Kvantemekanikk

Kvantemekanikk er den grenen av fysikken som beskriver atomer, molekyler, og oppbygningen av disse. I sin mest komplette form prøver den å beskrive oppbygningen av all materie og stråling. Alle naturkrefter unntatt gravitasjon har i dag en kvantemekanisk beskrivelse.

Kvantemekanikk startet med Max Plancks forklaring av strålingsspekteret fra solen i 1900, og er i dag en hovedgren av fysikken med mange undergrener. All fundamental forskning i fysikk i dag kan sies å videreføre kvantemekanikken.

Teori

Plancks konstant er en fundamental, fysisk konstant som ligger til grunn for all kvantemekanikk. Alle resultater i kvantemekanikken inneholder Plancks konstant, for eksempel verdien til energinivåene i et atom.

Bølge-partikkel-dualiteten sier at kvantemekaniske partikler kan oppføre seg både som partikler og bølger. For eksempel kan man observere bølgefenomenet interferens når man sender elektroner gjennom en dobbeltspalte mens man i andre tilfeller kan måle elektronets posisjon, altså en partikkelegenskap.

Kvantisering vil si begrensing av hvilke verdier en størrelse kan ha og de mulige verdiene er gitt av et kvantetall, som ofte er et heltall, men ikke trenger å være det. Med en tilstand menes alle egenskaper en partikkel har til enhver tid og tilstander er ofte formulert som en liste med kvantetall. I et atom kommer kvantisering som resultat av at elektronene er bundet av et potensial fra atomkjernen. Avstanden mellom energinivåene blir mindre jo større område en partikkel kan bevege seg på. For store systemer, for eksempel over 100 nm, er avstanden mellom energinivåene så liten at klassisk fysikk igjen er en god beskrivelse.

Heisenbergs uskarphetsrelasjon sier at noen kvantemekaniske variabler avhenger gjensidig av hverandre, slik at hvis den ene bestemmes skarpt (presist) blir den andre uskarp (omtrentlig). Uskarpheten har en nær sammenheng med bølge-partikkel-dualiteten, siden en må velge i hvilken grad en skal se på partikkelegenskaper, eller bølgeegenskaper. Denne uskarpheten er en fundamental bit av kvantemekanikken og kan ikke fjernes på noen måte. Eksempler på variable som følger Heisenbergs uskarphetsrelasjon er posisjon og impuls eller energi og tid.

Spinn er en fundamental egenskap ved alle kvantemekaniske partikler. Spinnet gir de statistiske egenskapene til partiklene, det vil si hvordan partikler oppfører seg sammen med andre partikler. Det finnes to typer oppførsel, Fermioner med halvtallig spinn og Bosoner med heltallig spinn. Bosoner, for eksempel fotoner, er sosiale partikler som tillater andre partikler å være i samme tilstand som dem selv. Fermioner, for eksempel elektroner og protoner, er asosiale partikler som adlyder Pauliprinsippet. Pauliprinsippet sier at to Fermioner ikke kan okkupere samme tilstand. Det periodiske system er et resultat av dette prinsippet, siden elektroner blir nødt til å spre seg over ulike tilstander i et atom med mange elektroner.

Schrödingerteori formulerer kvantemekanikken ved hjelp av en bølgefunksjon, som inneholder tilstanden til en partikkel. Kvadratet av bølgefunksjonen gir sannsynligheten for at en partikkel er på et gitt sted til en gitt tid og beskriver både bølge- og partikkelegenskaper. Alle felter, inkludert selve bølgefunksjonen, er i Schrödingerteorien klassiske, kontinuerlige, funksjoner, mens tilstandene, slik som posisjon og energi er kvantisert.

Kvantefeltteorier er generaliseringer av Schrödingerteorien hvor alle felter, også selve bølgefunksjonen, er kvantisert. Felter og vekselvirkninger beskrives da som utveksling av partikler, for eksempel er elektrisk vekselvirkning utveksling av fotoner. Standardmodellen for elementærpartikkelfysikk er en kvantefeltteori. Kvantefeltteorier brukes også mye i statistisk fysikk.

