Kronecker-delta

Det matematiske symbolet Kronecker-delta $\delta_{ij}$, som var innført av Leopold Kronecker, er en funksjon av to variabler. Kalles også Kronecker-symbol og delta-funksjon.

Definisjon

Kronecker-delta er definert som:

$\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{for } i=j \\ 0 & \mbox{for } i \neq j \end{matrix}\right.$

hvor i og j er elementer i en mengde $I$.

Egenskaper

• Kronecker-delta er ofte skrevet som

$\delta=\mathrm{1}_D:I\times I\to \{0,1\}$,

når den står for den karakteristisk funksjonen $\mathrm{1}_D$ i en diagonalmengde.

$D=\{(i,j)\in I\times I:\; i=j\}$.

Eksempel på bruk

• Innen lineær algebra er symbolet brukt for å uttrykka enhetsmatrisen $n\times n$ som $(\delta_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$. En 3x3 enhetsmatrise kan uttrykkes som:

$(\delta_{ij})_{1\leq i\leq 3,\, 1\leq j\leq 3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

• Kronecker-delta kan brukes for å uttrykke skalarproduktet av to orthonormale vektorer:

$e_1, \dots, e_n$ als $\langle e_i, e_j\rangle = \delta_{ij}$.

• Innen signalbehandling og reguleringsteknikk er symbolet brukt for å representere en impuls:

$\delta(n) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}$