvarende to sider i den andre og den mellomliggende vinkel er lik i begge, så er trekantene kongruente.
  2. Arealet av en gitt trekant er lik halvparten av et hvilket som helst parallellogram med samme grunnlinje og høyde.
  3. Arealet av en kvadrat er lik produktet av to sider.
  4. Arealet av et tilfeldig rektangel er lik produktet av to tilstøtende sider. (Gitt ved lemma 3).

For å lette tankegangen i dette beviset kan en tenke seg at kvadratet på det øvre, venstre kvadratet omformes til et parallellogram med samme størrelse. Dette dreies og omformes til henholdsvis det venstre og det høyre rektangelet i det nedre kvadratet.[2]

Beviset er som følger:

  1. La ACB være en rettvinklet trekant med den rette vinkel gitt ved CAB.
  2. På hver av sidene BC, AB, CA tegnes kvadratene CBDE, BAGF og ACIH.
  3. Fra A trekkes en linje parallell med BD og CE. Den vil krysse BC og DE i rett vinkel ved henholdsvis K og L.
  4. Forbind CF og AD. Derved dannes trekantene BCF og BDA.
  5. Vinklene CAB og BAG er begge rette. Derfor er C, A og G på samme linje. Tilsvarende for B, A og H.
  6. Vinkelen CBD og FBA er begge rette. Dermed er vinkel ABD lik FBC siden begge er summen av en rett vinkel og den felles ABC.
  7. Siden AB og BD er tilsvarende like med FB og BC, må trekanten ABD være kongruent med trekanten FBC.
  8. Siden A er kollineær med K og L må rektangelet BDLK være dobbelt så stort som trekanten ABD.
  9. Siden C er kollineær med A og G må kvadratet BAGF være dobbelt så stort som trekanten FBC.
  10. Dermed må rektangelet BDLK ha samme areal som kvadratet BAGF = AB2.
  11. Tilsvarende kan det vises at rektangelet CKLE må ha samme areal som kvadratet ACIH = AC2.
  12. Ved å addere disse to resultatene: AB2 + AC2 = BD × BK + KL × KC
  13. Siden BD = KL, BD* BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
  14. Dermed er AB2 + AC2 = BC2 siden CBDE er et kvadrat.

Dette beviset er gitt i Euklids Elementer som teorem 1.47.[3] Dette beviset har vært i bruk i norsk realskole. Det er unødvendig komplisert for å bevise Pythagoras’ læresetning, men kan være en egnet øvelse i matematisk tenkning.

Bevis ved bruk av likedannede trekanter[rediger | rediger kilde]

Bevis ved bruk av likedannede trekanter

Dette beviset er, som de fleste, basert på proporsjonene av sidene i to likedannede trekanter.

La ABC representere en rettvinklet trekant med den rette vinkel ved C slik figuren viser. Vi trekker høyden fra hjørnet C og kaller fotpunktet på siden AB for H. Det nye trianglet ACH er likedannet med triangelet ABC da de begge er rettvinklede per definisjon av høyden og de deler vinkelen ved A. Derved er også den siste vinkelen lik og trekantene likedannede. Tilsvarende er triangelet CBH likedannet med ABC. Dette kan uttrykkes ved følgende forhold:

 \frac{a}{c}=\frac{HB}{a} \mbox{   og   } \frac{b}{c}=\frac{AH}{b}\,

Disse kan skrives som

a^2=c\times HB \mbox{   og   }b^2=c\times AH \,

Ved å summere disse to likheter:

a^2+b^2=c\times HB+c\times AH=c\times(HB+AH)=c^2 \,\!

Med andre ord: Pythagoras’ teorem:

a^2+b^2=c^2\,\!

Garfields bevis[rediger | rediger kilde]

Garfields bevis

James A. Garfield (senere president i USA) er tilkjent æren for dette moderne, algebraiske bevis:[4]

Arealet av et trapes er gitt ved.

A=\frac{h}{2}(s_1 + s_2)

hvor h er høyden (avstanden mellom de parallelle sidene) og s_1 og s_2 er lengden av de parallelle sidene.

Da er arealet av trapeset vist på figuren til høyre:

A=\frac{(a+b)}{2}(a + b) = \frac{(a+b)^2}{2}

Idet triangel 1 og triangel 2 begge har et areal:  \frac{ab}{2} .

og triangel 3 har areal  \frac{c^2}{2} som også er halvparten av kvadratet på hypotenusen c.