Historisk utvikling

Kvantemekanikkens begynnelse ligger ved Max Plancks oppdagelse av virkningskvantumet, som er uttrykt gjennom hans virkningskvantum 'h' (1900). Deretter (1905) kom Einsteins tolkning av den Fotoelektriske effekt, som resultat av at elektromagnetiske bølger nå ikke lenger bare skulle oppfattes som en ren bølgebevegelse, men også som en partikkelstrøm, der partikkel- eller foton-energien skulle settes proporsjonal med bølgens frekvens, og der proporsjonalitetskonstanten nettopp var den 5 år tidligere oppdagede Plancks konstant 'h'.

Neste skille settes ved Niels Bohrs oppdagelse av at Plancks konstant også kunne benyttes til å kvantisere atomenes dreieimpuls. Han krevde da at atomets elektroner skulle gå i baner rundt atomkjernen med en dreieimpuls som kun kunne ha bestemte diskrete verdier, og at disse skulle settes like et heltallig multiplum av virkningskvantet, dvs Plancks konstant 'h'. Han hadde dermed kommet frem til en atommodell som ga et diskret energispektrum, og hadde dermed greid å forklare de velkjente linjespektra fra glødende gasser. Videre viste det seg at den formelen han fant for atomets energinivåer, var i full overensstemmelse med de eksperimentelle resultatene som allerede var blitt oppnådd av Balmer. Bohrs teori var dermed en stor suksess. Likevel vet vi i dag at den kun var halvt på vei til den egentlige kvantemekanikken. For Bohrs kvantemekanikk er egentlig en klassisk mekanisk teori, der en enkel kvantiseringsregel er føyd til som et ekstra prinsipp, uten noen særlig annen begrunnelse enn at man da får en teori hvis forutsigelser stemmer overens med visse eksperimenter.

Den avgjørende overgangen til en fullstendig kvantemekanisk teori kom så med Erwin Schrödinger og hans bølgeligning, nemlig Schrödingerligningen. For i denne ligningen ligger Plancks konstant og dermed virkningskvantumet, innebygd som en integrert del av teorien, og ikke lenger et utenpåklistret ekstraprinsipp, som hos Bohr.

Deretter nevnes Dirac-teorien som det neste avgjørende gjennombrudd. Med denne nyvinningen, matematisk uttrykt gjennom Diracligningen, hadde han greid å kombinere Schrödingers bølgeteori for materien med relativitetsteorien. Men det betydde at man nå også var i stand til å anvende kvantemekanikk på partikler som gikk i veldig høye hastigheter, helt opp til lysets. Videre forutsa Diracs teori antimaterien, ved at hans ligning viste seg å inneholde løsninger med negativ energi, dvs. partikler med negativ masse, som Dirac, gjennom sin hullteori greidde å tolke som antipartikler med positiv masse. Ifølge denne teorien vil elektronet ha en partner som består av antimaterie, og denne partneren er da også en partikkel med nøyaktig den samme massen som elektronet, men med motsatt ladning. Et slikt anti-elektron kalles idag et positron. I tillegg til antimaterien inneholdt Dirac-ligningen også beskrivelsen av elektronet som en partikkel med spinn, dvs. at elektronet hele tiden spinner om sin egen akse, og fordi det har elektrisk ladning, blir det dermed en magnet. Dirac-teorien inneholder derfor opplysninger også om elektronets magnetiske moment.

Ved å benytte Diracs ligning til å beskrive atomet, viste det seg at man hadde kommet frem til en relativistisk atommodell, der elektronets spinn kom med "på kjøpet", helt av seg selv. Innenfor rammen av denne modellen kunne man beregne atomets spektrallinjer med veldig stor nøyaktighet, som ga en uventet god overensstemmelse med eksperimentelle spektralverdier. (dvs. spektralinjenes bølgelengder slik de blev målt med spektroskop).

Men det manglet en beskrivelse av mangepartikkelsystemer. For i virkelige systemer er det ikke bare ett elektron, men myriader av dem, som alle vekselvirker med hverandre gjennom Coulombkraften. Det neste målet bestod derfor i å komme frem til en kvantemekanisk mangepartikkelteori. Det viste seg da at Diracligningen dannet et ypperlig utgangspunkt for nettopp dette. Men man måtte bare ikke nøye seg med teorien slik den stod: teorien måtte kvantiseres en gang til. Dette førte til den beryktede annenkvantiseringen.

