Plancks strålingslov

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Gå til: navigasjon, søk
Energispekteret til et svart legeme ved ulike temperaturer.

Plancks strålingslov ble funnet av den tyske fysiker Max Planck i slutten av året 1900. Det er en matematisk formel for den spektrale energitettheten eller intensiteten til varmestrålingen som avgis fra et svart legeme med en viss temperatur. Resultatet ble funnet etter flere års forskning basert på bruk av Maxwells ligninger for de elektromagnetiske bølgene som utgjør strålingen, kombinert med termodynamikkens lover. Man antok at denne var i termisk likevekt med atomene i veggene som omsluttet strålingen. Man hadde på den tiden omtrent ingen kjennskap til atomenes egenskaper. Men allerede fra etableringen av Kirchhoffs strålingslov i 1860 var det klart at egenskapene til selve strålingen var uavhengig av materialet i veggene eller atomene de inneholdt.

Avgjørende for denne oppdagelsen var nye, mer presise målinger som viste at tidligere forslag til strålingslover ikke var riktige. Planck benyttet disse eksperimentelle resultatene til først å gjette seg frem til en riktig formel som han senere ga en teoretisk utledning. Det var da nødvendig å anta at energien som kunne absorberes og emitteres av atomene som var koblet til strålingen, ikke kunne overføres kontinuerlig som i klassisk fysikk. Derimot måtte det skje i små, diskrete pakker som ble kalt energikvant karakterisert ved en ny naturkonstant h som senere er blitt kalt for Plancks konstant. Men Planck holdt fast ved at selve strålingen skulle på alle måter betraktes som kontinuerlig og beskrevet ved de vanlige Maxwell-ligningene. Det holdt han fast ved i mange år frem til moderne kvantemekanikk ble etablert rundt 1925. Det var ikke noe hinder for at han mottok Nobel-prisen i fysikk i 1918.

Albert Einstein var på den tiden den som tok Plancks resultat opp med størst interesse. Ved bruk av termodynamikk og statistisk mekanikk viste han at selve strålingen måtte antas å ha en diskrete natur, bestående av energikvant med energi E = hν for en bølge med frekvens ν. Dette kunne forklare egenskaper ved den fotoelektriske effekten, en forklaring som i 1921 ga Einstein Nobel-prisen i fysikk. En full forståelse av varmestrålingen kom likevel ikke før i 1926 med utviklingen av kvantefeltteori. Dette skyldes i mye større grad innsatsen til Einstein enn hva Planck hadde bidradd med. Men det var Max Planck og hans strålingsformel som likevel representerer begynnelsen av moderne fysikk ved innføringen av kvantebegrepet.

Den spektrale intensiteten til den kosmiske bakgrunnsstrålingen målt av satellitten COBE passer perfekt med Plancks formel for en temperatur T = 2,725 K.

Plancks formel[rediger | rediger kilde]

Den totale energien U(T) til den sorte strålingen i et volum V ved temperatur T er gitt ved energitettheten u(T) = U/V. Denne tettheten får bidrag fra forskjellige frekvenser ν av den elektromagnetiske strålingen den består av. Denne avhengigheten beskrives ved den spektrale energitettheten uν(T) slik at Vuν er den totale energien fra bølger i frekvensintervallet mellom ν og . Planck viste at denne tettheten gitt ved formelen

u_\nu(T) = \frac{8\pi\nu^2 }{c^3} \frac{h\nu}{e^{h\nu /k_BT} - 1}

var i overensstemmelse med alle måleresultat og observasjoner. Her er kB Boltzmanns konstant og h den nye konstanten han hadde vært nødt til å innføre. Den oppfylte også det generelle kravet utledet tidligere av Wilhelm Wien at den måtte være ν3 multiplisert med en funksjon av ν/T som ligger bak Wiens forskyvningslov. Eksperimentelt har den fått den mest nøyaktige bekreftelse fra målingene av den spektrale intensiteten til den kosmiske bakgrunnsstrålingen gjennomført siden 1990.

