Ligning (matematikk)

	Områder i algebra
	Abstrakt algebra
	Grupper; Ringer; Kropper
	Algebraisk geometri
	Elementær algebra
	Ligninger; Funksjoner
	Kombinatorikk
	Lineær algebra
	Vektorrom; Matriser
	Tallteori

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Gå til: navigasjon, søk

Viktig opprydning: Denne artikkelen dekker et viktig tema, men har for dårlig standard og trenger en opprydning for å ordne dette.

Andre betydninger: Ligning

En ligning er et matematisk uttrykk bestående av minst en ukjent hvor ligningen bestemmer/gir føringer for hvilke verdier den/de ukjente kan ha. Å løse en ligning innbærer å finne hvilke verdier for de ukjente som medfører at ligningen er riktig. En ligning kan ha flere ukjente og det er standard å betegne disse fortløpende x, y, z, v, w avhengig av antall ukjente. For hver ukjent kan det være flere forskjellige verdier som tilfredsstiller ligningen og som dermed er en løsning.

[rediger] Generelt om løsninger på ligninger

Når man løser en ligning kan man ende opp med et ligningen

er en identitet
har ingen løsning,
har en løsning,
har flere løsninger på en kontinuerlig (men ikke nødvendigvis rett) linje,
har flere atskilte løsningspunkter,
har løsningspunkter i et sammenhengende plan (som kan være bøyd) eller
har løsningspunkter i et kontinuerlig volum (i tre eller flere dimensjoner).

[rediger] Identitet

Hvis man påviser at ligningen er en identitet (f.eks. x = x) så betyr det at alle verdier tilfredsstiller ligningen. Ligningen inneholder dermed ingen informasjon og kan ignoreres i kombinasjon med andre ligninger. Har man påvist en identitet så markeres dette med at likhetstegnet erstattes med et likhetstegn bestående av tre streker (≡). Noen av betraktningene i det følgende er ikke gyldig for identiteter.

[rediger] Kombinasjoner av ligninger til ligningsett

Man kan kombinere flere ligninger til et ligningssett. Løsning til et ligningssett er de/den løsningen som tilfredsstiller alle ligningene hver for seg (snittet av løsningssettene). F.eks. har $s i n (x) = 0$ og $x 3 - x = 0$ flere løsninger hver for seg men $x = 0$ er den eneste løsningen som tilfredsstiller begge likgningene. Et annet eksempel er to ligninger hvor løsningene ligger på hver sin linje. Felles løsning for begge ligningene vil være de punkter hvor linjene krysser hverandre (hvis linjene er parallelle vil de ikke ha noen felles løsning).

[rediger] Ligningens form og grunnleggende prinsipper for utregning

En ligning har formen A = B hvor det inngår minst en ukjent i A eller B og hvor det i tillegg kan inngå tall, andre ukjente, konstanter eller andre mer kompliserte utrykk. I ligningsoppstilling og ligningsutregning brukes likhetstegnet på en helt annen måte en hva som er vanlig i matematisk utregning forøvrig. (I vanlig utregning er det en horisonatal, linjeorientert progresjon hvor likhetstegnet adskiller de forskjellige progresjonstrinnene. F.eks.
Komplisert uttrykk = bearbeidet og mindre komplisert uttrykk = ytterligere bearbeidet og forenklet uttrykk = resulterende svar på enkleste form.)

I en ligning representerer likhetstegnet en likhet mellom venstre og høyre side. Det er kun et likhetstegn per linje. Å løse/bearbeide en ligning innebærer at en utsetter venstre og høyre side for de samme matematiske operasjoner slik at likheten opprettholdes. Den nye bearbeidede ligningen føres opp i helhet på nytt. Man markerer at likheten er opprettholdt (”impliserert”) ved at det tegnes en vertikal pil mellom den opprinnelige ligningen og den nye bearbeidede ligningen. Normalt vil det også være slik at hvis den nye ligningen blir tilfredstilt så vil også den opprinnelige bli tilfredstilt. Man bruker bidireksjonale vertikale piler for å markere dette. I de tilfeller man multipliserer eller dividerer med en ukjent eller konstant som kan være null så vil dette ikke nødvendigvis gjelde. Dette markeres med en en-direksjonal pil og null-tilfellet må behandles separat.