I praksis betydde dette at man måtte gå bort fra Schrödingers enkle tankegang om en enkel bølgefunksjon Ψ som en funksjon av rom- og tidskoordinater og istedenfor betrakte størrelsen Ψ som en operator som inneholder muligheten til å skape og destruere partikler i et punkt (x,y,z) ved tiden t. Schrödinger-bølgefunksjon må altså erstattes av en bølgeoperator, noe som er et langt mer abstrakt begrep enn den nå, sett med litt etterpåklokskap, så enfoldige bølgefunksjon a la Schrödinger. En slik bølgeoperator Ψ betraktet som en funksjon av x, y, z og t, kaller man idag gjerne et kvantefelt Det siste og dermed avgjørende skritt i kvanteteoriens utviklingshistorie, består dermed i at kvantefeltene entrer scenen. Og dermed også kvantefeltteorien som er det siste og avgjørende skritt i kvantemekanikkens utvikling.

Merk også: (1) kvantelektrodynamikken, også kalt QED, som gir en fullstendig kvantemekanisk teori av den elektromagnetiske vekselvirkningen mellom ladde partikler. (2) Richards Feynmanns diagrammatiske metode, som tillater en å visualisere kvantemekaniske prosesser i mangepartikkelsystemer som utvikling av virtuelle feltkvanter, samtidig som hvert diagram står for et nøyaktig definert matematisk uttrykk i en perurbasjonsrekke, hvis sum forteller oss helt nøyaktig hva sannsynligheten er for at en gitt kvantemekanisk prosess skal finne sted. (3) S-matriseteorien som danner et viktig mellomstadium i utviklingen av kvantemekanikk frem til idag. Selv om S-matriseteorien stort sett ikke brukes mye i dag, da en heller arbeider direkte med kvantefeltene, og så beregner de S-matriseelementene man trenger å regne ut for å kunne sammenligne teori med eksperiment ved å ta utgangspunkt direkte i kvantefeltene.

Teorien for de elektrosvake vekselvirkninger, samt teorien for de sterke vekselvirkningene og dermed også standardmodellen, er alle kvantefeltteorier.

Noen kjente kvantefysiker er Max Planck, Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Albert Einstein, Niels Bohr, Wolfgang Pauli, John von Neumann, Max Born og Paul Dirac.

Aksiomatisk formulering

Kvantemekanikken baserer seg på fire grunnleggende postulater:

1. Tilstanden til et fysisk system kan beskrives fullstendig ved en tilstandsfunksjon $|\Psi \rangle$. Denne funksjonen må oppfylle Schrödingerlikningen.
2. Til enhver observerbar fysisk størrelse $A\$ hører det i kvantemekanikken en lineær operator $\hat A$.
3. Forventningsverdien av en observerbar størrelse $A\$ er gitt ved $\langle A \rangle = \langle \Psi | \hat A | \Psi \rangle.$ Teorien forutsier da hva gjennomsnittsverdien av flere målinger vil bli. Her lar man operatoren $\hat A$ virke på tilstandsfunksjonen $|\Psi \rangle$ og beregner så indreproduktet med den duale tilstandsfunksjonen $\langle\Psi|$. I enkel Schrödingerteori er sistnevnte identisk med den komplekskonjungerte bølgefunksjon. Men i kvantefeltteori benytter man helst ikke vanlige (komplekse) funksjoner, men foretrekker å se på tilstandene $\Psi\$ som vektorer i et abstrakt Hilbertrom.
4. En måling av en observerbar størrelse $A\$ kan kun gi én av egenverdiene $a_n\$ til operatoren $\hat A$ som resultat. Like etter målingen er systemet i tilstanden $| \Psi_n \rangle$ som er den egenfunksjonen til operatoren $\hat A$, som innehar den målte egenverdien. Men etter hvert kan systemet gli over i mer kompliserte tilstander, som man ofte betrakter som lineærkombinasjoner av egentilstandene til en av de operatoren man benytter seg av.