Da er arealet av trapeset:

A = \frac{ab}{2} + \frac{ab}{2} +  \frac{c^2}{2} = ab +  \frac{c^2}{2}

De to arealene må være like. Derved er

\frac{(a+b)^2}{2} = ab +  \frac{c^2}{2}

\frac{a^2 + 2ab + b^2}{2} = ab +  \frac{c^2}{2}

 a^2 + 2ab + b^2 \mathbf{=} 2ab +  c^2

Dermed er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene på katetene:

  a^2 + b^2 \,=\, c^2

Bevis ved reorganisering[rediger | rediger kilde]

Bevis av Pythagoras' teorem ved rearrangering

Et bevis med bruk av rearrangering er vist i animasjonen til venstre. I illustrasjonen er arealet av det store kvadratet (a + b)2. I begge er arealet av fire identiske triangler tatt bort. Det resterende areal: a2 + b2 og c2 er like. Q.E.D.

Algebraisk bevis[rediger | rediger kilde]

Algebraisk bevis med fire identiske triangler i et større kvadrat.

Et algebraisk bevis kan gjennomføres ved å betrakte fire identiske triangler plassert i hjørnene til et større kvadrat. Arealet av hver av de fire trianglene er gitt ved:

\frac{1}{2} AB.

Siden motstående vinkel til A-siden og B-siden i hver av disse trianglene er komplementære vinkler, må det blå arealet være et kvadrat med areal lik C2. Det samlede areal er gitt ved:

4\left(\frac{1}{2}AB\right)+C^2.

Idet lengden av sidene i det store kvadratet kan også uttrykkes som A + B og areal (A + B)2, som kan skrives som A2 + 2AB + B2.

Da er:

A^2+2AB+B^2=4\left(\frac{1}{2}AB\right)+C^2.\,\!
A^2+2AB+B^2=2AB+C^2\,\! (Multiplikasjon med 4)
A^2+B^2=C^2\,\! (Subtraksjon av 2AB)

Det inverse av teoremet[rediger | rediger kilde]

Det inverse teoremet gjelder også:

For tre vilkårlige positive tall a, b og c der a2 + b2 = c2 finnes det et triangel med sider a, b og c. Ethvert slikt triangel er et rett triangel med den rette vinkel mellom sidene med lengde a og b.

Dette utsagnet finnes også i Euklids Elementer. Det kan bevises ved bruk av cosinussetningen, eller som følger:

La ABC være et triangel med sidelengder a, b og c slik ata2 + b2 = c2. Vi konstruerer et nytt, rett triangel med den rette vinkel mellom sidene med lengde a og b. At hypotenusen i det nye trianglet har lengde c følger av Pythagoras’ læresetning. Siden begge triangler har sider med lengde a, b og c er de kongruente og følgelig må de ha de samme vinkler i hjørnene. Derav følger at vinkelen mellom sidene av lengde a and b i vårt første triangel, er en rett vinkel.

En konsekvens av den inverse pytagoreiske læresetning gir oss en enkel metode for å bestemme om et trianglet er rett, spisst eller butt. Gitt at c er den lengste av sidene:

  • Hvis a2 + b2 = c2, så er triangelet rett.
  • Hvis a2 + b2 > c2, så er trianglet spisst (alle vinkler er spisse).
  • Hvis a2 + b2 < c2, så er triangelet butt (én vinkel er butt).

Dette kan også uttrykkes slik:

I et triangel med tre spisse vinkler gjelder: α + β > γ. Da er a2 + b2 > c2.

I et triangel med en butt vinkel gjelder: α + β < γ. Da er. a2 + b2 < c2.

Edsger Dijkstra har fremsatt en sats om spisse, rette, and butte triangler på denne måten ved bruk av fortegnsfunkjonen:

sgn(α + β − γ) = sgn(a2 + b2 − c2)

hvor α er vinkelen med motstående side a, β er vinkelen med motstående side b og γ er vinkelen med motstående side c.[5]

Betydning og bruk av læresetningen[rediger | rediger kilde]

Pytagoreiske tripler[rediger | rediger kilde]

Et pytagoreisk trippel består av tre positive heltall a, b, og c slik at a2 + b2 = c2. Med andre ord representerer et pytagoreiske trippel sidene i en rettvinklet trekant der alle tre sidene har heltallsverdier. Megalittiske monumenter fra Nord-Europa viser at slike tripler var kjent allerede før skrivekunsten. Det er vanlig å skrive slike tripler som (a, b, c).

