Plancks strålingslov

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Energispekteret til et svart legeme ved ulike temperaturer

Plancks strålingslov, oppdaget av Max Planck i 1900, sier at legemer avgir elektromagnetisk stråling og at energispekteret til strålingen avhenger av legemets temperatur. Den fysiske mekanismen bak er at materie avgir og absorberer stråling og denne strålingen kan sees på som en ideell gass av fotoner. Gassen skiller seg fra en gass av massive partikler ved at antallet fotoner ikke er konstant, men varier med temperatur. Antallet fotoner i et gitt frekvensintervall bestemmes ved at absorpsjon og transmisjon er i likevekt. Et legeme som følger Plancks strålingslov kalles et svart legeme (en betegnelse som er egnet til å skape forvirring siden legemet faktisk sender ut lys. Sola er således tilnærmet et svart legeme). Strålingen fra et svart legeme kalles også «hulromsstråling» eller «termisk stråling».

Plancks strålingslov har en voldsom historisk signifikans siden den er begynnelsen og grunnlaget for kvantemekanikken. Resultatet kan således ikke utledes fra klassisk mekanikk.


Gyldighetsområde[rediger | rediger kilde]

Følgende premisser må være oppfylt

  • Fotongassen er i termisk likevekt.
  • Volumet er tilstrekkelig stort.
  • Fotogassen er ideell, dvs. ingen foton-foton vekselvirkning. Slik vekselvirkning skjer bare ved ekstremt høy temperatur, gjennom virtuelle elektron/anti-elektron par.
  • Fotongassen vekselvirker svakt med omgivelsene. Dette gjelder som regel med unntak av spektrallinjer i atomene, som vil sees som svarte linjer i spekteret.

Lyset fra solen følger således Plancks strålingslov, med unntak av spektrallinjene for kvantesprang i hydrogen og helium (Helium ble først oppdaget i en slik linje i sollys)og spredning i solens atmosfære.

Jorden (som mennesker, dyr, kaker, kokeplater og lyspærer for den saks skyld) avgir også termisk stråling, men her kommer i tillegg alt reflektert lys, i hovedsak fra solen, som ikke følger Plancks strålingslov.


Matematisk formulering[rediger | rediger kilde]

Energien til et foton er gitt ved \epsilon=\hslash\omega (Plancks lov) hvor \hslash er Plancks konstant og \omega er frekvens.

Energispekteret er gitt ved


  \frac{dE_\omega}{d\omega}
  = \frac{\hslash V}{\pi^2c^3}
    \frac{\omega^3}{e^{\hslash\omega/k_BT}-1}

hvor V er volum, k_B er Boltzmanns konstant, og T er temperatur målt i kelvin.

Ekvivalent kan loven formuleres ved hjelp av bølgelengde, \lambda=2\pi c/\omega, i stedet for frekvens


  \frac{dE_\lambda}{d\lambda} 
  = \frac{16\pi^2 \hslash c V}{\lambda^5}
    \frac{1}{e^{2\pi\hslash c/k_BT\lambda}-1}

Wiens forskyvningslov[rediger | rediger kilde]

Maksimum i planckspekteret gir Wiens forskyvningslov


  \lambda_{maks} = \frac{2\pi\hslash c}{4,965 k_BT}
		 = \frac{2,897~10^{-3} K\cdot m}{T}

som sier at den vanligste bølgelengden i frekvensspekteret er omvendt proporsjonal med temperatur. Konstanten har dimensjon kelvin * meter.

Solen har en overflatetemperatur på ca. 5780K som gir \lambda_{maks}\approx 500 nm, dvs. synlig lys (noe som ikke burde komme som en overraskelse).

Jorden har en overflatetemperatur på ca. 290K som gir \lambda_{maks}\approx 10 \mu m, dvs. infrarødt lys.

Ut i fra dette kan vi også trekke konklusjonen andre veien: en lyspære som skal sende ut synlig lys basert på termisk stråling må ha en temperatur nær temperaturen på solens overflate.

Utledning av Plancks strålingslov[rediger | rediger kilde]

Plancks strålingslov kan utledes ved hjelp av standard metode i statistisk fysikk. Energien til gassen er gitt ved


  E=\sum_k~\epsilon_k \langle n_k \rangle

hvor summen er en abstrakt sum over alle tilstander. Fotonenergien er gitt ved \epsilon_k=\hslash\omega (Plancks lov). Midlere antall fotoner i en tilstand ved likevekt er gitt ved bosedistribusjonen


  \langle n_k \rangle = \frac{1}{e^{(\epsilon_k-\mu)/k_BT}-1}

hvor T er temperatur og det kjemiske potensialet for en fotongass er \mu=0. Med innsatt fotonenergi kalles dette også planckdistribusjonen.

Tilstands-summen går over alle polarisasjonsretninger, koordinater og bølgetall. Summen over koordinatene gir volumet, V, og summen over polarisasjonsretningene gir en faktor 2. For stort volum kan summen over bølgetall gå over til integral (termodynamisk grense)


  E=2V~\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}~\frac{1}{e^{\hslash\omega/k_BT}-1}

Går vi over til sfæriske koordinater og bruker at \omega=ck=c|\mathbf k| gir integrasjon over vinklene bare en faktor 4\pi, dvs.


  E=\frac{\hslash V}{\pi^2c^3} 
  \int_0^\infty \frac{\omega^3}{e^{\hslash\omega/k_BT}-1}d\omega

siden vi har


  E=\int_0^\infty \frac{\partial E_\omega}{\partial\omega}d\omega

gir dette Plancks strålingslov.

Bøker[rediger | rediger kilde]

  • Landau og Lifshitz: Statistical Physics, part I.

Referanser og lenker[rediger | rediger kilde]