Skrivemåte

Denne skrivemåten å benytte spisse parenteser til å angi kvantetilstandene, var det Dirac som fant opp. Det symbolet som har en høyrevendt spiss parentes kalte han en $Ket\$, mens det duale symbol som har en venstrepekende spiss parentes kalte han for en $Bra\$. Når bølgefunksjonen $|\Psi \rangle$ så blev satt sammen med den duale $\langle\Psi|$ ved hjelp av indreproduktet, fikk man så en $BraKet\$, eller $bracket\$ på engelsk. Et slikt ordspill gjorde teorien litt morsommere og mer talende til intuisjonen, og kvantemekanikerene har stort sett holdt seg til Diracs formulering siden.

Bølge eller partikkel?

Det at man benytter lineærkombinasjoner av tilstander er noe helt ukjent i den klassiske mekanikken som omhandler partitiklers bevegelse og dynamikk, men er velkjent fra de klassiske teoriene man kjenner fra optikken og akustikken, der man har gått bort fra det å betrakte materien som sammensatt av adskilte partikler, og istenfor ser på materien som kontinuerlig. Det at kvantemekanikken har mer samhørighet med de klassiske bølgeteorier enn med partikkelteoriene, er grunnen til at kvantemekanikken ofte også kalles for bølgemekanikk. Men likevel gir kvanteteorien oss utsagn og forutsigelser om partikler, men da ikke lenger med presise opplysninger om partiklenes bevegelse og posisjon, men den er kun kapabel til å gi oss statistiske utsagn om partiklenes oppførsel. Dette fører da til at fysikerne oppfatter kvantemekanikken som en dual teori, som på et vis sier at materien er både bølge og partikkel. Men dette duale bildet som kvantemekanikken gir oss av materien, er nettopp den tingen som gjør kvantemekanikken så vanskelig å fatte. For selv om alt følger bestemte regler, og dens forutsigelseskraft står uomtvistelig fast, er det meget vanskelig å danne seg et intuitivt lettfattelig bilde av dens vesen. Når vi så tenker på at kvantemekanikken av de fleste fagfolk betraktes om materiens grunnleggende teori, som inneholder både fysikk, kjemi, biologi og astronomi i sin ytterste konsekvens, så forstår vi at virkeligheten nok ikke er så lettfattelig som det virkelighetsbildet vi kjenner fra klassisk mekanikk gir inntrykk av.

Anvendelsesområder

Kvantemekanikken i vid forstand er ikke én enkelt teori, men en klasse av teorier som opererer på ulike lengde- og energiskalaer. Disse teoriene er i et hierarki, hvor egenskapene til en teori kan utledes fra en underliggende teori. Den mest fundamentale teorien som eksisterer i dag, standardmodellen, beskriver elementærpartikler, slik som elektroner og kvarker, men selv denne teorien antas å ha teorier under seg. Strengteorier og andre multidimensjonale teorier har lenge vært kandidater, men disse mangler fortsatt eksperimentell støtte.

Alle systemer under 10 nm må som regel beskrives kvantemekanisk, men lengdeskalaen avhenger av temperatur, og ned mot det absolutte nullpunktet blir kvanteeffekter viktige, selv på store systemer. Dette kalles makroskopiske kvantesystemer, slik som kvantehallsystemet. Supraledning, superfluiditet og Bose-Einstein-kondensasjon kommer også inn under makroskopiske kvantesystemer.

Vekselvirkning mellom stråling og materie har helt siden starten vært sentralt i kvantemekanikken. Strålingsspekteret fra solen ble forklart av Max Planck i 1900 og den fotoelektriske effekten av Albert Einstein i 1905. Bohrs atommodell er sentral i kvantemekanikken, og den sier at atomer har en positivt ladd kjerne med negativt ladde elektroner rundt. Elektronenes energi er kvantisert, det vil si at de bare kan ha visse spesielle verdier.

Kvantemekanikk er også sentralt i å forstå elektriske egenskaper til metaller og halvledere. Klassiske elektroner ville ha vanskelighet med å bevege seg i et krystallgitter og metaller ville ikke lede strøm. Kvantemekaniske elektroner kan bevege seg som bølger og går faktisk uten motstand i et ideelt gitter (Bloch-bølger). All motstand i en leder er derfor på grunn av gitterfeil, det vil si atomer er av feil type eller på feil plass, og termiske gitterbevegelser. Egenskapene til halvledere forstås ved at elektronene i utgangspunktet er bundet til atomene, men kan frigjøres og bevege seg omkring.