For høye frekvenser som oppfyller hν > kBT, går dette uttrykket over i

  u_\nu(T) = \frac{8\pi h\nu^3 }{c^3}  e^{- h\nu /k_BT}

som er Wiens strålingslov. I den motsatte grensen hν < kBT kan man benytte at ex ≈ 1 + x  når x < 1. Det gir at

  u_\nu(T) = \frac{8\pi\nu^2 }{c^3} k_B T

som er Rayleigh-Jeans' strålingslov. Det var akkurat denne lineære økningen med temperaturen som var påvist i målingene og som var den utløsende faktor for Planck til å prøve å finne en ny strålingsformel.

Stefan-Boltzmanns konstant[rediger | rediger kilde]

Den fulle energitettheten u(T) finnes ved å integrere over alle frekvenser ν fra null til uendelig. Ved å skifte integrasjonsvariabel til x = hν/kBT, er den da gitt som

u(T) = \frac{8\pi h }{c^3} \left(k_BT/h\right)^4 \int_{0}^{\infty}\!dx \frac{x^3}{e^x - 1} .

Integralet her har verdien π 4/15 slik at resultatet kan skrives som u = aT4. Da den utstrålte fluksen fra et sort legeme er Φ = (c/4)u, kan denne skrives som Φ = σT4 som er Stefan-Boltzmanns lov. Her inngår deres konstant σ = ca/4 som dermed blir

 \sigma=\frac{2\pi^5 {k_B}^4}{15c^2h^3}

Verdien på denne var godt kjent på Plancks tid, og han benyttet den til å bestemme verdien til sin egen, nye konstant h.

Wiens forskyvningslov[rediger | rediger kilde]

Den spektrale intensiteten til sort stråling ved forskjellige temperaturer. Den gule kurven tilsvarer strålingen fra Solen og den røde strålingen fra Jorden.

Den spektrale energifordelingen til Planck har et maksimum som varierer med temperaturen. Historisk er det vanlig å beregne dette fra den sprektrale fordelingen uλ(T) med hensyn på bølglengden λ = c/ν. Denne defineres ved uλdλ = uν som gir

u_\lambda(T) = {8\pi h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda k_BT}-1}

Bølgelengden ved maksimum av denne funksjonen finnes nå fra betingelsen ∂uλ/∂λ = 0. Ved å innføre x = hc/λkBT i stedet for λ som variabel, gir nå derivasjonen ligningen

 {8\pi h c\over\lambda^6}\left[{xe^x\over (e^x -1)^2} - {5\over e^x - 1}\right] = 0.

Det betyr at x/5 = 1 - e -x som må løses numerisk. Man finner da at xm = 4,96511... ved maksimum. Den tilsvarende bølgelengden oppfyller dermed

\lambda_m T = {hc\over x_m k_B} = 2898\,\mu\mathrm{m\cdot K}

Desto høyere temperaturen blir, desto mindre blir derfor bølgelengden for den maksimale intensiteten. Dette er Wiens forskyvningslov og stemte godt med eksperiment. Lummer og Pringsheim fant i 1900 at konstanten på høyre side hadde verdien 2940 μm⋅K, i meget god overensstemmelse med dagens verdi.[1]

Solen har en overflatetemperatur på ca. 5780 K som gir λm = 530 nm som tilsvarer synlig lys. Jorden med en overflatetemperatur på ca. 300 K, vil ha maksimal utstråling for bølgelengder rundt 10 μm som er i den infrarøde delen av det elektromagnetiske spekteret og blir absorbert i atmosfæren. Dette er en viktig grunn for drivhuseffekten. Den kosmiske bakgrunnstrålingen har en temperatur i dag på T = 2,73 K som tilsvarer bølglengder omkring λm = 1 mm eller frekvenser rundt 300 GHz.

Stråling og materie[rediger | rediger kilde]

Minnetavle om Max Planck ved Universitet i Berlin, Unter den Linden.

Max Planck ble Kirchhoffs etterfølger ved Universitet i Berlin i 1892. Et par år senere ble han med på et forskningsprsjekt som skulle avgjøre om det var gasslamper eller elektrisk lys som ga best belysning i byen. I denne sammenhengen innså han nødvendigheten av å formulere en troverdig strålingslov. I 1897 da han var 38 år gammel, annonserte han at hans oppgave framover skulle være å utlede Wiens strålingslov som han var overbevist om var riktig. Den var foreslått året før av Wilhelm Wien.[2] Planck mente at løsningen måtte finnes ved bruk av termodynamikk kombinert med Maxwells ligninger for de elektromagnetiske bølgene strålingen besto av.