Mens (3, 4, 5) omtales som et primitivt trippel, er (6, 8, 10) ikke et primitivt trippel. En ser at en kan dividere alle ledd i (6, 8, 10) med 2 og komme til (3, 4, 5).

Et hendig trippel er (3, 4, 5) multiplisert med 20, slik at man får det ikke-primitive trippel: (60, 80, 100). En kan nå sjekke en vinkel i et innvendig hjørne, for eksempel i et rom, ved å avsette henholdsvis 60 cm langs den ene veggen, 80 cm langs den andre. Om nå meterstokken passer mellom merkene, er vinkelen rett. Dersom vinkelen ikke er rett, kan en «ta den med» som f.eks. 60, 78, 100. Dette er en litt stump vinkel og tallene er ikke lenger et pytagoreisk trippel.

Et gammelt eksempel på kjennskapet til pytagoreiske tripler er en tauring med 12 knuter. Knutene er ekvidistante. Ved å strekke ut tauet kan en danne en trekant med sidene 3,4,5 og danne en rett vinkel.

Primitive pytagoreiske tripler opp til 100[rediger | rediger kilde]

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Eksistensen av irrasjonale tall[rediger | rediger kilde]

En av konsekvensene av Pythagoras’ teorem er at en kan konstruere inkommensurable lengder (ie. forholdet mellom dem er et irrasjonalt tall). I et triangel med kateter lik 1, er hypotenusen lik kvadratroten av 2. At kvadratroten av to er et irrasjonalt tall, kan vises ved et enkelt algebraisk bevis, se Kvadratroten av 2. Beviset på at kvadratroten av 2 er et irrasjonalt tall stod i motsetning til oppfatningen om at alt var rasjonalt. Ifølge legenden ble Hippasos druknet som en konsekvens av at han, som den første, beviste at kvadratroten av to er irrasjonalt.[6]

Distanse i et kartesisk koordinatsystem[rediger | rediger kilde]

Avstandsformelen i et kartesiske koordinater er utviklet ut fra Pythagoras’ teorem:

Hvis (x0, y0) og (x1, y1) er punkter i planet, så er distansen mellom dem, også kalt den euklidske avstanden, gitt ved:

 \sqrt{(x_1-x_0)^2 + (y_1-y_0)^2}.

Mer generelt vil, i et euklidsk n-dimensjonalt rom, den euklidske avstanden mellom to punkter være: \scriptstyle A\,=\,(a_1,a_2,\dots,a_n) og \scriptstyle B\,=\,(b_1,b_2,\dots,b_n), gitt ut fra Pythagoras’ teorem, ved:

\sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2}.

Generalisering[rediger | rediger kilde]

Likedannede figurer[rediger | rediger kilde]

En generalisering med likedannede triangler.
Grønt areal = rødt areal

Pythagoras læresetning ble generalisert av Euklid i hans verk Elementene som:

Sitat Hvis en reiser likedannede figurer på sidene av et rett triangel, så er summen av arealene på de to minste sidene lik arealet av figuren på den største siden. Sitat

Cosinussetningen[rediger | rediger kilde]

Pythagoras’ teorem er et spesialtilfelle av et mer generelt teorem som omhandler lengden av sidene i et vilkårlig triangel, kjent som cosinussetningen eller den utvidede pytagoreiske læresetning:

a^2+b^2-2ab\cos{\theta}=c^2, \,
hvor θ er vinkelen mellom sidene med lengde a og b.
Når θ er 90 grader, er cos(θ) = 0. Dette reduserer formelen til den vanlige pytagoreiske læresetning.

Indreprodukt[rediger | rediger kilde]

Gitt to vektorer v og w i et komplekst indreprodukt. Da kan Pythagoras’ sats ta følgene form:

\|\mathbf{v}+\mathbf{w}\|^2 = \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2 + 2\,\mbox{Re}\,\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle.

eller, dersom v and w er ortogonale: ||v + w||2 = ||v||2 + ||w||2 Det inverse er imidlertid ikke alltid sant.

