Kompleks konjugasjon

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Et komplekst tall og dets konjugerede verdi i det komplekse tallsystemet

Et komplekskonjugat er resultatet av en operasjon på et komplekst tall. Konjugering innebærer å i det komplekse tallsystemet avbilde tallet som dets speiling i den reelle aksen. Komplekskonjugatet av et tall \ z = a + bi betegnes med \bar{z} eller z^*\, og kan defineres som

\bar{z} = \overline{a+bi} = a - bi\quad a,b\in \mathbb{R}

eller i polarkoordinater

\overline{z}=\overline{re^{i\theta}}=re^{-i\theta} \quad r\in \mathbb{R} \quad \theta \in [0,2\pi]

Egenskaper[rediger | rediger kilde]

Følgende gjelder for alle komplekse tall \ z og \ w

\overline{(z + w)} = \overline{z} + \overline{w} \!\
\overline{(zw)} = \overline{z}\; \overline{w} \!\
\overline{\left({\frac{z}{w}}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}} om w\neq 0\,
\overline{z} = z \!\ om og bare om \ z er reellt
\left| \overline{z} \right| = \left| z \right|
 \arg( \overline{z} ) = -\arg(z)
{\left| z \right|}^2 = z\overline{z}
z^{-1} = \frac{\overline{z}}{\ \left| z \right|^2} om z\neq 0\,

Komplekskonjugering er et av de enkleste eksemplene på en ikke-analytisk funksjon.