Termisk likevekt[rediger | rediger kilde]

Man hadde på den tid ingen god forståelse for hvordan strålingen koblet til materie ved emisjon og absorbsjon. Som en modell kunne man tenke seg at den besto av atomer med ladete partikler i bevegelse som Hendrik Lorentz hadde gjort i 1895 for å forklare hvordan spektrallinjene fra forskjellige stoffer ble påvirket av magnetfelt. Men selve eksistensen av atomer på den tiden var meget kontroversiell. Etter at J.J. Thomson oppdaget elektronet i 1897 ble denne muligheten mer troverdig.

Gustav Kirchhoff hadde vist at sort stråling ville ha de samme egenskaper uansett hva slags materie den var i termisk likevekt med. Planck antok derfor at han kunne modellere materien som bestående av små resonatorer som man i dag ville ha kalt atomer. På samme måte som Hendrik Lorentz antok han at dette var en harmonisk oscillator med en gitt frekvens. Den kunne da koble til stråling med samme frekvens. En elektromagnetisk bølge vil få den til å svinge og energi blir dermed absorbert fra bølgen. Men den samme svingningen vil samtidig medføre at oscillatoren sender ut stråling, og det vil etter hvert kunne etableres en energibalanse. For hver frekvens i strålingen, må det finnes en slik resonator med samme frekvens slik at hele spektret av bølger i strålingen kan komme i termisk likevekt.

Harmonisk oscillator koblet til stråling[rediger | rediger kilde]

Enklest er det å tenke seg en resonator som kun kan svinge i x-retningen. Da er det bare komponenten Ex cosωt av det elektriske feltet til en bølge med frekvens ω = 2πν som virker på den. Har den oscillerende partikkelen en masse m, elektrisk ladning e og svinger med egenfrekvens ω0, vil den da få en bevegelse gitt ved

 {d^2x\over dx^2} + \omega_0^2\,x = {e\over m}E_x\cos\omega t

som følger fra Newtons andre lov. Frekvensen ω til bølgen antas å være omtrent den samme som egenfrekvensen. På grunn av utstrålingen kommer det på høyresiden av ligningen en ekstra friksjonskraft som kan skrives som γdx/dt. Her er konstanten γ = (e2/4πε0)⋅(2ω2/3mc3) som kan regnes ut i klassisk elektrodynamikk hvor Coulombs konstant 1/4πε0 inngår. Resonatoren blir drevet av det elektriske feltet og oscillerer som x(t) = A cosωt hvor amplituden A = A(ω) nå kan regnes ut. Denne oscillasjonen gir resonatoren energien E = mω02A2/2. Etter å ha brukt at ω ≈ ω0, kan denne skrives som

 E = {e^2\over 8m} {1\over (\omega - \omega_0)^2 + \Gamma^2}  E_x^2

etter å ha innført Γ = γ/2m som en forenkling av uttrykket. Denne energien har et klart maksimum for ω = ω0 som betyr at den resonerer ved denne frekvensen. Men den mottar også strålingsenergi fra nærliggende frekvenser. Fra et lite frekvensintervall Δω rundt ω0 kan man finne den totale energien ved å integrere over alle frekvensene ω. Skriver man resultatet av dette som E(ω0)Δω, har man derved

 E(\omega_0)\Delta\omega = {\pi e^2\over 8m\Gamma} E_x^2  = {3\pi^2 c^3\over 2\omega_0^2}\varepsilon_0 E_x^2

hvor E(ω0) er den midlere energien til resonatoren når den befinner seg i termisk likevekt med den sorte strålingen. Denne har en energitetthet uω Δω = uν Δν som er tre ganger ε0Ex2/2 da bidragene fra de to andre, elektriske komponentene er like store for isotropisk stråling. Her er uω er den spektrale energitettheten med hensyn på frekvensen ω = 2πν. Skriver man heretter ω for ω0 og benytter sammenhengen uν = 2π uω, følger det at

  u_\nu(T) = {8\pi\nu^2\over c^3} E(\nu,T)

hvor det er gjort tydelig at dette gjelder ved en bestemt temperatur. Dette er den fundamentale relasjonen Planck utledet i 1899 mellom strålingtettheten og den midlere energien til en harmonisk oscillator i veggen som den sorte strålingen er i likevekt med. Det er bemerkelsesverdig at detaljerte egenskaper som ladning og masse til denne resonatoren, ikke inngår i resultatet. Problemet med å forstå strålingens egenskaper var dermed blitt overført til å finne midlere energi for en oscillator i termisk likevekt. Det virket enklere og burde kunne løses ved bruk av statistisk fysikk.