Gjennom matematisk induksjon kan det foregående utvides til et sett av parvis ortogonale vektorer:

La v1v2, ..., vn være vektorer i et indreprodukt slik at <vivj> = 0 for 1 ≤ i < j ≤ n. Da er:

\left\|\,\sum_{k=1}^{n}\mathbf{v}_k\,\right\|^2 = \sum_{k=1}^n \|\mathbf{v}_k\|^2.

En ytterligere generalisering er kjent som Parsevals sats.

Dersom formen ovenfor med vektorer anvendes i et tre-dimensjonalt rom kan dette utformes slik. Hvis linjene AB og BC danner en rett vinkel i B og linjene BC og CD danner en rett vinkel i C og linjen CD står vinkelrett på planet som inneholder linjene AB og BC, da er summen av kvadratene dannet av lengden av AB, BC og CD lik kvadratet av lengden av AD.

Guas teorem[rediger | rediger kilde]

En annen generalisering av Pythagoras’ læresetning til tre dimensjoner er gitt i de Guas teorem etter Jean Paul de Gua de Malves:

Hvis et tetraeder har et rettvinklet hjørne (hjørne som i en kubus), så er kvadratet av arealet på den motstående side til den rette vinkel lik summen av kvadratet av arealene på de andre tre sidene.

Pythagoras’ læresetning innen ikke-euklidsk geometri[rediger | rediger kilde]

Pythagoras’ læresetning er basert på aksiomer innen euklidsk geometri. Innen ikke-euklidsk geometri holder ikke den euklidske formen.

For eksempel innen sfærisk geometri: Alle tre sidene i den rettvinklede trekanten som danner overflaten på en oktant i en enhetskule har sider lik \scriptstyle \pi/2. Dette bryter med det euklidske pytagoreiske teorem ved at \scriptstyle (\pi/2)^2+(\pi/2)^2\neq (\pi/2)^2.

Dette innebærer at innen ikke-euklidsk geometri må Pythagoras’ teorem uttrykkes annerledes enn den klassiske euklidske formen. Det er to aktuelle eksempler: innen sfærisk geometri og inne hyperbolsk geometri.

For enhver rettvinklet trekant på en kule med radius R kan Pythagoras’ teorem skrives som:

 \cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\,\cos \left(\frac{b}{R}\right).

Ved å uttrykke cosinusfunksjonen som en maclaurinrekke kan en vise at når radien R øker mot uendelig, vil den sfæriske formen på Pythagoras’ teorem gå mot den euklidske formen (idet kuleflaten nærmer seg en plan flate).

Innen hyperbolsk geometri kan en vise at teoremet kan uttrykkes som:

 \cosh c=\cosh a\,\cosh b

Ved å rekkeutvikle den hyperbolske funksjonen som en maclaurinrekke vil (når man tar med de to første leddene) \cosh x \approx 1 + x^2/2. Det kan da vises at når et hyperbolsk triangel blir lite (altså når a, b og c alle går mot null), vil den hyperbolske formen av teoremet gå mot den euklidske formen.

Innen kompleks aritmetikk[rediger | rediger kilde]

Pythagoras’ formel gjelder for å finne avstanden mellom to punkter i kartesisk koordinatsystem og er gyldig dersom alle koordinater er reelle tall: avstanden mellom punktene (ab) og (cd) er  \sqrt{(a - c)^2 + (b - d)^2}\,.

Med komplekse koordinater fungerer teoremet ikke. For eksempel vil avstanden mellom punktene {0,1} og {i,0} komme ut som 0, noe som er et reductio ad absurdum. Dette fordi formelen baserer seg på Pythagoras’ teorem der alle bevis baseres på arealer av geometriske figurer der grenselinjene skiller mellom en innside og en utside, noe som ikke holder dersom koordinatene er komplekse.

For avstanden mellom punktene (ab) og (cd) er det vanlig å la:

(p og q være den reelle og den imaginære del av (a − c))
(r og s være den reelle og den imaginære del av (b − d))

\begin{align}
& {}\qquad \sqrt{(p+iq)\overline{(p+iq)} + (r+is)\overline{(r+is)}} \\
& = \sqrt{(p+iq)(p-iq) + (r+is)(r-is)} \\
& = \sqrt{p^2 + q^2 + r^2 + s^2}
\end{align}

hvor  \overline{z}\, den komplekse konjugasjon av  z . For eksempel ville distansen mellom punktene (0, 1) og (i, 0) bli 0 hvis en ikke tok hensyn til kompleks konjugasjon, mens avstanden er:

 \sqrt{i\cdot\overline{i} + 1 \cdot\overline{1}} = \sqrt{2} \,

Historie[rediger | rediger kilde]

Historien om teoremet kan deles i fire distinkte punkter: kunnskapen om pytagoreiske tripler, kjennskapen til sammenhengen mellom sidene i en rett trekant, kjennskap til sammenhengen mellom vinklene og teoremets bevis.