Sentrale begreper

• Tilstand. Det sentrale begrepet i kvantemekanikken er et systems kvantetilstand, som ofte identifiseres med systemets bølgefunksjon. Tilstandsfunksjon er et annet navn. Den inneholder all informasjon som det overhodet er mulig å kjenne om det systemet det gjelder. Skillet mellom klassisk mekanikk og kvantemekanikk ligger i det at dersom man har nøyaktig kjennskap til alle posisjoner og hastigheter som beskriver et isolert klassisk system ved et gitt tidspunkt, så er dets oppførsel i prinsippet kjent for all fremtid i alle detaljer. Man sier at klassiske systeme er deterministiske. Kvantemekaniske systemer er derimot kjennetegnet ved en iboende uskarphet, som innebærer at man kun kan gi probablistiske utsagn om et systems framtidige oppførsel, selv om systemets tilstand er nøyaktig kjent. Teorien er dermed probabilistisk. Her må man imidlertid skille mellom resultatet av målinger foretatt på systemet, og systemets tilstandsfunksjon. For systemets tilstandsfunksjons tidsutvikling viser seg å være 100% deterministisk i isolerte kvantesystmer. Et systems tilstandsfunksjon gir oss nemlig alle mulige opplysninger om sannsynlighetene for de diverse måleresultater som det er mulig å oppnå, man aldri noe utover det.
• Operator. En kvantemekanisk tilstand er i seg selv uten mening. Tilstandene er avhengige av operatorer som binder forskjellige tilstander sammen. Ved hjelp av operatorene beskriver man hvordan forskjellige systemers tilstander påvirker og gjensidig forandrer hverandre. Hamiltonoperatoren står sentralt. Det er den som bestemmer et kvantesystems tidsutvikling. I kvantemekanikken spiller Hamiltonoperatoren den samme rollen som Hamiltonfunksjonen i klassisk mekanikk. Ved siden av å bestemme et systems tidsutvikling er Hamiltonoperatoren også energioperator. Det vil si at det er hamiltonoperatorens egenverdier som bestemmer systemets energinivåer. Samlingen av de ulike energinivåer som et system har tilgang til, kalles ofte for systemets spektrum. Andre operatorer av grunnlehgende betydning i kvantemekanikken er impulsoperatoren, som er en vektoroperator. Den såkalte dreieimpulsoperatoren (Eng. Angular momenum operator) spiller også en avgjørende rolle. Paritetsoperatoren er en annen. Den avgjør om et system er speilsymmetrisk eller ikke.
• Kommutator. En kommutator angir forskjellen man får når man bytter to operatorers rekkefølge. Av grunnleggende betydning er kommutatoren mellom posisjons- og impulsoperatoren. Den skal nemlig alltid settes lik kvadratroten av minus en, multiplisert med Plancks konstant dividert på 2 pi. Denne regelen er kvantemekanikkens grunnleggende kvantiseringsregel. Men den viser seg å inneholde hele kvantemekanikken i et nøtteskall.
• Kvantisering. En prosedyre for hvordan man definerer et kvantemekanisk system. Ulike skjemaer finnes for hvordan dette gjøres, for eksempel kanonisk kvantisering og veiintegralkvantisering. Kvantiseringen gir begrensinger for hvilke tilstander som er tillatt.
• Pauliprinsippet sier at to Fermioner ikke kan være i samme kvantetilstand. Det periodiske system er et resultat av dette prinsippet.
• Bølgefunksjon. Bølgefunksjonen gir systemets tilstand. Bølgefunksjon er en kompleks funksjon av posisjon og tid og gir sannsynligheten for at en partikkel er på et gitt sted til en gitt tid.
• Kvantesammenfiltring (Eng.: entanglement). Sammenfiltring vil si at to adskilte kvantesystemer framviser statistiske korrelasjoner. En slik tilstand kan også eksistere mellom partikler på ulike steder i rommet.