Fenomenologisk utledning[rediger | rediger kilde]

Max Planck i 1901 da hans strålingsformel ble publisert.

Planck var overbevist om at det var en absolutt egenskap at systemets entropi aldri kan avta av seg selv. Han hevdet at dette var like grunnleggende som at et systems energi er konstant. I 1877 hadde Ludwig Boltzmann kommet med en annen tolkning av entropi hvor den er bestemt av den mest sannsynlige tilstanden for systemet. Planck brydde seg lite om dette. Han hadde bestemt seg for at han ville utlede Wiens lov ved å vise at den generelle egenskapene til strålingen kunne begrunnes ut fra at termodynamikkens andre lov er absolutt.

Planck-Wiens strålingslov[rediger | rediger kilde]

Tidlig i 1900 kunne han presentere en utledning som viste at den spektrale energitettheten måtte være på formen[3]

  u_\nu(T) = C\nu^3  e^{-b\nu/T}

i overensstemmelse med Wiens strålingsformel. De to konstantene C og b kunne bestemmes slik at formelen stemte med målinger primært utført av F. Paschen for bølgelengder λ = 1 μm - 4 μm.[4][5] Denne enkle strålingsloven ble nå omtalt som Planck-Wiens formel da den var i overensstemmelse både med teori og eksperiment.

Men i løpet av høsten 1900 ble resultatet av nye målinger kjent. De var utført av Rubens og Kurlbaum[6][7] og bekreftet tidligere observasjoner gjort av Lummer og Pringsheim for bølgelengder opp til 18 μm.[8] Rubens hadde informert Planck om disse nye resultatene før de var blitt bekjentgjort. De var gjort ved lavere frekvenser i området for infrarød stråling som tilsvarer bølgelengder helt opp til 60 μm og observert som Reststrahlen. Her skulle energitettheten i følge formelen variere som tredje potens av frekvensen, men ble observert å heller variere som kvadratet av den. For en gitt frekvens i dette området varierte den i tillegg proporsjonalt med temperaturen, noe som var i direkte motstrid med hva formelen sa.

Entropien til en Wien-resonator[rediger | rediger kilde]

Fra termodynamikk følger at man alltid må ha sammenhengen (∂S/∂E)V = 1/T mellom entropi S, energi E og temperaturen T. I dette problemet med varmestråligen ble volumet holdt konstant. Planck brukte denne termodynamiske relasjonen til å regne ut entropien til en materiell resonator. Det gjorde han ved å kombinere sin likevektsligning med Wiens formel som ga at energien til resonatoren måtte vœre

  E(\nu,T) = {Cc^3\nu \over 8\pi} e^{-b\nu/T}

som funksjon av temperaturen. Løser man denne ut, finner man 1/T = - (1/bν)log(8πE/Cc3ν) som igjen skal være lik ∂S/∂E. Ved en enkel integrasjon hadde Planck da entropien S(E) til en resonator.

I stedet for å integrere, kan man derivere samme utrykket med hensyn på energien. Det gir med en gang 2S/∂E2 = -1/bνE, noe som Planck fant svært tilfredsstillende da høyresiden her alltid er negativ. Systemet er da garantert å være termodynamisk stabilt med en entropi som ikke kan avta.

Energien til en Planck-resonator[rediger | rediger kilde]

Men de nye måleresultatene hadde vist at alt dette likevel ikke lenger var helt riktig. Planck gikk derfor tilbake til resultatet han hade funnet for den andrederiverte av entropien som nå bare kunne være riktig for stor verdier av frekvensen ν. Han prøvde å modifisere det slik at han kunne få ny overensstemmelse med dataene samtidig som at kravet 2S/∂E2 < 0 alltid var oppfylt. På den måten kom han frem til at

 {\part^2 S\over\part E^2} = - {k\over E(h\nu + E)}

hvor h og k er to ukjente konstanter. Når nå hv >> E, er man tilbake i Wiens tilfelle med b = h/k. Dermed er overenstemmelsen med Wiens lov ved høye frekvenser sikret. Ved så igjen å integrere over energien, fant Planck herav at 1/T = (k/hν) log(1 + hν/E) eller

 E(\nu,T) =  {h\nu\over e^{h\nu/kT} - 1}

Innsatt i sin likevektsformel hadde dermed Planck funnet sin nye strålingslov som nå stemte med alle målingene.