Megalittiske monumenter fra ca. 2500 år f.Kr. i Egypt og Nord-Europa inneholder rette triangler med heltallssider.[7] Den nederlandske matematikeren Bartel Leendert van der Waerden gjetter på at disse pytagoreiske triplene ble funnet algebraisk.[8]

Et papyrus skrevet mellom 2000 og 1786 f.Kr. i Mellomriket i Egypt er i dag kjent som Berlinpapyrus 6619. Her fremsettes oppgaver der tripler inngår som løsning.

En tavle i kileskrift fra Hammurabidynastiet (1829–1530 f.Kr.) i Babylon finnes i British museum (artikkel 85196). Her er gjengitt et geometrisk problem med løsning utført i det sexagesimale tallsystem:[9]

En stav med lengde 0;30 synker 0;6 ved at foten flyttes til siden. Hvor langt til siden flyttes fotpunktet?
Et Pythagorasproblem fra ca. 1700 f.Kr.
Originalteksten i oversettelse Kommentarer
En stav: 0;30 GAR 30/60 GAR = 1/2 GAR ≈ 3 m lang.[10]
foroven er den sunket 0;6 Når toppen har sunket 6/60
nedentil har den fjernet seg ..hvor langt har foten fjernet seg fra vertikalen?
0;30 kvadrere: 0;15, skjønner? (30/60)2 = 900/3500 = 15/60
trekke 0;6 fra 0;30: 0;24, skjønner? -6/60 + 30/60 = 24/60
0;24 kvadrere: 0;9,36, skjønner? (24/60)2 = 576/3600 = 0;9,36
trekk 0;9,36 fra 0;15: 0;5,24, skjønner? - 576/3600 + 15/60 = 324/3600 = 0;5,24
0;5,24 har kvadratroten? 0;18 (324/3600)-2 = 18/60 = 0;18
0;18 GAR har den fjernet seg ved bakken

Dette kan skrives som:

0;18^2 = 0;30^2 - 0;24^2\, eller  a^2 = c^2 - b^2\, som gir: a^2 + b^2 = c^2\,.

Fra denne kilden fremgår imidlertid ikke om babylonerne kjente noe matematisk bevis.

Kileskrifttavlen Plimpton 322 fra Mesopotamia er skrevet i perioden 1822-1784 f.Kr og antas å stamme fra den babylonske byen Larsa. Den inneholder 15 pytagoreiske tripler, deriblant:

(56, 90, 106), (119, 120, 169) og (12709, 13500, 18541).

Dette tyder på at babylonerne hadde metoder til å regne ut slike tripler.

I det indiske Baudhayana-Sulba-Sutra fra engang mellom det 8. og 2. århundre f.Kr. finner en fem tripler oppdaget algebraisk, en beskrivelse av teoremet og et geometrisk bevis med en likesidet trekant.[11] [12] [13]

Apastamba-Sulba-Sutra fra ca. 600 f.Kr. inneholder et numerisk bevis for teoremet basert på arealbetraktninger. Van der Waerden tror at «dette er med sikkerhet basert på tidligere tradisjon». Ifølge Albert Bŭrk er dette det originale beviset for teoremet. Han gjør seg videre de antagelser at Pythagoras besøkte Arakkonam i India og kopierte beviset.

Grafisk bevis for en (3, 4, 5) trekant, gjengitt i Zhoubi suanjing 500–200 f.Kr.

Læresetningen var tidlig kjent i Kina under navnet Gōugŭ (勾股), «base og høyde». For et triangel med sidene 3, 4 og 5 ble læresetningen kalt Gōugŭ-teoremet (勾股定理, Gōugŭ Dìnglĭ).

