Kompleks konjugasjon

Et komplekst tall og dets konjugerede verdi i det komplekse tallsystemet

Et komplekskonjugat er resultatet av en operasjon på et komplekst tall. Konjugering innebærer å i det komplekse tallsystemet avbilde tallet som dets speiling i den reelle aksen. Komplekskonjugatet av et tall $\ z = a + bi$ betegnes med $\bar{z}$ eller $z^*\,$ og kan defineres som

$\bar{z} = \overline{a+bi} = a - bi\quad a,b\in \mathbb{R}$

eller i polarkoordinater

$\overline{z}=\overline{re^{i\theta}}=re^{-i\theta} \quad r\in \mathbb{R} \quad \theta \in [0,2\pi]$

Egenskaper

Følgende gjelder for alle komplekse tall $\ z$ og $\ w$

$\overline{(z + w)} = \overline{z} + \overline{w} \!\$

$\overline{(zw)} = \overline{z}\; \overline{w} \!\$

$\overline{\left({\frac{z}{w}}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}$ om $w\neq 0\,$

$\overline{z} = z \!\$ om og bare om $\ z$ er reellt

$\left| \overline{z} \right| = \left| z \right|$

$\arg( \overline{z} ) = -\arg(z)$

${\left| z \right|}^2 = z\overline{z}$

$z^{-1} = \frac{\overline{z}}{\ \left| z \right|^2}$ om $z\neq 0\,$

Komplekskonjugering er et av de enkleste eksemplene på en ikke-analytisk funksjon.