[rediger] Noen forskjellige ligninger

[rediger] Polynomligninger

Ligninger med polynomfunksjoner kan generelt uttrykkes
$\ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0=0$

Hvor a er konstant med hensyn på x (kan bestå av konstanter og andre ukjente enn x). Her er n et naturlig tall som bestemmer ligningens grad. En ligning av n-te grad har n-løsninger. Noen av disse kan være sammenfallende (f.eks. $x 2 = 0$ ) eller komplekse (f.eks. $x 2 + 1 = 0$ ). F.eks. en tredjegradsligning vil totalt ha tre løsninger og ingen, en, to eller tre løsninger hvis vi begrenser oss til reelle, forskjellige løsninger.

[rediger] Løsning av førstegradsligning

$\ ax+b=0; \quad a \ne 0$

Løsningen er
$x=-\frac{b}{a}$

[rediger] Løsning av andregradsligning

$\ ax^2 + bx + c = 0; \quad a \ne 0$

De to løsningen er gitt av
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Hvis $b 2 - 4 a c$ er positiv er begge løsningene reelle, hvis det er negativt er begge løsningene komplekse mens hvis verdien er null har vi to sammenfallende løsninger.

[rediger] Løsning av tredjegradsligning

$\ ax^3+bx^2+cx+d=0; \quad a \ne 0$
Først utfører vi transformasjonen
$\ x = y - \frac{b}{3a}$
og får da ligningen på redusert form
$\ y^3 + 3py + 2q = 0$
hvor
$\ 3p = - \frac{1}{3} \left ( \frac{b}{a} \right )^2 + \frac{c}{a}$ og $2q = \frac{2}{27} \left ( \frac{b}{a} \right )^3 -\frac{1}{3}\frac{bc}{a^2}+\frac{d}{a}$
Vi setter så inn for a, b, c og d inn i uttrykkene for p og q. Basert på p og q kan vi gjøre følgende konklusjon

i) Når

q 2 + p 3 < 0

så har vi tre forskjellige reelle løsninger

ii) Når

q 2 + p 3 = 0

så har vi tre reelle løsninger hvorav minimum 2 er sammenfallende

iii) Når

q 2 + p 3 > 0

så har vi en reell og to komplekskonjugerte løsninger

Vi ser at et tredjegradssuttrykk alltid vil gi minst en reell løsning.

[rediger] Cardanos formler

Hvis $q 2 + p 3$ ≥ $0$ (situasjon ii) eller iii) over) kan vi finne løsningene f.eks. ved hjelp av Cardanos formler. Først finner vi de reelle røttene u og v.
$u = \sqrt[3]{-q + \sqrt{q^2+p^3}}$
$v = \sqrt[3]{-q - \sqrt{q^2+p^3}}$
Med disse blir løsningene for den reduserte ligningen
$\ y_1 = u + v$
$y_2 = - \frac{u+v}{2}+ \frac{i}{2} \sqrt{3}(u-v)$
$y_3 = - \frac{u+v}{2}- \frac{i}{2} \sqrt{3}(u-v)$
Nå kan vi sette inn løsningene $y 1$ , $y 2$ , $y 3$ og verdiene for $a$ og $b$ i transformasjonen og får dermed løsningene til den opprinnelige ligningen $x 1$ , $x 2$ og $x 3$ .

[rediger] Casus irreducibilis

Hvis $q 2 + p 3 < 0$ (situasjon i) over) kan vi finne løsningene f.eks. ved hjelp av metoden kjent som casus irreducibilis.
$\ \cos \phi = \frac{-q}{\sqrt{-p^3}}$
$\ y_1 = 2\sqrt{-p}\cos\frac{\phi}{3}$
$\ y_2 = -2\sqrt{-p}\cos \left ( \frac{\phi}{3} + 60^0 \right )$
$\ y_3 = -2\sqrt{-p}\cos \left ( \frac{\phi}{3} - 60^0 \right )$

[rediger] Eksempel på utregning

$\ (1)\quad x^5-5x^3+4x=0$

$\ (2)\quad x^4-5x^2+4=0 \quad \or \quad x=0$

$\ (3)\quad \left [ y^2-5y+4=0 \and y=x^2 \right ] \quad \or \quad x=0$

$\ (4)\quad \left [ \left ( y=4 \or y=1 \right ) \and y=x^2 \right ] \quad \or \quad x=0$

$\ (5)\quad x^2=4 \quad \or \quad x^2=1 \quad \or \quad x=0$

$\ (6)\quad x=-2 \quad \or \quad x=2 \quad \or \quad x=-1 \quad \or \quad x=1 \quad \or \quad x=0$

$\ (7)\quad L = \begin{Bmatrix} -2, & -1, & 0, & 1, & 2, \end{Bmatrix}$

(2) Vi ser at null er en løsning på ligningen og fører opp denne separat. I den videre utregningen forutsetter vi at x er ulik null og vi har dermed lov å dele på x. (3) Vi ser at alle x-ene er funksjoner av to-er potenser og lager oss en transformasjon y som erstattning for x-ene. (4) Vi finner løsningene for y i den reduseret andregradsligningen. (5) Vi setter x-ene inn for y-ene. (6) Vi finner løsningene for x-ene. (7) Vi setter opp løsningene på sortert form.