Den kinesiske teksten Zhoubi suanjing (周髀算经, «Den aritmetiske klassiker om Gnomon og himmelens sirkulære veier»), som ble skrevet en gang mellom 500 f.Kr. og 200 e.Kr., gjengir 246 løsninger på matematiske problemer. I diagrammet hsuan-shu gjengir teksten et visuelt og grafisk bevis på den pythagoreiske læresetning for en trekant med sider 3, 4 og 5.[14] Figuren er gjengitt til høyre. Den vertikale teksten til venstre for figuren lyder: gōu gǔ mì hé yǐ chéng xián mì (勾股幂合以成弦幂), som betyr: «Summen av lengdene til kvadratene til høyden og basen er lik lengden til hypotenusen.»

Chiu chang suan shu («Ni kapitler om den matematiske kunst»), et klassisk matematisk verk fra Kina satt sammen fra det 10. til det 2. århundre f.Kr., gjengir 263 løsninger på matematiske problemer. I kapittel 9 omtales pytagoreiske tripler og rette triangler.[15] I boken Jiuchang suan shu, en kommentar til «Ni kapitler» som ble skrevet av Liu Hui i året 263 e.Kr., blir det gitt et bevis i kapittel 9.[16]

Pythagoras, som antas å ha levd i årene 569-475 f.Kr., brukte algebraiske metoder for å konstruere pytagoreiske tripler ifølge Proklos (410-485 e.Kr.) idet han kommenterer Euklid. Ifølge Sir Thomas L. Heath ble ikke teoremet omtalt med noen referanse til Pythagoras i løpet av femhundre år, men når Platon og Cicero tilskriver teoremet til Pythagoras, gjør de det på en måte gir uttrykk for at dette er anerkjent og uomtvistet.[1]

Det diskuteres om hvorvidt teoremet ble oppdaget én eller flere ganger. Boyer (1991) hevder at enkelte elementer i Shulba Sutra kan være av mesopotamisk opprinnelse.[17]

Pythagoras’ rolle[rediger | rediger kilde]

Byste av Pythagoras i de Kapitolske museer i Rom

At teoremet har navn etter den greske filosofen Pythagoras fra det 6. århundre f.Kr. fremgår kun av de senere kildene. Forskerne strides om hans faktiske rolle og flere hypoteser finnes:

  • Pythagoras overtok satsen fra babylonerne. Han var kun en formidler av orientalsk kunnskap til grekerne. Dette er synet til vitenskapshistorikeren Walter Burkert.[18] Ifølge antikke kilder foretok han en reise til Egypt og muligens til Babylon, men troverdigheten til disse beretningene er omstridt.
  • En utbredt oppfatning i antikken var at Pythagoras selv oppdaget og beviste satsen uavhengig av orientalsk matematikk. Dette er også synet til vitenskapshistorikeren Leonid Zhmud.[19][20]
  • Pythagoras støttet seg til orientalske kilder, men var den første som fant et bevis. Egypterne og babylonerne var primært interessert i satsens anvendelse og ikke et generelt bevis. Egypteren Ahmes regnebok fra de 17. århundre f.Kr., den eldste kjente regnebok i verden, også kjent som Papyrus Rhind, inneholder en rekke kompliserte oppgaver. Det inngår imidlertid ingen generaliteter, definisjoner eller bevis.
  • Kanskje hadde ikke Pythagoras noen påvirkning. Pytagoreere kan på et senere tidspunkt ha funnet et bevis og ved en tilfeldighet knyttet dette til Pythagoras.

Euklid dokumenterer i sitt verk Elementene fra siste halvdel av det 4. århundre e.Kr. den matematiske kunnskap fra sin tid. Han fremlegger et bevis, men gir ingen referanse til Pythagoras. Det eldste belegg en har for en mulig sammenheng finner en i form av et epigram etter en Apollodoros. Dette kan være filosofen Apollodoros fra Kyzikos. I så fall stammer det fra siste halvdel av det 4. århundre f.Kr. og lyder:

Sitat Da Pythagoras, som første, den berømte tegningen fant,
han brakte da som offer et guddommelig oksedyr.
Sitat

Apollodoros sier intet om hvilken «berømte tegning» han referer til, men Diogenes Laertios (3. århundre f.Kr.) går ut fra at det gjelder Pythagoras’ sats. At Pythagoras slik skulle ha ytt et storfe som offerdyr står i sterk kontrast til en rekke antikke kilder som stadfester at dyreoffer ikke var vanlig blant pytagoreerne.

