Parallellogramloven

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Et parallellogram. Sides er vist i blått og diagonalene i rødt

Parallellogramloven er i geometri en sammenheng mellom lengdene av sidene og diagonalene i et parallellogram. I et indreproduktrom der normen er avledet av indreproduktet gjelder også en generalisert form for parallellogramloven, som en normidentitet mellom lineærkombinasjoner av to vektorer.

Lar en hjørnene i et parallellogran være betegnet A, B, C og D, slik som vist på figuren til høyre, så kan lengden av sidene betegnes AB, BC, CD og DA. Lengden av de to diagonalene er AC og BD. I euklidsk geometri er lengden av motstående sider i et parallellogram like lange, slik at AB = CD and BC = DA. Parallellogramloven kan da uttrykkes som

2(AB)^2+2(BC)^2=(AC)^2+(BD)^2\,

Dersom parallellogrammet også er et rektangel, så er de to diagonalene like lange: AC = BD. Parallellogramloven reduserer seg da til Pythagoras’ læresetning:

2(AB)^2+2(BC)^2=2(AC)^2\,

Parallellogramloven i indreproduktrom[rediger | rediger kilde]

Vektorer som inngår i parallellogramloven

I et indreproduktrom der normen er avledet av indreproduktet er parallellogramloven en identitet mellom vektornormer:[1]

2\|x\|^2+2\|y\|^2=\|x+y\|^2+\|x-y\|^2. \,

Identiteten vil være oppfylt for alle vektorer x og y. Sammenhengen mellom normen og indreproduktet er gitt ved

\|x\|^2=\langle x, x\rangle, \,

og bevis for at identiteten er oppfylt følger umiddelbart fra egenskaper til indreproduktet:

\|x+y\|^2=\langle x+y, x+y\rangle= \langle x, x\rangle + \langle x, y\rangle +\langle y, x\rangle +\langle y, y\rangle, \,
\|x-y\|^2 =\langle x-y, x-y\rangle= \langle x, x\rangle - \langle x, y\rangle -\langle y, x\rangle +\langle y, y\rangle. \,

Parallellogramloven framkommer ved å summere de to uttrykkene:

\|x+y\|^2+\|x-y\|^2 = 2\langle x, x\rangle + 2\langle y, y\rangle  = 2\|x\|^2+2\|y\|^2. \,

Dersom x er ortogonal til y, da er  \langle x ,\ y\rangle  = 0 og parallellogramloven reduserer seg igjen til Pythagoras' læresetning:

\|x+y\|^2= \langle x, x\rangle + \langle x, y\rangle +\langle y, x\rangle +\langle y, y\rangle =\|x\|^2+\|y\|^2.

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment, s. 183. Pitman Publishing Limited, London. ISBN 0-273-08404-6.