Dette revolusjonerende resultatet ble presentert av Planck på et møte i videnskapsselskapet i Berlin den 19. oktober, 1900.[9][10] Konstantene h og k inngikk ikke eksplitt i hans utledning slik som her, bare kombinasjonen h/k = b. Men når hν/kT > 1, gjenfinnes Wiens strålingslov med konstanten C = 8πh/c3 slik at de to nye konstantene kunne bestemmes fra målingene. I den motsatte grensen hν/kT < 1 går den over i Rayleigh-Jeans' strålingslov hvor energitettheten til strålingen er proporsjonal med temperaturen som påvist i målingene ved lave frekvenser.

Etter å ha kommet frem til dette resultatet, ble den tidligere Planck-Wiens lov igjen omtalt som kun Wiens strålingslov.

Entropien til en Planck resonator[rediger | rediger kilde]

Selv om Planck hadde funnet en ny formel som passet til alle måleresulatene, var den likevel ikke mye mer enn en meget god tilpasning til disse. Han visste at han måtte finne en mer solid, teoretisk begrunnelse for det som til en viss grad hadde vært heldig gjetning.

Fremdeles mente han at svaret måtte finnes i entropien S(E) til resonatoren. Ved en omskrivning av hva han hadde funnet tidligere, fulgte at ∂S/∂E = (k/hν) (log(1 + E/hν) - log(E/hν)). Ved å bruke at ∫dx logx = x logx - x kan dette nå integreres direkte med resultatet

  S(E)  = k\left[(1 + E/h\nu)\log(1 + E/h\nu) - (E/h\nu)\log(E/h\nu)\right]

Spørsmålet var da redusert til å finne ut hva slags fysikk som skjulte seg bak dette uttrykket for entropien for en harmonisk oscillator.

Planck hadde til dette tidspunkt kun brukt klassisk elektrodynamikk og termodynamikk. Men det var ikke kjent hvordan man fra disse teoriene kunne beregne entropien til et system. Derimot var det kjent at det kunne gjøres ved hjelp av statistisk fysikk etablert spesielt av Ludwig Boltzmann, men Planck var ikke overbevist av riktigheten ved denne metoden. I følge termodynamikkens første hovedsetning som formulert av Clausius, kunne entropien til et isolert system aldri avta. Men i den statistiske utledningen til Boltzmann kunne dette skje, selv om det i praksis ville være med en forsvinnende liten sannsynlighet.

Boltzmanns metode[rediger | rediger kilde]

Likevel klarte Planck i løpet av de følgende ukene å utlede entropien for en resonator basert på akkurat Boltzmanns fremgangsmåte for en ideell gass.[11] Han betraktet et antall N resonatorer med samme frekvens og som man kan tenke seg lokalisert på forskjellige steder. Deres samlede energi tenkte han seg oppdelt i et meget stort antall P energielement ε som så kan fordeles blandt alle oscillatorene. En slik fordeling vil for eksempel kunne skrives som |εε|ε||εεε|εε......| hvor de forskjellige ocillatorene er adskildt med loddrette streker. I dette eksemplet har den første oscillatoren to element, den andre ett, den tredje ingen, den fjerde tre, og så videre. Den første og siste streken ligger fast i alle fordelingene, mens de andre N - 1 strekene skal fordeles mellom de P energielementene.

Det totale antall slike fordelinger finnes fra standard kombinatorikk og gitt ved binomialkoeffisienten

 W = {(P + N-1)!\over P! (N-1)!}

Ifølge Boltzmann kan nå entropien beregnes fra generelle formelen S = kBlogW  hvor konstanten kB er Boltzmanns konstant. Antar man at både N og P er mye større enn en, kan man benytte Stirlings formel ved utregningen. Entropien for alle oscillatorene finnes på den måten å være

 S_N = N k_B\left[(1 + P/N)\log(1 + P/N) - (P/N)\log(P/N\right]

Men her er nå den totale energien Pε = NE hvor E  er den midlere energi til en resonator. Sammenlignet med det tidligere, fenomenologiske resultatet for entropien til en oscillator, ser man her full overensstemmelse når konstanten k = kB og energielementet ε = hν.