Historien om dette dyreofferet har inspirert dikteren Adelbert von Chamisso til en sonett, Vom pythagoreischen Lehrsatz, der første vers lyder:

Sitat Die Wahrheit, sie besteht in Ewigkeit,

Wenn erst die blöde Welt ihr Licht erkannt;
Der Lehrsatz nach Pythagoras benannt

Gilt heute, wie er galt zu seiner Zeit.
Sitat

Oversatt til norsk kan det gjengis slik:

Sitat Evighet er Sannhetens byggekloss,

At verden så lyset, er hva det krevde;
Den læresetningen Pythagoras ga oss

Gjelder like mye idag som da han levde.
Sitat

I kulturen[rediger | rediger kilde]

Pythagoras’ læresetning er gjennom tidene referert til eller gjengitt i en lang rekke sammenhenger:

  • Et vers i Generalmajorens sang i musikalen The Pirates of Penzance av Gilbert og Sullivan har en klar referanse: About binomial theorem I'm teeming with a lot o' news, With many cheerful facts about the square of the hypotenuse.
  • Scarecrow (fugleskremselet) i Trollmannen fra Oz gir en spesifikk referanse til teoremet idet han mottar sitt eksamensbevis fra trollmannen. Han fremviser umiddelbart sin «kunnskap» ved å gjengi en radbrukket og ukorrekt versjon av teoremet: Summen av kvadratroten på to tilfeldige sider av en likesidet trekant er lik kvadratroten av den siste siden. Oh, hurra! Jeg har vel en hjerne!
  • I en episode av The Simpsons, etter å ha funnet Henry Kissingers briller på toalettet i Springfield Nuclear Power Plant, tar Homer dem på og gjengir Oz Scarecrow's forenklede versjon av teoremet. En mann i nærheten roper ut: Det er en rettvinklet trekant – din idiot!.
  • I talesynteseprogramvaren i Mac OS X finnes en stemme kalt Ralph som gjengir teoremet i en eksempeltekst.
  • Innen Frimureri brukes et symbol for en Past Master som er et diagram Euklid brukt i sitt bevis av teoremet.
  • I Neal Stephensons spekulative fiction Anathem er Pythagoras’ teorem gjengitt som the Adrakhonic theorem. Et geometrisk bevis er gjengitt på et romskip for å demonstrere deres kunnskaper om matematikk.
  • I den engelske versjonen av den 17. boken om Asterix: The Mansions of the Gods, benytter Julius Cæsar seg av tjenesten til arkitekten Squareonthehypotenus. (Kvadratetpåhypotenusen)
  • I 2000 utga Uganda en mynt med form som et rett triangel. Myntens bakside har et bilde av Pythagoras og Pythagoras’ teorem sammen med teksten: Pythagoras Millennium.[21]
  • Hellas, Japan, San Marino, Sierra Leone, og Surinam har gitt ut frimerker med motiver av Pythagoras og Pythagoras’ teorem.[22]

Noter[rediger | rediger kilde]

