Kvadratroten av 2

Hvis katetene i en rettvinklet likebeint trekant er 1, vil hypotenusen ifølge Pythagoras’ læresetning være √2.

Kvadratroten av 2, eller $\sqrt{2}$, er et irrasjonalt tall med en tilnærmet verdi på 1,4142135623730950488016887... (kvadratroten av et hvilket som helst naturlig tall er alltid enten irrasjonalt eller et naturlig tall). Dette kan vises ved hjelp av et kontradiksjonsbevis.

Bevis for irrasjonalitet

Anta at $\sqrt{2}$ er et rasjonalt tall. Dermed finnes det to naturlige tall, a og b, slik at $\frac{a}{b}=\sqrt{2}$. Vi sier at brøken er forkortet (forenklet) så mye at det ikke går an å forenkle den mer. Om vi kvadrerer på begge sider, får vi $\frac{a^2}{b^2}=2 \Rightarrow a^2 = 2b^2$. Vi ser at $2b^2$ er et partall, siden det har 2 som faktor. Siden da også $a^2$ er et partall, er a et partall, og vi kan skrive det som $2n$. Da får vi $(2n)^2=2b^2 \Rightarrow 4n^2=2b^2$. Forkorter vi, får vi $2n^2=b^2$, og dermed må $b^2$ også være et partall (siden det kan skrives som produktet av et heltall og 2), og dermed er også b et partall. Men siden både a og b er partall, så kan faktisk brøken $\frac{a}{b}$ forkortes mer (siden de begge har 2 som faktor). Og siden vi har kommet frem til en selvmotsigelse, og bare har gjort en eneste antagelse, er denne antagelsen feil. Og den antagelsen var at $\sqrt{2}$ var et rasjonalt tall, og siden det motsatte av dette er at $\sqrt{2}$ er irrasjonal, så har vi bevist at kvadratroten av 2 er et irrasjonalt tall.