Denne teoretiske beregningen ble lagt frem i vitenskapsselskapet i Berlin den 14. desember, 1900.[12] Den skulle i årene som fulgte gjøre Planck verdensberømt. Da resonatorene til Planck kun kunne oppta og avgi energi i diskrete energikvant med størrelse ε = hν, representerer hans resultat en avskjed med klassisk fysikk hvor alle slike prosesser skjer på kontinuerlig vis. Den nye fysikken som måtte ligge bak, ble med en gang omtalt som kvantefysikk selv om det skulle gå nesten 25 år til den var fullt forstått med etableringen moderne av kvantemekanikk.

I denne opptellingen av tilstander var det implisitt antatt at alle energielementene var identiske og ikke kunne adskilles fra hverandre. Men siden denne oppdelingen av totalenergien bare var en matematisk antagelse, hadde ikke Planck noen problemer med det. I virkeligheten hadde han håpet å kunne ta grensen ε → 0 på slutten av beregningen slik som Boltzmann hadde gjort for en gass, men det var altså ikke mulig i dette tilfellet.

På dette stadium tenkte ikke Planck at disse energikvantene skulle være en egenskap ved selve strålingen. Det ble gradvis klart i de følgende årene gjennom arbeidene til Einstein. Han viste at selve strålingen består av energikvant ε = hν og kan beskrives som en gass av slike fotoner. Men de er kvantepartikler som er identiske og kan ikke skilles fra hverandre i motsetning til klassiske partikler som man alltid kan tenke seg bærer på merkelapper om hvem de er. Og det er akkurat denne egenskapen som først ble klarlagt i 1924 ved oppdagelsen av Bose-Einstein-statistikk som endelig forklarte hvorfor Plancks beregning var korrekt. Hans matematiske antagelse om identiske energielement tilsvarer eksistensen av reelle, fysiske partikler som er identisk med hverandre.

Litteratur[rediger | rediger kilde]

  • M. Planck, The Theory of Heat Radiation, Dover Publications, New York (2003). ISBN 0-486-66811-8.
  • F. Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw-Hill Kogakusha Ltd., Tokyo (1965).
  • M. Longair, Theoretical Concepts in Physics, Cambridge University Press, England (2003). ISBN 978-0-521-82126-1.

Referanser[rediger | rediger kilde]

  1. ^ O. Lummer und E. Pringsheim, Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2, 176 (1900).
  2. ^ W. Wien, Ueber die Energievertheilung im Emissionsspectrum eines schwarzen Körpers, Annalen der Physik 294 (8), 662–669 (1896). PDF.
  3. ^ M. Planck, Entropie und Temperatur strahlender Wärme, Annalen der Physik 1(4), 719-737 (1900). PDF.
  4. ^ F. Paschen, Annalen der Physik und Chemie 58, 455-492 (1896); 60, 663-723 (1897).
  5. ^ F. Paschen, Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 405, 959 (1899).
  6. ^ H. Rubens und F. Kurlbaum, "Über die Emission langwelliger Wärmestrahlen durch den schwarzen Körper bei verschiedenen Temperaturen, Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 929-941 (1900). PDF
  7. ^ H. Rubens und F. Kurlbaum, Anwendung der Methode der Reststrahlen zur Prüfung des Strahlungsgesetzes, Annalen der Physik 309 (4), 649-666 (1901).PDF
  8. ^ O. Lummer und E. Pringsheim, Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 1, 23, 215 (1899); 2, 163 (1900).
  9. ^ M. Planck, Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 237-245 (1900). PDF
  10. ^ M. Planck, Über eine Verbesserung der Wienschen Spektralgleichung, Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2, 202–204 (1900). PDF.
  11. ^ L. Boltzmann, Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung respektive den Sätzen über das Wärmegleichgewicht, Wiener Berichte 76, 373–435 (1877).
  12. ^ M. Planck, Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum, Annalen der Physik 309 (4), 553-563 (1901). PDF.