  1. ^ a b Heath, Vol I, p. 144.
  2. ^ Mike May S.J., Pythagorean theorem by shear mapping, Saint Louis University website Java applet
  3. ^ Elements 1.47 by Euclid, retrieved 19 December 2006
  4. ^ Head, Angie. «Pythagorean Theorem»
  5. ^ «Dijkstra's generalization» (PDF). 
  6. ^ Heath, Vol I, pp. 65, 154; Stillwell, p. 8–9.
  7. ^ «Megalithic Monuments.». 
  8. ^ van der Waerden 1983.
  9. ^ Helmuth Gericke: Mathematik in Antike und Orient, Berlin 1984, S. 33f.; Kurt Vogel: Vorgriechische Mathematik. Teil II: Die Mathematik der Babylonier, Hannover und Paderborn 1959, S. 67f.
  10. ^ Kurt Vogel: Vorgriechische Mathematik. Teil II: Die Mathematik der Babylonier. Hannover und Paderborn 1959, S. 20
  11. ^ Helmuth Gericke: Mathematik in Antike, Orient und Abendland, Wiesbaden 2005, S. 68;
  12. ^ Oskar Becker, Das mathematische Denken der Antike, Göttingen 1966, S. 55f.
  13. ^ Thomas L. Heath, The thirteen books of Euclid's Elements, Bd. 1, 2. Auflage, New York 1956, S. 360-364.
  14. ^ Oskar Becker, Das mathematische Denken der Antike, Göttingen 1966, S. 56.
  15. ^ Swetz.
  16. ^ Karine Chemla, Guo Shuchun, Neuf Chapitres. Le Classique de la Chine ancienne et ses commentaires. Édition critique. s. 680
  17. ^ Boyer s.207 sitat: «we find rules for the construction of right angles by means of triples of cords the lengths of which form Pythagorean triages, such as 3, 4, and 5, or 5, 12, and 13, or 8, 15, and 17, or 12, 35, and 37. However all of these triads are easily derived from the old Babylonian rule; hence, Mesopotamian influence in the Sulvasutras is not unlikely. Aspastamba knew that the square on the diagonal of a rectangle is equal to the sum of the squares on the two adjacent sides, but this form of the Pythagorean theorem also may have been derived from Mesopotamia. [...] So conjectural are the origin and period of the Sulbasutras that we cannot tell whether or not the rules are related to early Egyptian surveying or to the later Greek problem of altar doubling. They are variously dated within an interval of almost a thousand years stretching from the eighth century B.C. to the second century of our era.»
  18. ^ Walter Burkert, Weisheit und Wissenschaft, Nürnberg 1962, S. 405f., 441ff.
  19. ^ Leonid Zhmud, Wissenschaft, Philosophie und Religion im frühen Pythagoreismus, Berlin 1997, S. 141-151, 160-163.
  20. ^ Thomas L. Heath, The thirteen books of Euclid's Elements, Bd. 1, 2. Auflage, New York 1956, S. 350-360.
  21. ^ «Le Saviez-vous ?». 
  22. ^ Miller, Jeff (3. august 2007). «Images of Mathematicians on Postage Stamps». Besøkt 6. august 2007. 

Litteratur[rediger | rediger kilde]

På engelsk:

  • Bell, John L., The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development, Kluwer, 1999. ISBN 0-7923-5972-0.
  • Boyer, Carl B. (1991). «China and India». A History of Mathematics, 2nd Edition. ISBN 9780471543978. 
  • Eli Maor: The Pythagorean Theorem: A 4,000-year History. Princeton University Press 2007, ISBN 0-691-12526-0
  • Euclid, The Elements, Translated with an introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, Dover, (3 vols.), 2nd edition, 1956.
  • Hardy, Michael, "Pythagoras Made Difficult". Mathematical Intelligencer, 10 (3), p. 31, 1988.
  • Heath, Sir Thomas, A History of Greek Mathematics (2 Vols.), Clarendon Press, Oxford (1921), Dover Publications, Inc. (1981), ISBN 0-486-24073-8.
  • Loomis, Elisha Scott, The Pythagorean proposition. 2nd edition, Washington, D.C : The National Council of Teachers of Mathematics, 1968. ISBN 978-0873530361.
  • Maor, Eli, The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 2007, ISBN 978-0-691-12526-8.
  • Stillwell, John, Mathematics and Its History, Springer-Verlag, 1989. ISBN 0-387-96981-0 and ISBN 3-540-96981-0.
  • Swetz, Frank, Kao, T. I., Was Pythagoras Chinese?: An Examination of Right Triangle Theory in Ancient China, Pennsylvania State University Press. 1977.
  • van der Waerden, B.L., Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer, 1983.
 

På tysk:

  • Colerus, Egmont : Vom Einmaleins zum Integral. Mathematik für Jedermann. Rowohlt, Reinbek 1982. ISBN 3-499-16692-5
  • Dewdney, Alexander K. : Reise in das Innere der Mathematik. Birkhäuser, Berlin 2000. ISBN 3-7643-6189-1
  • Fraedrich, Anna M. : Die Satzgruppe des Pythagoras. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1994. ISBN 3-86025-669-6
  • Resnikoff,H.L.; Wells Jr.,R.O.: Mathematik im Wandel der Kulturen. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1983. ISBN 3-528-03578-1
  • Schupp, Hans : Elementargeometrie. UTB, Stuttgart 1977. ISBN 3-506-99189-2
  • Singh, Simon : Fermats letzter Satz. dtv, München 2000. ISBN 3-423-33052-X
  • Tietze, Heinrich : Mathematische Probleme. Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit. Vierzehn Vorlesungen für Laien und Freunde der Mathematik. C.H. Beck, München 1990. ISBN 3-406-02535-8

Eksterne lenker[rediger | rediger kilde]

Commons-logo.svg Commons: Kategori:Pythagoras' teorem – bilder, video eller lyd