• Kvantetunnelering. Tunnelering vil si at en partikkel trenger gjennom et hinder som er ugjennomtrengelig i klassisk fysikk.
• Konjugert impuls. Kvantemekaniske variable henger sammen to og to, de kalles for variabel og tilhørende konjugert impuls. Det mest typiske eksemplet er posisjon og impuls (bevegelsesmengde). Et annet er dreieimpuls og vinkel.
• Heisenbergs uskarphetsrelasjon sier at Plancks konstant setter begrensning på hvor presist størrelser som henger sammen kan bestemmes. Eksempler på slike størrelser som henger sammen er posisjon og impuls eller energi og tid.
• Bølge-partikkel-dualitet. Kvantemekaniske partikler kan oppføre seg både som partikler og som bølger. Bølgenaturen kommer for eksempel frem i dobbelspalteforsøk hvor partikler, slik som elektroner, opplever interferens.
• Schrödingerteori. Erwin Schrödingers formulering av kvantemekanikken med bølgefunksjonen som klassisk, kompleks, kontinuerlig funksjon.
• Matrisemekanikk. Werner Heisenbergs abstrakte formulering av kvantemekanikken ved hjelp av matriser.
• Kvantefeltteori. En teori hvor også bølgefunksjonen er kvantisert. Eksempler på slike teorier er elektronteorien kvanteelektrodynamikk og kvarkteorien kvantekromodynamikk.
• Veiintegralformalisme. Richard P. Feynmanns formulering av kvantemekanikken som sier at en partikkel beveger alle mulige veier mellom to punkter A og B.
• Standardmodellen. En modell for alle elementærpartikler, slik som elektroner, kvarker, nøytrinoer, fotoner, m.m.
• Symmetri. En matematisk egenskap i systemet. F.eks. har Diraclikningen to symmetriske løsninger som tilsvarer elektroner og positroner (anti-elektroner).
• Effektiv teori. Hvis teori B er avledet av teori A er teori B en effektiv teori.
• Spontane symmetribrudd. Betyr at en effektiv teori ikke har de samme symmetriene som teorien den er avledet av.
• Spinn. I kvantemekanikken benyttes ordet spinn til å beskrive en elementærpartikkels 'indre dreieimpuls' (eng. spin angular momentum), som må betraktes som grunnleggende forskjellig fra en partikkels 'banedreieimpuls' (eng. orbital angular momentum). Sistnevnte skyldes at partikkelens posisjon og impuls er beskrevet ved dens posisjons- og impulsoperator, og at dens banedreieimpuls da er gitt ved vektorkryssproduktet av disse to, i analogi med klassisk mekanikk. Men den samme elementærpartikkelen har ingen indre posisjon og heller ingen indre impuls. Likevel viser det seg at den har en indre dreieimpuls, slik det ble påvist av Goudsmit og Uhlenbeck i deres velkjente eksperiment med avbøyning av elektronstråler i inhomogene magnetfelt. Det var Wolfgang Pauli som da fant fram til den gjeldende teorien for dette fenomenet. Elektronets spinn beskrives da ved de såkalte Paulimatrisene eller spinnmatriser. Bølgefunksjon består da av 'to' komponenter, én komponent for 'spinn opp' og en annen for 'spinn ned'. En slik bølgefunksjon kalles for spinor. Paulimatrisene er da et sett av 3 stk. 2x2 komplekse matriser. Det er 3 stk. fordi spinn er en vektor, og således må ha 3 komponenter.

Teorier som kommer inn under kvantemekanikken

• Schrödingerteori.
• Kanonisk kvantemekanikk.
• Veiintegralformalisme.
• Atomfysikk.
• Kjernefysikk.
• Partikkelfysikk.
• Kvantekjemi.
• Mesoskopisk fysikk.
• Kvantefeltteori.
• Relativistisk kvantemekanikk.
• Kvanteelektrodynamikk.
• Kvantekromodynamikk.
• Standardmodellen.
• Kvantekosmologi.
• Strengteori.
• M-teori.

Se også

• Fotoelektrisk effekt
• Plancks strålingslov

Eksterne lenker

• Innføring i kvantemekanikk