[rediger] Eksempel

Ligning med én ukjent

2 x + 6 = 4 x - 6

Ligning med to ukjente

y = 6 x + 8

y = 7 x

Annengradsligning

6 x 2 + 7 x = 90

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

[rediger] Å løse ligninger

[rediger] Ligning med en ukjent

Tenk på ligningen som en vekt. For at ligningen skal være i balanse, må begge sidene være like. Dette gjør man ved å gjøre det samme med begge sidene. Hvis det står + 6, så gjør man -6 for å flytte til den andre siden.

2x + 6 = 4x - 6
Ligningen
2x + 6 - 4x - 6 = 4x - 6 - 4x - 6
Samle leddene med x på venstre side og de rene tallene på høyre side
2x - 4x = -6 - 6
-2x / -2 = -12 / -2
x = 6
Løsningen

Det går an å gjøre det enklere:

2x + 6 = 4x - 6
2x - 4x = -6 - 6
-2x / -2 = -12 / -2
x = 6

[rediger] Ligninger med to ukjente

For å løse ligninger av dette slaget, må man ha et «ligningssett», altså to definisjoner av verdien til den andre ukjente.

y = 2x + 18
y = 3x - 9

Det finnes tre måter å løse ligningssettet på.

[rediger] Grafisk

Du kan tegne et koordinatsystem og tegne inn funksjonene y = 2x + 18 og y = 3x - 9. Der linjene krysses, er x lik y. (x=y)

[rediger] Innsettingsmetoden

y = 2x + 18
y = 3x - 9
y = y
2x + 18 = 3x - 9
2x - 3x = -9 - 18
-x / -1 = -27 / -1
x = 27

Så setter man inn verdien 27 for x, og finn ut hvor mye y er.

y = 2x + 18
y = 2 * 27 + 18
y = 54 + 18
y = 72

y = 3x - 9

y = 3 * 27 - 9
y = 81 - 9
y = 72

[rediger] Addisjonsmetoden

y = 2x + 18 | * -1,5
+ y = 3x - 9
-----------------------------
-1,5y = -3x - 27
+ y = 3x - 9
-----------------------------
-0.5y * -2 = -36 * -2
y = 72

Så snur man ligningssettet.

y = 2x + 18
2x + 18 = 72
2x = 72 - 18
2x = 54
2x / 2 = 54 / 2
x = 27

y = 3x - 9
3x - 9 = 72
3x = 72 + 9
3x = 81
3x / 3 = 81 / 3
x = 27

[rediger] Annengradsligninger

Annengradsligninger er ligninger der et av leddene er i annen potens og ingen ledd har høyere potens.

$\ ax^2 + bx + c = 0$

Den generelle formelen for å løse annengradsligninger er

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Tegnet ± betyr pluss eller minus.

Eksempel:

$\ -14x^2 + 9x + 1000 = 0$

$\begin{matrix} x & = & \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot -14 \cdot 1000}}{2 \cdot -14} \\ x & = & \frac{-9 \pm \sqrt{81 + 56000}}{-28} \\ \end{matrix}$

$\ x$ er to forskjellige tall.

$\begin{matrix} x_1 & = & \frac{-9 + 236,814}{-28} \\ x_1 & = & -8,136 \\ \end{matrix}$

$\begin{matrix} x_2 & = & \frac{-9 - 236,814}{-28} \\ x_2 & = & 8,779 \end{matrix}$

Et grundigere eksempel:

$\ x^2 + 9x + 5 = 0$

konstantene a=1, b=9 og c=5

$\begin{matrix} x & = & \frac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 9 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{-9 \pm \sqrt{81-45}}{2} \\ x & = & \frac{-9 \pm \sqrt{36}}{{2}} \\ x & = & \frac{-9\pm 6}{2} \\ x & = & \frac{-9+6}{2} \\ x & = & \frac{-3}{2} \\ x & = & -1,5 \\ \end{matrix}$

$\begin{matrix} x & = & \frac{-9\pm 6}{2} \\ \end{matrix}$

[rediger] Eksterne lenker

Likningskurs på matematikk.org

Hovedområder i matematikk

Generelle emner • Algebra • Analyse • Anvendt matematikk • Geometri • Statistikk • Skolematematikk